第二十三讲 诱导公式及三角恒等变换
一、自我诊断 知己知彼
1．已知sin(π＋α)＝，则cos α的值为( )
A．± B. C. D．±
2.已知f(x)＝，则f(－)＝ .
3．的值是________．
4．函数f(x)＝2sin2－cos 2x的最大值为( )
A．2 B．3 C．2＋ D．2－
5．已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝，则α＋β＝ ( )．
A. B. C.和 D．－和－
二、温故知新 夯实基础
1.六组诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限
2．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos α cos β＋sin α sin β，(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β，(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin α cos β－cos α sin β，(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin α cos β＋cos α sin β，(S(α＋β))
tan(α－β)＝，(T(α－β))
tan(α＋β)＝.(T(α＋β))
3．二倍角公式
sin 2α＝2sin α cos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
三、典例剖析 举一反三
考点一 诱导公式的应用
（一）典例剖析
例1．已知＝－，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.
例2．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
例3．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
例4.若sin＝，那么cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
（二）举一反三
1．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sin＝( )
A.－ B．－
C. D.
2．已知tan＝，则tan＝________.
3．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝________.
4．已知sin＝，则cos的值为( )
A．－ B.
C. D．－
考点二 两角和与差公式的应用
（一）典例剖析
例1．sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是( )
A. B. C. D．－
例2．化简等于( )
A．1 B. C. D．2
例3．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝ .
（二）举一反三
1．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )
A. B.或 C. D．2kπ＋(k∈Z)
2．计算 ＝________(用数字作答)．
3．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cos β＝( )
A．－ B．－ C. D.
4. 已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
5. 已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.
考点三 二倍角公式的应用
（一）典例剖析
例1．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A．－ B．－ C. D.
例2．cos·cos·＝( )
A．－ B．－ C. D.
例3. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
（二）举一反三
1. 已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝( )
2.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值.
4．若tan＝4cos(2π－θ)，|θ|<，则tan 2θ＝________.
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1．已知角α的终边经过点P(－1，)，则sin2α的值为( )
A. B．－
C．－ D．－
2．已知函数f(x)＝a sin(π x＋α)＋b cos(π x＋β)，且f(3)＝3，则f(2 018)的值为( )
A．－1 B．1 C．3 D．－3
3.的值为( )
A．1 B．－1 C. D．－
4.已知sin α＝，α∈(，π)，则＝ .
5.在△ABC中，若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为( )
A．－ B. C. D．－
【巩固】
1. 的值是( )
A. B. C. D.
2．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α，β，则α＋β的值是( )
A. B. C.或 D.或
3．已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈.若f(x1)A．x1x2 C．xx
4.若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则α＋β的值为________.
5.已知α，β都是锐角，tan α＝，sin β＝，则α＋2β的大小为________。
【拔高】
1．若＝2，则cosα－3sinα＝( )
A．－3 B．3
C．－ D.
2．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝________.
3．已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sinB＝，则A＋B＝( )
A. B. C. D.
4．已知，则的值是 .第二十三讲 诱导公式及三角恒等变换
一、自我诊断 知己知彼
1．已知sin(π＋α)＝，则cos α的值为( )
A．± B. C. D．±
【答案】 D
【解析】 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝. ∴sin α＝－，cos α＝±＝±.
2.已知f(x)＝，则f(－)＝ .
【答案】 －1
【解析】 f(x)＝＝－tan2x， f(－)＝－tan2(－)＝－tan2π＝－1.
3．的值是________．
【答案】2
【解析】依题意得＝＝＝＝2.
4．函数f(x)＝2sin2－cos 2x的最大值为( )
A．2 B．3 C．2＋ D．2－
【答案】 B
【解析】f(x)＝1－cos 2－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，
可得f(x)的最大值是3.
5．已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝，则α＋β＝ ( )．
A. B. C.和 D．－和－
【答案】 A
【解析】 由α，β都为锐角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.
所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，所以α＋β＝.
二、温故知新 夯实基础
1.六组诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限
2．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos α cos β＋sin α sin β，(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β，(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin α cos β－cos α sin β，(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin α cos β＋cos α sin β，(S(α＋β))
tan(α－β)＝，(T(α－β))
tan(α＋β)＝.(T(α＋β))
3．二倍角公式
sin 2α＝2sin α cos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
三、典例剖析 举一反三
考点一 诱导公式的应用
（一）典例剖析
例1．已知＝－，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.
【答案】
【解析】 由α是第二象限的角，得＝＝，＝＝－，则tan(2π－α)＝－＝.
【易错点】 忽略了角所在的象限导致增根
【方法点拨】
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.
例2．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
【答案】 C
【解析】 原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°·sin 261°
＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)
＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.
【易错点】 角度的负化正，大化小出错
【方法点拨】(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.
例3．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
【答案】 C
【解析】 当k为偶数时，A＝＋＝2；
当k为奇数时，A＝－＝－2.
故A＝{2，－2}．
【易错点】 忽略了k作为奇数和偶数时结论的不同
【方法点拨】(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.
例4. 若sin＝，那么cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
答案 D
解析 cos＝cos＝－sin＝－.
（二）举一反三
1．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sin＝( )
A.－ B．－
C. D.
【答案】 B
【解析】 因为角α的终边经过点P(3,4).
所以cosα＝＝.
所以sin＝sin
＝sin＝－sin＝－cosα＝－.
2．已知tan＝，则tan＝________.
【答案】 －
【解析】tan＝tan＝tan＝－tan＝－.
3．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝________.
【答案】 －
【解析】 因为sin＝cosα＝，α∈，
所以sinα＝＝，
所以sin(π＋α)＝－sinα＝－.
4．已知sin＝，则cos的值为( )
A．－ B.
C. D．－
【答案】A
【解析】 ∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.
考点二 两角和与差公式的应用
（一）典例剖析
例1．sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是( )
A. B. C. D．－
【答案】 A
【解析】 sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°＝sin(18°＋27°)＝sin 45°＝.
【易错点】 用错公式
【方法点拨】
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
例2．化简等于( )
A．1 B. C. D．2
【答案】 C
【解析】 原式＝
＝＝＝.
【易错点】 根号下的式子没有合理转化成倍角公式
【方法点拨】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
例3．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝ .
【答案】
【解析】∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，
∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°tan 40°，
∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
【易错点】 两角和的正切公式的变形不清晰
【方法点拨】 关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法
（二）举一反三
1．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )
A. B.或 C. D．2kπ＋(k∈Z)
【答案】 C
【解析】 由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，
故cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋β＝.
2．计算 ＝________(用数字作答)．
【答案】
【解析】＝＝＝＝.
3．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cos β＝( )
A．－ B．－ C. D.
【答案】 C
【解析】∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sin α＝.
又cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
4.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
【答案】 －.
【解析】 (1)∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
5．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.
【答案】 5
【解析】 因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝5.
考点三 二倍角公式的应用
（一）典例剖析
例1．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A．－ B．－ C. D.
【答案】 A
【解析】将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝，即sin 2α＝－.
【易错点】 忽略了平方计算的简便性
【方法点拨】 善于利用同角的三角函数之间的商的关系转化，计算简便。
(1)利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于，，这三个式子，利用，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：，，.
例2．cos·cos·＝( )
A．－ B．－ C. D.
【答案】 A
【解析】cos·cos·
＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－
＝－＝－＝－＝－＝－.
【易错点】 没有合理转化为二倍角的正弦进行求解
【方法点拨】 注意公式逆用及变形应用：
例3. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】：D
【解析】
【易错点】 没想到倍角公式的逆运算
【方法点拨】 注意公式逆用及变形应用：，，
（二）举一反三
1.已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又α∈，∴tanα＝，∴sinα＝.故选B.
2.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】
3.求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值.
【答案】
【解析】sin220°+cos280°+sin20°cos80°
= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°
=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)
=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°
=1－cos40°－(1－cos40°)=
4．若tan＝4cos(2π－θ)，|θ|<，则tan 2θ＝________.
【答案】
【解析】∵tan＝4cos(2π－θ)，∴＝4cos θ，
又∵|θ|<，∴sin θ＝，
∴0<θ<，cos θ＝，tan θ＝＝，
从而tan 2θ＝＝.
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1．已知角α的终边经过点P(－1，)，则sin2α的值为( )
A. B．－
C．－ D．－
【答案】 B
【答案】 因为角α的终边经过点P(－1，)，所以由任意角三角函数的定义知，
sinα＝，cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝－.
2．已知函数f(x)＝a sin(π x＋α)＋b cos(π x＋β)，且f(3)＝3，则f(2 018)的值为( )
A．－1 B．1 C．3 D．－3
【答案】 D
【解析】 因为f(3)＝a sin(3π＋α)＋b cos(3π＋β)＝－a sin α－b cos β＝3，
所以a sin α＋b cos β＝－3，
所以f(2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－3.
3.的值为( )
A．1 B．－1 C. D．－
【答案】 D
【解析】 原式＝＝＝－.
4.已知sin α＝，α∈(，π)，则＝ .
【答案】 －
【解析】 ＝＝cos α－sin α，
∵sin α＝，α∈(，π)，∴cos α＝－，∴原式＝－.
5.在△ABC中，若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为( )
A．－ B. C. D．－
【答案】 B
【解析】 由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，
又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
【巩固】
1. 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 ，
所以
2．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α，β，则α＋β的值是( )
A. B. C.或 D.或
【答案】 A
【解析】 ∵α，∴2α， ∵sin 2α＝，∴2α.
∴α且cos 2α＝－，又∵sin(β－α)＝，β，∴β－α，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝×－×＝，
又α＋β，所以α＋β＝.
3．已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈.若f(x1)A．x1x2 C．xx
【答案】 D
【解析】f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝cos 4x＋，4x∈[－π，π]，所以函数f(x)是偶函数，且在上单调递减，根据f(x1)|x2|，即x>x.
4.若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则α＋β的值为________.
【答案】
【解析】 因为cos(2α－β)＝－且<2α－β<π， 所以sin(2α－β)＝.
因为sin(α－2β)＝且－<α－2β<， 所以cos(α－2β)＝.
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝.
因为<α＋β<，所以α＋β＝.
5.已知α，β都是锐角，tan α＝，sin β＝，则α＋2β的大小为________。
【答案】
【解析】 因为β为锐角，且sin β＝，所以tan β＝，所以tan2β＝＝＝。
故tan(α＋2β)＝＝＝1。又因为β为锐角，且sin β＝因为α为锐角，且tan α＝【拔高】
1．若＝2，则cosα－3sinα＝( )
A．－3 B．3
C．－ D.
【答案】 C
【解析】 因为＝2，所以cosα＝2sinα－1.又因为sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＋(2sinα－1)2＝1.整理得5sin2α－4sinα＝0，因为sinα≠0，
所以sinα＝.所以cosα＝2sinα－1＝.所以cosα－3sinα＝－＝－.故选C.
2．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝________.
【答案】
【解析】∵sin(C－A)＝1，
∴C－A＝90°，即C＝90°＋A，
∵sin B＝，
∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝，
即1－2sin2A＝，∴sin A＝.
3．已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sinB＝，则A＋B＝( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 因为sin2＋cos＝＋cosA－sinA＝－sinA＝，所以sinA＝，因为A，B均为钝角，所以A＋B∈(π，2π)，由sinA＝得cosA＝－，由sinB＝得cosB＝－，所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝，所以A＋B＝.
4．已知，则的值是 .
【答案】
【解析】由，得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
