1.3.2函数的奇偶性 课件（共34张PPT）2021-2022学年高一上学期 人教A版 数学必修1

(共34张PPT)
在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：
它关于什么对称？
x
y
o
x
y
o
观察下列两个函数图象并思考以下问题：
（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？
（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
x -3 -2 -1 0 1 2 3
x -3 -2 -1 0 1 2 3
我们得到,这两个函数图象都关于
y轴对称.从函数值对应表可以看到，
当自变量x取一对相反数时,相应的
两个函数值相同.即点(x,f(x))在图象
上,相应的点(-x,f(x))也在函数图象上。
我们能否利用函数解析式来描述函
数图象的特征呢？
y=x2
-x
x
当x1=1, x2= -1时，f(-1)=f(1)
当x1=2, x2= -2时，f(-2)=f(2)
对任意x，f(-x)=f(x)
偶函数定义：
如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。
再观察下列函数的图象，它们又有什么样的特点
规律呢？
y
x
O
x0
-x0
x -3 -2 -1 0 1 2 3
x -3 -2 -1 1 2 3
我们得到,这两个函数图象都关于
原点对称.从函数值对应表可以看到:
当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相反.即点(x,f(x))在图象上,相应的点(-x,-f(x))也在函数图象上。
我们同样可以利用函数解析式来描述函数图象的这个特征。
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1)
f(-2)= - f(2)
f(-x)= - f(x)
-x
x
奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=-f(x)。那么f(x)就叫奇函数。
思考:偶函数与奇函数图象有什么
特征呢
偶函数的图象关于
y轴对称.
函数y=x2的图像
偶函数的图像特征
奇函数的图像特征
函数y=x3的图像
O
奇函数的图象关于原点对称.
对于奇、偶函数定义的几点说明:
(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。
（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，
即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就
是说函数f(x) 具有奇偶性。
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y
x
y
x
y
x
-1
2
y
x
-1
1
偶
奇
非奇
非偶
奇
例2.判断下列函数的奇偶性:
（1）
（2）
解:(1)对于函数 ，其定义域为 ，因为对定义域内的每一个x,都有
所以函数 为奇函数。
(3)
(2)对于函数 ,其定义域为
{x|x 0},定义域内每个x,都有
故f(x)为偶函数。
(3)f(x)定义域为R,定义域内每个x都有
故f(x)为奇函数.
（5）
（4）
定义域不关于原点对称，所以
f(x)为非奇非偶函数。
解：（4）
（5）
,故函数f(x)为既是奇函数也是偶函数。
(6)
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
判断函数奇偶性步骤:
(1)先求函数定义域,并判断
定义域是否关于原点对称;
(2)确定f(x)与f(-x)的关系;
(3)作出结论.
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,
则f(x)是偶函数;
若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0,
则f(x)是奇函数.
函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？
f(x)=2x+1
y
0
2
x
1
-1
分析：法1：函数的定义域为R
但是f(-x)=2(-x)+1= -2x+1
∴ f(-x)≠- f(x)且f(-x)≠f(x)
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）
思
考：
练习：完成课本p36页的练习1
否定某个结论只需举出反例即可
法2： 如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
法3：因f(-1) ≠ - f(1) 且f(-1) ≠- f(1)
例3、设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，
(1)作出函数在[－5,0]的图象；
(2)使函数值y<0的x的取值集合．
【思路点拨】　由题目可获取以下主要信息：
①f(x)是[-5,5]上的奇函数；
②f(x)在[0,5]上图象已知．
解答本题可先利用奇函数的图象关于原点对称，作出f(x)的图象，再利用图象解不等式．
【解析】　利用奇函数图象的性质，画出函数在[-5,0]上的图象，直接从图象中读出信息．
由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，知它在[-5,0]上的图象，如图1所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5)．
1.如图给出了偶函数y＝f(x)(x∈R)的局部图象，
(1)画出x>0部分的局部图象．
(2)求f(3)，并比较f(1)与f(3)的大小．
【解析】　因为函数y＝f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故保留y＝f(x)在(－∞，0]上的图象，在[0，＋∞)上作y＝f(x)关于y轴对称的图象，如图所示，即得函数y＝f(x)，x∈R的图象．由图象知f(3)＝－2，f(1)＝－1，所以f(1)>f(3)．
例4
由奇函数定义得：f(-x)=- f(x)
即
解:法1：
法2：由奇函数定义得：f（-1）=-f（1）
即
又由f（0）=0，得n=-2
故m=
已知函数奇偶性求参数时，用特殊值即可
b=0
a=c=0
已知函数
（2）函数 是奇函数的条件是________.
（1）函数 是偶函数的条件是________.
思考:
练习：
小结：
奇偶性定义:对于函数f(x),对于定义域内任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内）
①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数；
②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必
要条件。
性质: 奇函数的图象关于原点对称;
偶函数的图象关于y轴对称.
判断奇偶性方法：图象法，定义法。
作业: 课本：
1 0