2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册4.4 对数函数优化训练（Word含答案解析）

第4.4课时 对数函数
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意
1．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家，可恨法身无坐位，当时行动念头差，”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．下列各组表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．三个数，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．定义在R上的偶函数，设，则（ ）
A． B． C． D．
8．设，且时，有，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意
9．若10a＝4，10b＝25，则（ ）
A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞8lg22 D．b﹣a＜lg6
10．下列命题是真命题的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．，
C．，
D．命题“，”的否定是“，”
11．已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的图象关于轴对称
C．函数在定义域上有最小值0
D．函数在区间上是减函数
12．下列各选项中，值为1的是（ ）
A．log26·log62 B．log62＋log64
C． D．
三、填空题。本大题共4小题
13．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数解析式是_________．
14．函数的图像恒过一定点______．
15．已知f(x)＝在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
16．设，若t在上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是________．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知函数．
（1）画出函数的草图，并根据草图求出满足的x的集合；
（2）若，且，求证：．
18．已知函数.
（1）求函数的反函数，并求出反函数的定义域；
（2）判断并证明的单调性.
19．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系如下：当时，y是x的二次函数；当时，. 测得数据如表(部分).
x(克) 0 1 2 9 …
y 0 3 …
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求函数f(x)的最大值．
20．设函数为常数，且
（1）求的值；
（2）设，求不等式的解集．
21．已知函数(，且).
（1）求的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并求函数的单调区间.
22．设函数，且．
（1）求的值；
（2）若令，求实数t的取值范围；
（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．
参考答案
1．A
【解析】因为一丈等于十尺，
所以“道高一尺魔高一丈”更适合用，来表示；
故选：A.
2．B
【解析】A.的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
B.和的定义域是，且，两个函数的解析式相同，所以是同一函数；
C.，，两个函数的定义域都是，两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数；
D.的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.
故选：B
3．C
【解析】若，函数的图象下降，即为减函数，且过，
的图象下降，即为减函数，且
以上图象C符合；
若，函数的图象上升，即为增函数，且过，
的图象上升，即为增函数，
以上图象都不符合.
故选：C
4．B
【解析】因为是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，
因为a满足，即，
所以，即，
解得，
故选：B
5．D
【解析】
故选：D
6．B
【解析】解：∵函数的值域为，
令，
当时，，不合题意；
当时，，此时，满足题意；
当时，要使函数的值域为，
则函数的值域 包含，
，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：B
7．C
【解析】是偶函数，则，即，，解得，，所以在上单调递减．又，所以．
故选：C．
8．D
【解析】∵函数，作出的图象如图所示，∵时，有，
∴0＜a＜1，c＞1，即f（a）＝|lga|＝﹣lga，f（c）＝|lgc|＝lgc，∵f（a）＞f（c），
∴﹣lga＞lgc，则lga+lgc＝lgac＜0，则.
故选：D．
9．AC
【解析】∵10a＝4，10b＝25，∴a＝lg4，b＝lg25，∴a+b＝lg4+lg25＝lg100＝2，
b﹣a＝lg25﹣lg4＝lg＞lg6，ab＝2lg2×2lg5＝4lg2 lg5＞4lg2 lg4=8lg22．
故选：AC．
10．BD
11．AB
【解析】解：∵，，
∴，
由且得，故A对；
由得函数是偶函数，其图象关于轴对称，B对；
∵，∴，
∵在上单调递减，由复合函数的单调性可知，当时，函数在上单调递增，有最小值；当时，函数在上单调递减，无最小值；故 C错；
∵，
当时，在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增；故D错；
故选：AB．
12．AC
【解析】对于A选项，根据可知，A选项符合题意.
对于B选项，原式，B选项不符合题意.
对于C选项，原式，C选项符合题意.
对于D选项，由于，D选项不符合题意.
故选：AC
13．y＝a(1＋r)x，x∈N*
【解析】已知本金为a元，利率为r，
则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，
2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2
3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…
x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*.
故答案为：y＝a(1＋r)x，x∈N*.
14．
【解析】由函数图像的平移公式，我们可得：将函数的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到函数的图像．又函数的图象恒过点，由平移向量公式，易得函数的图像恒过点
故答案为：
15．(－4，4]
【解析】解析二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即解得－4故答案为：(－4，4]
16．
【解析】设，，则问题转化为：对恒成立，
∴，则，
∴，即，得或．
故x的取值范围是．
故答案为：．
17．（1）图见解析，(0，)∪(10，＋∞)；（2）证明见解析.
【解析】（1）画出函数的草图，如图所示：
令，则,即，可得或．
故满足的x的集合是(0，)∪(10，＋∞)；
（2）因为，且，
不妨设，则，
所以，
即，，
所以.
18．（1），定义域为；（2）在区间上单调递增，证明见解析.
【解析】（1）解析：∵，开平方得，
整理得，
∴，定义域为.
（2）在区间上单调递增，证明如下：
任取，且，
则
，
因为，，，
所以，即
19．（1） ；（2）4.
【解析】解：（1）当时，由题意，设，
由表格数据可得，解得
所以，当时，
当时，，由表格数据可得，解得
所以当时，
综上，
（2）当时，
所以当时，函数f(x)的最大值为4；
当时，单调递减，所以f(x)的最大值为
因为，所以函数的最大值为4.
20．（1）；（2）．
【解析】（1），；
（2）由（1）知：，；
①当时，，即，解得：；
②当时，，即，，
解得：，；
综上所述：的解集为.
21．（1）；（2）函数为奇函数；当时，函数在，上为减函数；当时，函数在，上为增函数.
【解析】（1）∵(且)，
∴，即，
解得或，
故函数的定义域，
（2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称，
∵，
∴函数为奇函数，
设，则，
因为函数u在和上均为减函数，
当时，函数在为增函数，
所以函数在，上为减函数，
当时，函数在为减函数，
故函数在，上为增函数.
22．（1）6；（2）；（3），此时；，此时．
【解析】（1）；
（2），又，，，所以t的取值范围为；
（3）由，
令，，
当时，，即，解得，
所以
，此时；
当时，，即，
，此时．