广东省深圳市第七高级重点中学2022届高三上学期第二次月考数学试题（PDF版含答案）

深圳市第七高级中学 2022 届高三第二次月考试题
数 学
考试时长：120 分钟 卷面总分：150 分
1
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.设集合 A {x | 0 x 3}， B {x | 2x 4}，则 A B =( )
A． x 0 x 2 B．{x | 0 x 2} C．{x | 2 x 3} D．{x | 2 x 3}
2.已知复数 z (1 2i)(1 3i)，则 | z | ( )
A． 74 B．74 C．5 2 D．50
3.已知向量 a (2,m),b (2,4) ,若 a b，则 | a b | ( )
A. 5 B.5 C. 2 5 D. 4 5
log9 (1 x), x 04.定义在 R上的函数 f (x)满足 f (x) ，则 f (2018) ( )
f (x 10), x 0
1 1
A. B. C. 1 D.1
2 2
5.从一批零件中抽取 80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分
为 9 组： [5.31,5.33), [5.33,5.35),…， [5.45,5.47), [5.47,5.49],并整
理得到频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径不小于 5.43mm的
个数是( )
A.10 B.18 C.26 D.36
x2 y2
6.已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的一条渐近线经过点 (1, 5)，则该双曲线的离心率为( )a b
5 6 30A．2 B． C． D．
5
7.将 4名志愿者全部安排到某社区参加 3项工作，每人参加 1项，每项工作至少有 1人参加，则不同的安排方式共
有( )
A．24种 B．36种 C．60种 D．72种
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8 a,b,c (0,1) a2 2ln a 1 e b2 2lnb 2 e2 c2．已知 ，且 ， ， 2ln c 3 e3，e是自然对数的底数，则( )
A． a b c B．a c b C． c a b D． c b a
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的 a b c得 2 分.
9.下列说法正确的是( )
1 1
A. x 3是 x2 4的充分不必要条件 B.“ x0 R, x0 2x ”的否定是“ x R, x 2”0 x
C.钝角一定是第二象限角 D.定义在[a,b]上的偶函数 f (x) x2 (a 5)x b的最大值为 30.
10. 2 2已知圆M : x y 4x 1 0，则下列说法正确的是( )
A．点 (4,0)在圆 M外 B．圆 M的半径为 5
C．圆 M关于 x 3y 2 0对称 D．直线 x y 0截圆 M的弦长为 3
11.已知函数 f (x) sin(2x )，则( )
4
A．函数 y | f (x) |的最小正周期为
x 5 B． 是 y f (x)图象的一条对称轴
8
9
C． y f (x) f (2x )的值域为[ ,2]
8 8
D．若 0， f ( x) 1在区间[ , ]上单调，则 的取值范围是 (0, ]
2 8
n(n 1)
12.已知数列{an}满足 an 1 an n ( 1) 2 ，前 n项和为 Sn，且m S2019 1009，则下列说法正确的是( )
A．m为定值 B．m a1为定值 C． S2019 a1为定值 D．ma1有最大值
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
3
13.已知 sin( ) ，则 cos 2 ___________.
5
14. (x 1 )6的展开式的常数项为___________.（用数字作答）
x
5. 31 已知函数 f (x) ax bx在点 (1, f (1))处的切线方程为 y 2x 2 ,则 f (x)的极小
值为 .
16.如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 3，点H 在棱 AA1上，且HA1 1，P
是侧面 BCC1B1内一动点，HP 13，则CP的最小值为____________.
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四、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分 10分)
已知等比数列{an}中， a1＝1，且 2a2 是 a3和 4a1的等差中项。等差数列{bn}满足b1 1，b7 13 .
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an bn}的前 n项和Tn .
18.(本小题满分 12分)
ABC a 3b在 中，角 A、 B、C所对的边分别为 a、b 、 c，且 ．
cos A sinB
（1）求角 A的值；
（2）若 ABC的面积为3 3，且 a 14，求b c．
19.(本小题满分 12分)
某商场以分期付款方式销售某种商品,根据以往资料统计,顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为:
2 3 4
P 0.4 a b
其中0 a 1，0 b 1.
（1）求购买该商品的 3位顾客中,恰有 2位选择分 2期付款的概率；
（2）商场销售一件该商品,若顾客选择分 2 期付款,则商场获得的利润为 200元;若顾客选择分 3期付款,则商场获
得的利润为 250 元;若顾客选择分 4 期付款,则商场获得的利润为 300 元.商场销售两件该商品所获得的利润记为
X (单位:元).
（i）求 X 的分布列；
（ii）若 P(X 500) 0.8,求 X 的数学期望 E(X )的最大值.
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20．(本小题满分 12分)
如图，在四棱锥 P ABCD中， PA AD，底面四边形 ABCD为直角梯形， BCD 90 ，BC AD，
AD∥BC，M 为线段 PB上一点．
（1）若 2，则在线段PB上是否存在点M ，使得 AM∥平面 PCD 若存在，
请确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．
（2）已知 PA 2， AD 1，若异面直线 PA与CD成90 角，二面角B PC D
10
的余弦值为 ，求CD的长．
10
21.(本小题满分 12分)
2
抛物线 E： y 2px( p 0)的焦点为 F ，过点 F 的直线与抛物线交于M ,N 两点，弦 |MN |的最小值为 2.
（1）求抛物线 E的标准方程；
（2）设点Q是直线 x 1(y 0)上的任意一点，过点 P(1,0)的直线 l与抛物线E交于 A，B两点，记直线 AQ，
k k
BQ，PQ的斜率分别为 kAQ ， k k
AQ BQ
BQ， PQ，证明： 为定值.kPQ
22.(本小题满分 12分)
已知函数 f (x) (x 1)2 a(ln x x 1)(a 2)
（1）讨论 f (x)的单调性；
（2）若方程 f (x) a 1 0在 (0,2]上有且只有一个实根，求 a的取值范围.
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深圳市第七高级中学 2022 届高三第二次月考数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C B A C C B A ACD BC BC BCD
7
13. 14. 20 2 315. 16. 13 2
25 9
17.（1）设数列{an}的公比为 q，数列{bn}的公差为 d ，
由题意可得： 2 2a2 a3 4a1，即 4a2 a3 4a1， .....................1分
a1 1
联立 2 ，可得 q 2， .....................2分
4a1 q a1 q 4a1
{a } a 2n 1则数列 n 的通项公式为 n ； .....................3分
由题意可得：b7 b1 12 6d ，即 d 2， .....................4分
则数列{bn}的通项公式为bn 1 (n 1) 2 2n 1 . .....................5分
（2 n 1） an bn 2 (2n 1)
.....................6分
，
则 Tn (2
0 1) (21 3) [2n 1 (2n 1)] .....................7分
(20 21 2n 1) (1 3 2n 1) .....................8分
1 2n (1 2n 1) n

1 2 2
2n 1 n2 .....................10分
a b a 3b
18.（1）由正弦定理： ，又由已知 ，可得： .....................1分
sin A sin B cos A sinB
a 3a
，即 sin A 3 cos A， .....................3分
cos A sin A
则 tan A 3 .......................4分
又因为 A (0, )

所以 A .....................5分
3
1 3
（2） S ABC bc sin A，即 bc 3 3，则bc 12， ......................6分2 4
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在 ABC 2 2 2 2 2中，由余弦定理得： a b c 2bc cos b c 12 14 ......................7分
3
b2 c2则 26， .......................8分
(b c)2即 b2 c2 2bc 50 .......................10分
所以b c 5 2 ......................12分
19.（1）设购买该商品的 3位顾客中，选择分 2期分期付款的人数为 ，依题意，得
~ B(3,0.4)， .....................1分
则 P( 2) C 23 (0.4)
2 (1 0.4) 0.288 .
故购买该商品的 3位顾客中，恰有 2位选择分 2期付款的概率为 0.288 .....................3分
（2）（i）依题意，得 X 得取值分别为 400，450，500，550，600.
P(X 400) 0.4 0.4 0.16，
P(X 450) C12 0.4 a 0.8a，
P(X 500) C12 0.4 b a
2 0.8b a2 ，
P(X 550) C12 a b 2ab，
P(X 600) b2 . .......................5分
所以 X 的分布列为：
X 400 450 500 550 600
P 0.16 0.8a 0.8b a2 2ab b2
........................6分
（ii）
P(X 500) P(X 400) P(X 450) P(X 500) 0.16 0.8(a b) a2 .....................7分
根据题意得： a b 0.4 1，则b 0.6 a，
由 P(X 500) 0.8，得 a2 0.16
解得： a 0.4或 a 0.4
又 a 0，则 a 0.4 .....................8分
又b 0，则 0.6 a 0，即 a [0.4,0.6) .....................9分
E(X ) 400 0.16 450 0.8a 500 (0.8b a2 ) 1100ab 600b2 520 100a .....................10分
当 a 0.4时， E(X )有最大值，为 480
所以 X 的数学期望 E(X )的最大值为 480. .....................12分
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20.（1）延长BA，CD交于点E，连接 PE，则 PE 平面 PCD．
若 AM∥平面 PCD，由平面 PBE 平面 PCD PE， .....................2分
AM 平面 PBE，则 AM∥PE．
由 AD 1 BC， AD∥BC ，
2
PM EA 1
则 故点M 是线段PB的中点． .....................4分
PB EB 2
（2）因为 PA AD， PA CD , AD CD D，
AD 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，则 PA 平面 ABCD， .....................5分
以点 A为坐标原点，以 AD， AP所在的直线分别为 y轴、 z轴，
过点 A与平面 PAD垂直的直线为 x轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 P 0,0,2 ，D 0,1,0 ，C t,1,0 ，B t,
1
1,0 ，

1
则 BC 0,2 ,0 ，PC t,1, 2 ，CD t ,0,0 ．

.....................6分
设平面 PBC 和平面PCD的法向量分别为n1 x1, y1, z1 ，n2 x2 , y2 , z2 ．

n1 BC 0,

y 2 1 1 0,
由n1 BC，n1 PC得 即
n1 PC 0, tx1 y1 2z1 0,
令 x1 1，则 z
t t
1

，故n1 1,0, ． .....................8分2 2
同理可求得n2 0,2,1 ， .....................10分
t
n n 2 10
于是 cos 1 2 ，即 ， .....................11分
n n t 21 2 1
10
5
2
解之得 t 2（负值舍去），故 t 2，所以CD 2． .....................12分
21.（1 2）对于 y 2px( p 0)，过焦点的弦最短时，弦垂直于 x轴， .....................1分
此时M ,N p两点的横坐标均为 ，
2
代入可求得纵坐标分别为 p， .....................3分
则此时 |MN | 2p 2，所以 p 1，
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即抛物线方程为 y2 2x . .....................4分
（2）证明：设Q( 1, y0 )， A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，
因为直线 l的斜率显然不为 0，故可设直线 l的方程为 x ty 1， .....................5分
x ty 1 2
联立方程 2 ，消去 x得 y 2ty 2 0 . .....................6分
y 2x
y1 y2 2t
所以 .......................7分
y1y2 2
k y且 0PQ .......................8分2
k y y y y又 AQ k 1 0BQ 2 0x1 1 x2 1
(y1 y0 )(x2 1) (y2 y0 )(x1 1)
(x1 1)(x2 1)
(y1 y0 )(ty2 2) (y2 y )(ty 0 1 2)
(ty1 2)(ty2 2)
2ty1y2 (2 ty0 )(y1 y2 ) 4y 0
t 2 y1y2 2t(y1 y2 ) 4
2t ( 2) (2 ty0 ) 2t 4y 0
t 2 ( 2) 2t 2t 4
y 20 (t 2)
t 2 2
y0
.......................11分
kAQ kBQ y
所以 0y 2 .......................12分kPQ 0
2
22.（1）函数 f (x)得定义域为 (0, )，
f (x) 2(x 1) a(1 1) (x 1)(2x a) ， ........................1分
x x
a
因为 a 2，所以 1 .
2
a
①若 0，则 a 0 .
2
当 x (0,1)时， f (x) 0，此时函数 f (x)单调递减；
当 x (1, )时， f (x) 0，此时函数 f (x)单调递增. ....................2分
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a
②若 0，则0 a 2 .
2
x (a当 ,1)时， f (x) 0，此时函数 f (x)单调递减；
2
a
当 x (0, )和 (1, )， f (x) 0，此时函数 f (x)单调递增. ....................4分
2
综上，当 a 0时， f (x)的单调递减区间为 (0,1)， f (x)单调递增区间为 (1, )；
a a
当0 a 2时， f (x)单调递减区间为 ( ,1)， f (x)的单调递增区间为 (0, )和 (1, ) . ....................5分
2 2
2
（2）令 g(x) f (x) a 1 (x 1) a(ln x x 1) a 1 .....................6分
显然有 g(x)的单调性与 f (x)保持一致.
由（1）可知：
①当 a 0时， g(x)在 (0,1)单调递减，在 (1,2]单调递增
1 1
此时 g( 2 ) ( 2 1)
2 a 2 1 0，为使 g(x)在 (0,2]上有且只有一个零点，根据零点的存在性定理e e e
则需满足 g(1) 0或 g(2) 0，解得： a 2 1或 a .....................8分
ln 2
a
②当0 a 2时， f (x)在 (0, )单调递增，在 (a ,1)单调递减，在 (1,2]单调递增.
2 2
因为 g(1) a 1 0，
a
所以当 x ( ,2]时，总有 g(x) 0
2
2a 2

因为 e a 1 a 2
2a 2 2a 2 2a 2 2a 2

所以 g(e a ) e a e a (a 2) (a ln e a 2a 2) 0

g(x) (0, a所以 在 )上必有零点.
2
因为 g(x)在 (0, a )上单调递增，
2
所以当0 a 2， g(x)在 (0,2]上有且只有一个零点. .....................11分
2
综上，当0 a 2或 a 1或 a 时，方程 f (x) a 1 0在 (0,2]上有且只有一个实根......................12分
ln 2
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