2.2.2 用配方法求解一元二次方程（2） 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
2.2.2 用配方法求解一元二次方程（2）
第二章
一元二次方程
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
1.掌握配方技巧，会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；
2.在用配方法解二次项系数不为1的方程中，体会转化等数学思想。
学习目标
　
1.什么是完全平方式？配方法的定义是什么？
式子a2±2ab+b2叫完全平方式,
且a2±2ab+b2 =(a±b)2.
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
导入新课
　
2.利用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①移—移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
②配—配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为（x+m）2=n的形式；
③开—如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得x+m=± ；
④解—方程的解为x=-m± 。
导入新课
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0 ;
② 3x2 +18x +24 = 0.
想一想怎么来解3x2 +18x +24 = 0.
探究新知
用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0.
解：方程两边同时除以3,得 x2 + 6x + 8 = 0 .
移项，得 x2 + 6x = -8 ,
配方，得 x2 + 6x +32= 32 -8
变形, 得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 , x2= -4 .
在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系数化为1后，再根据配方法步骤进行求解.
探究新知
(1)如果方程二次项系数不是1，化为系数是1；
(1)2x2+8x+6=0
(2)3x2+5x-9=0
(4)-5x2+20x+25=0
x2+4x+3=0
x2-4x-5=0
用配方法解下面的方程
(3)-x2+3x-5=0
x2-3x+5=0
(3)再用配方法计算.
针对练习
解：两边都除以3，得：
移项，得：
配方，得：
即：
所以
例1：解方程： 3x2 + 8x -3 = 0.
例题讲解
例2：用配方法证明：
无论x为何实数，代数式2x2-4x+5的值恒大于零．
证明：2x2-4x+5
=2(x2-2x)+5
=2(x2－2x＋1)+5＋2
=2(x－1)2+7，
∵(x－1)2≥0，∴2(x－1)2 ≥ 0，∴2(x－1)2+7 ≥ 0.
∴无论x为何实数，代数式－2x2＋4x－5的值恒大于零
例题讲解
例3：应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值；
(2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解:(1)2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3
当x =1时有最小值3
(2)-3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4
当x =2时有最大值-4
例题讲解
求最值或证明代数式的值为恒正（或负）
关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后(x+m)2≥0，n为常数，
当a＞0时，可知其最小值；
当a＜0时，可知其最大值.
归纳总结
例4.已知a，b是等腰三角形ABC的边且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求等腰三角形ABC的周长．
解：a2+b2-8a-4b+20
=a2-8a+16+b2-4b+4
=(a-4)2+(b-2)2
=0，
∴a-4=0，b-2=0，即a=4，b=2.
则等腰三角形的三边长为4，4，2，
即周长为4+4+2=10.
例题讲解
利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.
归纳总结
课堂练习
1.用适当的数填空，使等式成立：
(1)x2-4x+ =(x- )2;
(2)x2+5x+ =(x+ )2.
2.下列各式是完全平方式的是（ ）
A.x2+7x+7 B.n2-4n-4
C.x2+12x+14 D.y2-2y+1
3.用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得的方程为（ ）
A.(x+1)2=0 B.(x-1)2=0 C.(x+1)2=2 D.(x-1)2=2
4
2
25
5
D
D
4. 把一元二次方程2x2-4x-1=0的二次项系数化为1得 .
5.下列配方法有错误的是（ ）
A.x2-4x-1=0化为(x-2)2=5
B.x2+6x+8=0化为(x+3)2=1
C.2x2-7x-6=0化为(x-74)2=
D.3x2-4x+2=0化为(3x+2)2=2
x2-2x-12=0
D
课堂练习
6. 若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m= .
7.用配方法解方程3x2-6x+1=0,则方程可变形为（ ）
A.(x-3)2=13 B.3(x-1)2=13
C.(3x-1)2=1 D.(x-1)2=23
3
D
课堂练习
8.方程(x-2)2=9的解是（ ）
A.x1=5,x2=-1 B.x1=-5,x2=1
C.x1=11,x2=-7 D.x1=-11,x2=7
9.从正方形的铁皮上截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁皮的面积是（ ）
A.9cm2 B.68cm2 C.8cm2 D.64cm2
A
D
课堂练习
10.用配方法解方程： x2 + x = 0.
解：方程两边同时除以 ,得
x2 - 5x + = 0 .
移项，得 x2 - 5x = - ,
配方, 得 x2 - 5x + （ ）2= （ ）2 - .
即 （x + ）2 = .
课堂练习
两边开平方,得 x - = ±
即 x - = 或 x - =
所以 x1 = x2 =
课堂练习
11. 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
课堂练习
课堂小结
配方法
方法
在方程两边都配上
步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php