2.3.1用公式法求解一元二次方程（1） 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
2.3.1用公式法求解一元二次方程（1）
第二章
一元二次方程
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
1．理解求根公式的推导过程和判别公式．
2．使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程．
3．通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．
学习目标
　
导入新课
用配方法解方程： 2x2 -7x +6 = 0.
解：方程两边同时除以2,得 x2 - x + 3 = 0 .
移项，得 x2 + x = -3 ,
配方，得 x2 + x +( )2= ( )2 -3
变形, 得 （x + ）2 =
开平方, 得 x + = ± .
解得 x1 = - , x2= -2 .
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
导入新课
一元二次方程求根公式的推导过程
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
探究新知
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
方程两边都除以a
解:
移项，得
配方，得
即
问题：接下来能用直接开平方解吗？
探究新知
即
一元二次方程的求根公式
特别提醒
∵a ≠0,4a2>0，
当b2-4ac ≥0时，
探究新知
∵a ≠0,4a2>0，
当b2-4ac ＜0时，
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
探究新知
由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式；
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a、b、c代入式子x＝ ，就可求出方程的根
归纳总结
用公式法解一元二次方程
解： ∵ a=1, b= -7, c= -18.
∴ b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0
例：用公式法解方程: (1)x2 -7x -18 = 0.
即 x1=9, x2= -2.
探究新知
例：用公式法解方程: (2) 4x2+1=4x.
解：将原方程化为一般形式，得 4x2-4x+1=0.
a=4， b= -4， c= 1.
∵b2 - 4ac=(-4)2 - 4×4×1=0,
即 x1= x2= .
探究新知
例：用公式法解方程: (3) x2-2x+3=0.
解： ∵ a=1， b= -2， c= 3.
∴ b2 - 4ac=(-2)2 - 4×1×3=-8<0
∴方程无实数根
探究新知
公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
(1)公式法的对象是一元二次方程的一般形式；
(2)公式法的条件是
注意:
归纳总结
用判别式判断一元二次方程的根
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
> 0
= 0
< 0
≥ 0
探究新知
按要求完成下列表格：
的值
0
4
根的 情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
练一练
不解方程判别下列方程的根的情况.
(1)x2 - 6x + 1 = 0; (2)2x2 – x + 2 = 0;
(3)9x2 + 12x + 4 = 0.
解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 ,
∴有两个不相等的实数根.
(2) Δ = (-1 )2 – 4×2×2= -15 < 0 ,
∴无的实数根.
(3) Δ = ( 12 )2 – 4×9×4= = 0,
∴有两个相等的实数根.
探究新知
3、判别根的情况，得出结论.
1、化为一般式，确定a,b,c的值.
要点归纳
根的判别式使用方法
2、计算 的值，确定 的符号.
1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0
C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2
C
2.已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+2-m=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A.-2 B.1 C.1或0 D.1或-2
B
课堂练习
3.解方程：x2 +7x – 18 = 0.
解：这里 a=1, b= 7, c= -18.
∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,
即 x1 = -9, x2 = 2 .
课堂练习
4. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号 ，得 x –2 - 3x2 + 6x = 6,
化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0,
这里 a = 3, b = -7 , c = 8.
∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96 = - 47 < 0,
∴原方程没有实数根.
课堂练习
5. 解方程：2x2 - x + 3 = 0
解： 这里 a = 2 , b = - , c = 3 .
∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ,
∴
即 x1= x2=
课堂练习
6.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况.
解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0.
所以Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0.
所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根.
这里a=5,b=-8,c=1，
课堂练习
7.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5
【解析】由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，所以有
∴ k＜5且k≠1
故选B.
B
课堂练习
8.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)当方程有一个根为5时，求k的值.
证明：(1)Δ=b2-4ac=［-（2k+1）］2-4（k2+k）
=4k2+4k+1-4k2-4k
=1＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵方程有一个根为5，
∴52-5(2k+1)+k2+k=0，即k2-9k+20=0.
解得k1=4，k2=5.
课堂练习
能力提升：
在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.
所以b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.
课堂练习
课堂小结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
根的判别式b2-4ac
务必将方程化为一般形式
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