专题7直线与圆的位置关系
知识点1 直线与圆的位置关系
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法 几何法:设圆心到直线的距离d= d<r d=r d>r
代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
例题1.已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点.
【解析】将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理得,
(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.
∵Δ=4m(3m+4),
∴(1)当Δ>0时,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
(2)当Δ=0时,即m=0或m=-时,直线与圆相切,
即直线与圆只有一个公共点;
(3)当Δ<0时,即-即直线与圆没有公共点.
知识点二 直线与圆相切问题
圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0.
(2)点在圆外时
①几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0).由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,也就得切线方程.
②代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,消去y后得到关于x的一元二次方程,由Δ=0求出k,可得切线方程.
例题2:(1)过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线方程.
【解析】 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,
所以点A在圆外,故切线有两条.
①若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.
设圆心为C,
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,
所以=1,即|k+4|=,
所以k2+8k+16=k2+1,解得k=-.
所以切线方程为-x-y+-3=0,
即15x+8y-36=0.
②若直线斜率不存在,
圆心C(3,1)到直线x=4的距离为1,
这时直线x=4与圆相切,所以另一条切线方程为x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
(2)已知圆.
求该圆的圆心坐标;过点做该圆的切线,求切线的方程.
【答案】(1)圆心的坐标为;(2)切线的方程为.
【详解】根据题意,圆,其标准方程为,
则其圆心的坐标为;
根据题意,圆的方程为,
而点恰好在圆上,
又由,则切线的斜率,
则切线的方程为.
(3)过点可以向圆引两条切线,则的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C【详解】因为表示圆,
所以,解得:,
若过点可以向圆引两条切线,
则点在圆外,
所以,解得,
所以的范围是,
故选:C.
举一反三:
【变式1】自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,则切线长为( ).
B.3 C. D.5
【答案】B 【解析】 圆心C(2,3),,∴切线长.
【变式2】直线与圆相切,则实数等于( )
A.或 B.或 C.或 D.或
【答案】C
【变式3】在平面直角坐标系中,动圆与直线相切,则面积最大的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B【详解】根据题意,直线,恒过定点,
动圆,其圆心为,半径为,
若圆的面积最大,即圆心到直线的距离最大,且其最大值,
即圆的面积最大时,圆的半径,
此时圆的方程为:,故选:B.
【变式4】已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( ).
A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2
【答案】B 【解析】因为两条切线x―y=0与x―y―4=0平行,故它们之间的距离即为圆的直径,故,所以.设圆心坐标为P(a,―a),则点P到两条切线的距离都等于半径,故,,解得a=1,故圆心为(1,―1),所以圆的标准方程为(x―1)2+(y+1)2=2
知识点三 直线与圆相交问题
求弦长常用的三种方法
(1)利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系+d2=r2解题.
(2)利用交点坐标,若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长.
(3)利用弦长公式,设直线l:y=kx+b,与圆的两交点(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|=.
例题3 .(1)求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长|AB|.
【解析】联立直线l与圆C的方程,得解得所以交点为A(1,3),B(2,0).故直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长|AB|==.
(2)过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为________.
【答案】2x―y=0 【解析】设所求直线方程为y=kx,故圆心到直线距离等于,即圆心位于直线kx―y=0上,于是有k―2=0,即k=2,因此所求直线方程为2x―y=0.
(3)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( ).
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为,所以四边形ABCD的面积为 .
(4)直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M,N两点,且M,N关于直线x+2y=0对称,则k+m=( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
【答案】B【解析】由题可知:直线x+2y=0是线段MN的中垂线,得,解之得k=2,
所以圆方程为x2+y2+2x+mh-4=0,圆心坐标为,
将代入x+2y=0,解得m=-1,得k+m=1.
(5)已知,则直线过定点__________;若直线与圆恒有公共点,则半径r的取值范围是__________.
【答案】
举一反三:
【变式1】直线:截圆:所得的弦长是( )
A.2 B. C. D.4
【答案】C【详解】
由可得,所以其圆心为,半径为2
所以圆心到直线:的距离为
所以弦长为故选:C
【变式2】已知圆截直线所得弦的长度为4,则实数( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
【答案】B【详解】由题意:圆心,,
设圆心到直线的距离为,
∴,
∵,∴,∴.
【变式3】已知点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最大值是( ).
A.6 B.8 C. D.
【答案】D 【解析】直线AB的方程是,,则当△ABC面积取最大值时,边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值.又圆心M(1,0),半径r=1,点M到直线的距离是,d的最大值是,△ABC面积的最大值是
【变式4】过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,如果|AB|=8,求直线l的方程.
【解析】将圆的方程配方得(x+1)2+(y-2)2=25,
由圆的性质可得,圆心到直线l的距离d==3.
①当直线l的斜率不存在时,x=-4满足题意;
②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.
由点到直线的距离公式,得3=,
解得k=-,所以直线l的方程为5x+12y+20=0.
综上所述,直线l的方程为x+4=0或5x+12y+20=0.
【变式5】已知圆的方程为.
(1)求过点且与圆相切的直线的方程;
(2)直线过点,且与圆交于、两点,若,求直线的方程;
【答案】(1)或 (2)或
【解析】【详解】
(1)当斜率不存在时,直线方程为,与圆相切,满足题意;
当斜率存在时,设直线方程为:,即
圆圆心坐标为,半径
圆心到直线的距离,解得:
直线方程为,即
综上所述:过点且与圆相切的直线的方程为:或
(2)由(1)知,直线斜率存在,可设其方程为
设圆心到直线距离为
即,解得:或
直线的方程为或,即或
【变式6】已知圆C的圆心为(1,1),直线与圆C相切.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若直线过点(2,3),且被圆C所截得的弦长为2,求直线的方程.
【答案】(1);(2)或.
【详解】(1)圆心到直线的距离.
直线与圆相切,.
圆的标准方程为:.
(2)①当直线的斜率存在时,设直线的方程:,
即:,,又,.
解得:.
直线的方程为:.
②当的斜率不存在时,,代入圆的方程可得:,解得,可得弦长,满足条件.
综上所述的方程为:或.
例题5(1)已知点P(x,y)在圆x2+y2-6x-6y+14=0上.
(1)求的最大值和最小值;(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值;
(3)求x+y的最大值与最小值.
【解析】方程x2+y2―6x―6y+14=0,变形为(x―3)2+(y―3)2=4.
(1)表示圆上的点P与原点连线的斜率,显然PO与圆相切时,斜率最大或最小.
设切线方程为y=kx,即kx―y=0,由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径长2,可得,解得,所以,的最大值为,最小值为.
(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2,它表示圆上的点P到E(―1,0)的距离的平方再加2,
所以,当点P与点E的距离最大或最小时,所求式子就取最大值或最小值,
显然点P与点E距离的最大值为|CE|+2,点P与点E距离的最小值为|CE|―2,
又,所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51,最小值为(5―2)2+2=11.
(3)设x+y=b,则b表示动直线y=―x+b与圆(x―3)2+(y―3)2=4相切时,b取最大值或最小值.
圆心C(3,3)到切线x+y=b的距离等于圆的半径长2,
则,即,解得,
所以x+y的最大值为,最小值为.
(2) 已知直线:与曲线有两个公共点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B【详解】
画出如下图像:
当直线过点时,,此时直线与曲线有两个公共点;
直线与曲线相切时,,因此当时,直线与
曲线有两个公共点.故选B
举一反三:
【变式1】已知点在圆上,则的最大值是__________.
【答案】【详解】
令,则,表示直线在轴上的截距,
所以的最大值是直线在轴上截距的最大值,
此时直线与圆相切,
则圆心到直线的距离等于半径,即,
解得.
【变式2】(多选)实数,满足,则下列关于的判断正确的是( )
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的最大值为 D.的最小值为
【答案】CD【详解】
由题意可得方程为圆心是,半径为1的圆,
则为圆上的点与定点的斜率的值,
设过点的直线为,即,
则圆心到到直线的距离,即,整理可得,解得,
所以,即的最大值为,最小值为.
故选:CD.
【变式3】若直线与曲线没有公共点,则实数的取值范围是____________.
【答案】;【详解】
由可得,
所以曲线为以为圆心,的下半圆,
【变式4】已知实数、满足方程.求:的取值范围为_______;的最小值为________ ;的取值范围为__________.
【答案】
【详解】圆的标准方程为,圆心为,半径为.
设,可得,则直线与圆有公共点,
则,解得,则的取值范围为;
设,可得,则直线与圆有公共点,
则,解得,则的最小值为;
设,由于,则原点在圆外,
因为圆与圆有公共点,圆心距为,
故,解得,故.
即的取值范围为.
故答案为:;;.
例题6(1)设圆C:,直线l:y=x+b.若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1,则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D【解析】由圆C的方程:,可得圆C的圆心为原点O(0,0),半径为2
若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1,则O到直线l:y=x+b的距离d小于1
(2)已知P为圆上任意一点,A,B为直线上的两个动点,且,则面积的最大值是___________.
【答案】3【详解】
解:根据圆的方程,圆心到直线的距离,
所以圆上的点到直线的最大距离,
此时最大面积.故答案为:.
(3)已知点A(―3,0),B(0,3),若点P在圆上运动,则△PAB面积的最小值为________.
【答案】
【解析】圆的标准方程为,圆心C(1,0),半径r=1,
当过P的直线和AB平行时,△PAB的面积最小,
∵A(-3,0),B(0,3),∴AB的方程为,即x-y+3=0,
此时圆心C到直线AB的距离,
则△PAB的边长,
AB边上的高,
则△PAB面积,故答案为:
举一反三:
【变式1】若圆上恰有3个点到直线的距离为2,则的值为___________
【答案】2或【详解】
圆的半径为,且圆上恰有个点到直线的距离为,
所以圆心到直线的距离为,
所以或.
故答案为:2或
【变式2】过点的直线l与圆的圆心的距离为d,则d的取值范围为_______.
【答案】【详解】
圆的圆心坐标为,半径为2,点在圆外,
当直线l经过圆心时,d最小,
当直线l垂直于点A与圆心的连线时,d最大,
∴d的最小值为0,最大值为,故.
故答案为:
【变式3】直线被圆C:所截得的最短弦长为______.
【答案】4【详解】由题意,圆,可得圆心,半径,
则圆心到直线的距离为,
可得截得弦长为,
当时,弦长取得最小值,最小值为.故答案为:.
【变式4】过点与圆相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方程是___________.
【答案】【详解】
由可得,所以圆心为,
由圆的性质可知圆的所有弦中直径最长,
所以所求直线过点且过圆心,
所求直线的斜率为,
根据斜截式方程可得:,即,
故答案为:.