2.4 用因式分解求解一元二次方程 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
2.4 用因式分解求解一元二次方程
第二章
一元二次方程
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
学习目标
　
导入新课
选择合适的方法解下列方程：
(1)x2-6x=7； (2)3x2+8x-3=0
(配方法）
（公式法）
解：a = 3 , b = 8， c = 3
∴ b2 – 4ac = 64-4×3×3=28
∴
x1 = , x2 = .
解： x2 - 6x=7
x2 - 6x+32=7 +32
(x-3)2=16
∴x-3=±4
∴x-3=4或∴x-3=-4
∴ x1 =7 , x2 =-1
　
因式分解法解一元二次方程
问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等,这个数是几？你是怎样求出来的？
由方程 x2 = 3x ,得
x2 - 3x = 0
因此
x1 = 0, x2 = 3.
所以这个数是0或3.
小颖的思路：
小明的思路：
方程 x2 = 3x 两边
同时约去x, 得
x = 3 .
所以这个数是3.
设这个数为x,根据题意得,可得方程 x2 = 3x
探究新知
小亮的思路：
由方程 x2 = 3x ,得
x2 - 3x = 0
即 x (x - 3) = 0
于是 x = 0 , 或 x - 3 = 0.
因此 x1 = 0 , x2 = 3
所以这个数是0或3
问题：他们做得对吗？为什么？
如果a·b= 0，
那么 a=0 或 b=0
即“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
探究新知
对比三个人的解法同学们说：
小明的解法是错误的，约去x的时候必须保证x≠0，他的做法漏掉了根为0 的情况
对比小颖和小亮的方法，小亮的方法更简单，但是小颖的方法是万能的
探究新知
　
要点归纳
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
　
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0；
(1) x1=0,x2=2；
(2) (y+2)(y-3)=0；
(2) y1=-2,y2=3 ；
(3) (3x+6)(2x-4)=0；
(3) x1=-2,x2=2；
(4) x2=x.
(4) x1=0,x2=1.
对于一元二次方程(x – p)(x – q)=0，那么它的两个实数根分别为p，q.
探究新知
分解因式的方法有那些
（1）提取公因式法:
（2）公式法:
（3）十字相乘法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
x2+(a+b)x+ab=
(x+a)(x+b).
探究新知
例1：解下列方程：
（1）5x2 = 4x ; （2）x – 2 = x (x - 2).
解：5x2 - 4x = 0,
x (5x - 4) = 0.
∴x = 0 或 5x – 4 =0.
∴ x1 = 0 , x2= .
解：(x - 2) – x (x - 2) = 0,
(x - 2) (1 - x) = 0.
∴x – 2 = 0 或 1 – x = 0.
∴ x1 = 2 , x2=1.
原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程
例题讲解
因式分解法的步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简记歌诀：右化零,左分解,两因式,各求解
归纳总结
选用适当的方法解一元二次方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2)(5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
解：开平方,得
5x + 1 = ±1.
解得, x 1= 0 , x2 =
探究新知
(3) x2 - 12x = 4 ; (4) 3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.
解：配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
即 (x - 6)2 = 40.
开平方,得
解得 x1=
x2=
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：化为一般式 3x2 - 4x + 1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
探究新知
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
拓展提升
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
要点归纳
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
解法选择基本思路
1.解方程x(x+2)=3(x+2)，最适当的方法是( )
A. 直接开平方法 B. 因式分解法
C. 配方法 D. 公式法
A
2.方程(x＋1)(x－2)=x＋1的解是（ ）
A．2 B.3 C.－1，2 D.－1，3
D
课堂练习
3.方程x(x-3)=5(x-3)的解是( )
x=3 B. x=5
C. x1=3，x2=5 D. 无解
C
4. 方程x2-5x=0的解是（ ）
x1=x2=5 B. x1=x2=0
C. x1=0，x2=5 D. x1=-5，x2=0
C
课堂练习
① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ；
③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ；
⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8；
⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0；
⑨ (x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
5.填空
⑥
①
②
③
④
⑤
⑦
⑧
⑨
课堂练习
6.用因式分解法解下列方程：
课堂练习
课堂练习
7.我校原有一块正方形空地,后来在这块空地上划出部分区域栽种花草(如图),原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,使剩余的空地面积为12m2，求原正方形的边长.
解：设原正方形的边长为xm，依题意有
(x 1)(x 2)=12
整理,得x2 3x 10=0.
∴(x 5)(x+2)=0，
∴x1=5,x2= 2(不合题意,舍去)
答：原正方形的边长5m.
课堂练习
课堂小结
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
a2 -b2=(a +b)(a -b).
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