2.2.1 用配方法求解一元二次方程（1） 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
2.2.1 用配方法求解一元二次方程（1）
第二章
一元二次方程
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
1.能根据平方根意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；
2.理解配方法，能用配方法解简单的数字系数的一元二次方程，体会转化等数学思想。
学习目标
　
导入新课
(1)定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根.
若x2 = a (a≥0),则 x =
(3)回答：
①若 x2 = 9，则 x = .
②若 x2 = 7，则 x = .
(2)性质：非负数才有平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是它本身。
±3
±
1.平方根
　
2.完全平方公式
a2±2ab+b2 = (a±b)2
x+6
x-3
因式分解:
导入新课
用直接开平方法解一元二次方程
你会解下列方程吗？
依据：平方根的意义
把(x+2)看成一个整体
探究新知
用直接开平方法解一元二次方程
对于形如x2 = a (a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
方程的特点
左边是完全平方式
右边是非负数
方程的形式： x2 = a (a≥0)
或 (mx+n) 2 = a (a≥0)
思考： a 可以是负数吗？
探究新知
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=16
(2) x2=0
(3) x2+3=0
解:根据平方根的意义，得x1=4, x2=-4.
解:根据平方根的意义，得
x1=x2=0.
解:根据平方根的意义，得x2=-3,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
探究新知
一般的，对于可化为方程 x2 = a
(1)当a>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等
的实数根 ， ；
(2)当a=0 时，方程有两个相等的实数根
(3)当a＜0 时，方程无解
归纳总结
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=6；
(2) x2－900=0.
解：
（1） x2=6，
直接开平方，得
（2）移项，得
x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
例题讲解
在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:
（x+3)2=5 ， ②
得
对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
例题讲解
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
解题归纳
例2 解下列方程：
（1）（x＋1）2= 2 ；
解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
即x1=-1+
，x2=-1-
解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1=
例题讲解
解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.
例2 解下列方程：
（2）（x－1）2－4 = 0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
例题讲解
∴ x1= ，
x2=
（3）12（3－2x）2－3 = 0.
解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.
解：（3）移项，得12（3-2x）2=3，
两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
例题讲解
配方法的基本思路
填上适当的数，使下列等式成立：
62
22
2
42
4
思考：等式的左边，常数项与一次项的系数有什么关系？
发现：常数项=一次项的系数一半的平方
探究新知
配完全平方式方法：
形如 x2+bx 的式子，加上一次项系数b的一半的平方，则可配成完全平方式，即
x2 + bx + ( )2 = ( x + )2
通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
探究新知
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
例3：解方程 x2 + 8x - 9 = 0
解：可以把常数项移到方程的右边,得
x2 + 8x = 9 ,
两边都加42（一次项系数8的一半的平方）,得
x2 + 8x + 42 = 9 + 42 ,
即 （x+4）2 = 25 .
两边开平方,得 x + 4 = ± 5 ,
即 x + 4 =5 或 x + 4 = -5.
所以 x1 = 1 , x2= -9.
探究新知
试一试：解决梯子底部滑动问题：x2 + 12x -15=0 .
解：可以把常数项移到方程的右边,得
x2 + 12x = 15 ,
两边都加62（一次项系数6的一半的平方）,得
x2 + 12x + 62 = 15 + 62 ,
即 （x+6）2 = 51 .
两边开平方,得
x + 6 = ,
即 x + 6 = 或 x + 6 = .
所以 x1 = , x2= .
探究新知
利用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项:把常数项移到方程的右边;
（2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
（3）变形:方程左边写成完全平方式,右边合并同类项;
（4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；
（5）求解：解一元一次方程；
（6）定解：写出原方程的解．
归纳总结
(C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ;
x2=
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(A) x2=-2,解方程，得x=±
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
D
课堂练习
2.方程 x2 - 4 = 0 的解是（ ）
A. x =2 B. x = -2
C. x =±2 D. x =±4
3.用配方法解关于x的一元二次方程 x2 - 2x - 3 = 0,配方后的方程可以是（ ）
A. (x - 1) 2 = 4 B. (x + 1) 2 = 4
C. (x - 1) 2 = 16 D. (x + 1) 2 = 16
A
C
课堂练习
4. 用配方法解方程： (x + 1 )(x - 1) + 2(x + 3) = 8
解：方程化简，得 x2 + 2x + 5 = 8.
移项，得 x2 + 2x = 3,
配方，得 x2 + 2x + 1 = 3 + 1 ,
即 （x + 1）2 = 4.
开平方, 得 x + 1 = ±2.
解得 x1 = 1 , x2= -3.
课堂练习
5.用配方法解 x2 - 4x = 1.
解：配方，得 x2 - 4x + （-2）2 = 1 + （-2）2 ,
即 （x - 2）2 = 5.
开平方, 得 x - 2 = .
解得 x1 = , x2= .
课堂练习
解：(1)两边开方得x=±9.即x1=9，x2=-9.
（2）移项，得16x2=25.
两边同除以16,得x2= .
两边开方，得x=± .
即x1= , x2=- .
6.解下列方程:
(1)x2=81； (2)16x2-25=0.
课堂练习
解：(1)由原式配方,得(y－3)2=3.
故y－3=± .
则y1=3＋ ，y2=3－ .
(2)由原式配方,得(x－5)2=49.
则x－5=±7.
则x1=12，x2=－2
7.用配方法解一元二次方程：
(1)y2－6y＋6=0； (2)x2－10x=24.
课堂练习
课堂小结
用配方法解
一元二次方程
直接开平方法：
基本思路：
解二次项系数为1的一元二次方程步骤
形如（x + m）2 = n (n≥0)
将方程转化为（x + m）2 = n
(n≥0)的形式，在用直接开平方法，
直接求根.
1.移项
3.直接开平方求解
2.配方
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