初中数学华师大版七年级上学期第3章整式的加减单元测试
一、单选题
1．（2021·乐山）某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为（ ）
A． （元） B． （元） C． （元） D． （元）
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：∵m千克的售价为n元，
∴1千克商品售价为 ，
∴8千克商品的售价为 （元）；
故答案为：A.
【分析】利用单价=总价÷数量，可得到1千克商品售价，再求出8千克商品的售价.
2．（2021七下·道县期中）若a+b＝﹣1，则（a+b）2的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：将a+b＝﹣1代入到（a+b）2中，即（a+b）2＝（﹣1）2＝1.
故答案为：D.
【分析】直接将a+b=-1代入进行计算.
3．（2021七下·丽水期中）若 a3xby与﹣a2ybx+1是同类项，则x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同类项
【解析】【解答】解：由题意得：,
解得：,
故答案为：D.
【分析】根据同类项的相同字母的指数相同分别列方程，组成方程组求解即可.
4．（2021·天水模拟）已知a+b=4，则代数式 的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵a+b=4
∴
故答案为：A.
【分析】将代数式转化为，然后整体代入求值.
5．（2021·镇江）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）
A．1840 B．1921 C．1949 D．2021
【答案】D
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：把1921代入得：（1921﹣1840+50）×（﹣1）＝﹣131＜1000，
把﹣131代入得：（﹣131﹣1840+50）×（﹣1）＝1921＞1000，
则输出结果为1921+100＝2021.
故答案为：D.
【分析】输入1921，根据程序计算，如果结果小于1000，就返回继续计算，直到结果大于1000，就和100相加，输出结果，结束程序.
6．（2021七下·诸暨期末）一质点 从距原点8个单位的 点处向原点方向跳动.第一次跳动到 的中点 处，第二次从 跳到 的中点 处，第三次从点 跳到 的中点 处，如此不断跳动下去，则第2021次跳动后，该质点到原点 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；探索数与式的规律
【解析】【解答】∵第一次跳动到 的中点 处，质点到原点 的距离为 = OM=4；
第二次跳动到 的中点 处，质点到原点 的距离为 = = OM=2= OM；
第三次跳动到 的中点 处，质点到原点 的距离为 = = OM=1= OM；
…
∴第2021次跳动后，该质点到原点 的距离为 OM= ×8= =
故答案为：A.
【分析】利用线段中点的定义及OM=8，分别求出OM1、OM2、OM3、OM4观察其规律可得到第n次跳动后，该质点到原点O 的距离为，代入计算，可求解.
7．（2021·贺州）如 ，我们叫集合 ，其中1，2， 叫做集合 的元素.集合中的元素具有确定性（如 必然存在），互异性（如 ， ），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合 ，我们说 .已知集合 ，集合 ，若 ，则 的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵集合B的元素 ， ，可得，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ， ， ，不满足互异性，情况不存在，
当 时， ， （舍）， 时， ， ，满足题意，
此时， .
故答案为：C
【分析】根据集合元素具有确定性、互异性、无序性，可得，，然后分两种情况①当 时，②当 时，据此解答并检验即可.
8．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表所示是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算 21=2 22=4 23=8 …… 31=3 32=9 33=27 ……
新运算 log22= 1 log24= 2 log28= 3 …… log33= 1 log39= 2 log327= 3 ……
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216= 4，②log5 25=5，③log2 =-1．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方
【解析】【解答】解： ①∵24=16，∴log216= 4，正确；
②∵52=25，∴log5 25=2，错误；
③∵ 2 -1=，∴log2 =-1，正确；
综上，正确的是 ①③ .
故答案为：B.
【分析】根据表格可知：新运算是有理数的乘方运算的逆运算，先分别根据乘方的运算，再进行新运算的解答即可.
9．（2021七下·新乐期末）观察下列等式：
①32﹣12＝2×4
②52﹣32＝2×8
③72﹣52＝2×12……
那么第n（n为正整数）个等式为（ ）
A．n2﹣（n﹣2）2＝2×（2n﹣2）
B．（n＋1）2﹣（n﹣1）2＝2×2n
C．（2n）2﹣（2n﹣2）2＝2×（4n﹣2）
D．（2n＋1）2﹣（2n﹣1）2＝2×4n
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：① 可改写成 ，
② 可改写成 ，
③ 可改写成 ，
归纳类推得：第n（n为正整数）个等式为 ，
故答案为：D．
【分析】①可写成 ，
②可写成 ，······，根据以上规律写出第n（n为正整数）个等式即可.
二、填空题
10．（2021·和平模拟）计算 的结果等于 ．
【答案】6x
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解： ．
故答案为：6x．
【分析】利用合并同类项法则计算求解即可。
11．（2021·泰州模拟）已知x+2y=2，则1－2x－4y的值等于 .
【答案】-3
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x+2y=2，
∴原式=1-2（x+2y）=1-4=-3，
故答案为：-3.
【分析】将代数式转化为1-2（x+2y），再整体代入求值.
12．（2021七下·余杭期中）对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b＝2a﹣b.例如3 4＝2×3﹣4＝2.若x y＝2，且y x＝4，则x+y的值为 .
【答案】6
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得： ，
①+②得：x+y＝6.
故答案为：6.
【分析】根据新运算可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解.
13．在平面直角坐标系中，点P(x，y)经过某种变换后得到点P'(-y+1，x+2)，我们把点P'(-y+1，x+2)叫做点P(x，y)的终结点已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、……、Pn，若点P1的坐标为(2，0)
，则点P2021的坐标为
【答案】(2，0)
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：因为点P的坐标为(2，0) ，所以点P2的坐标为(1，4)，点P，的坐标
为(-3，3)，点P。的坐标为(-2，-1)，点P1的坐标为(2，0) ……
所以每4个为一个循环组，因为2 021÷4= 505……1
所以点P201的坐标与点P，的坐标相同，为(2，0)．
故答案为(2，0)．
【分析】利用点P (x，y ）的中节点的定义分别写出点P2的坐标为(1，4)，点P，的坐标为(-3，3)，点P。的坐标为(-2，-1)，点P1的坐标为(2，0) ……从而得到每4次变换一个循环，因为2 021÷4= 505……1，所以点P201的坐标与点P，的坐标相同。
14．（2021八下·城阳期末）如图
（问题提出）：将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边 等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？
（问题探究）：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．
探究一：将一个边长为2的正方形的四条边分别 2 等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？
如图1，从上往下，共有2行，我们先研究长方形（此处长方形包括正方形）的个数：
①第一行有宽边长为1，底长为1～2的长方形，共有2+1=3个；
②第二行有宽边长为1，底长为1～2的长方形，共有2+1=3个；
为了便于归纳分析，我们把长方形下面的底在第二行的所有长方形均算作第二行的长方形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括宽边长为2，底长为1～2 的长方形，共有2+1=3个．
即：第二行长方形共有 2×3个．
所以如图1，长方形共有 2×3+3=9=（2+1）2
我们再研究正方形的个数：
分析：边长为1的正方形共有22个，边长为2的正方形共有12个，
所以：如图 1，正方形共有22 + 12 = 5 = ×2×3×5 个．
探究二：将一个边长为3的正方形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？
如图2，从上往下，共有3行，我们先研究长方形的个数：
①第一行有宽长为1底长为1～3 的长方形，共有3+2+1=6个；
②第二行有宽边长为1，底长为 1～3的长方形，共有3+2+1=6个；
底在第二行还包括宽边长为2，底长为1～3 的长方形，共有3+2+1=6个．
即：第二行长方形共有2×6个．
③第三行有宽边长为1，底长为1～3 的长方形，共有3+2+1=6个；
底在第三行还包括宽边长为 2，底长为 1～3 的长方形，共有 3+2+1=6个．
底在第三行还包括宽边长为 3，底长为 1～3 的长方形，共有 3+2+1=6个．
即：第三行长方形共有 3×6个．
所以如图 2，长方形共有 3×6+2×6+6=（3+2+1）×6=（3+2+1）2 ．
我们再研究正方形的个数： 分析：边长为1的正方形共有 32个，边长为 2 的正方形共有 22个，边长为 3 的正方形共有 12个．
所以：如图2，正方形共有 32 + 22 + 12 =14 = ×3×4×7 个．
探究三：将一个边长为 5 的正方形的四条边分别 5 等分，连接各边对应的等分点， 则该正方形被剖分的网格中的长方形（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？
（1）如图 3，从上往下，共有 5 行，我们先研究长方形的个数：
①第一行有宽边长为 1，底长为 1～5 的长方形，共有
5+4+3+2+1=15个；
②第二行有宽边长为 1，底长为 1～5 的长方形，共有
5+4+3+2+1=15个； 底在第二行还包括宽边长为 2，底长为 1～5 的长方形，共有
5+4+3+2+1=15个． 即：第二行长方形共有2×15个．
③模仿上面的探究，第三行长方形总共有 3×15 个．
④按照上边的规律，第四行长方形总共有 个．
⑤按照上边的规律，第五行长方形总共有 个．
所以，如图 3，长方形总共有
个．
我们再研究正方形的个数：
分析：边长为 1 的正方形共有 52个，边长为 2 的正方形共有 42个，边长为 3 的正方形共有 32个，边长 为 4 的正方形共有 22个，边长 为 5 的正方形共有12个．
所以：如图 3，正方形共有5 2+ 42 + 32 + 22 + 12
= × 个．（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）
（2）（问题解决）将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边 等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该正方形被剖分的网格中的长方形（此处矩形包括正方形）的个数是 和正方形个数分别是 × ．（用含 的代数式表示）
（问题应用）将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边 12 等分，连接各边对应的等分点，若得出该正方形被剖分的网格中的长方形的（此处长方形包括正方形）个数
是 个，正方形个数是 个．
【答案】（1）4×15；5×15；（5+4+3+2+1）×15；5×6×11
（2）；n（n+1）（2n+1）；6084；650
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】④按照上边的规律，第四行长方形总共有4×15个．
故答案为：4×15
⑤按照上边的规律，第五行长方形总共有5×15个．
所以，如图3，长方形总共有（5+4+3+2+1）×15个．
我们再研究正方形的个数：
分析：边长为1的正方形共有52个，边长为2的正方形共有42个，边长为3的正方形共有32个，边长为4的正方形共有22个，边长为5的正方形共有12个．
所以：如图3，正方形共有52+42+32+22+12= ×5×6×11个．（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）
故答案为：5×15，（5+4+3+2+1）×15，5×6×11
【问题解决】
将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边 等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该正方形被剖分的网格中的长方形（此处矩形包括正方形）的个数是 和正方形个数分别是 × ×（ +1）×（2 +1）．（用含 的代数式表示）
故答案为： ， ×（ +1）×（2 +1）
【问题应用】
将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边12等分，连接各边对应的等分点，若得出该正方形被剖分的网格中的长方形的（此处长方形包括正方形）个数是6084个，正方形个数是650个
故答案为：6084，650
【分析】本题找出规律，通过第一行、第二行，可推出第三行的规律为个，进而推出第四行的规律为个，再通过边数得到长方形的个数，正方形的个数，再通过找规律得到其他答案。
三、解答题
15．（2021七下·濉溪期中）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n=mn-2m，
如：3※4=3×4-2×3
若(3-π)※x≥0，求x的取值范围
【答案】解：（3-π） ※ x≥0可变为
x（3-π）-2（3-π）≥0
∴x-2≤0
∴x≤2
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】根据题意，由定义的新运算，计算得到x的取值范围即可。
16．（2021七下·合肥期中）观察下列等式：9﹣1＝2×4，16﹣4＝3×4，25﹣9＝4×4，36﹣16＝5×4，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n表示自然数，请猜想出这个规律，用含n的等式表示出来，并加以证明．
【答案】解：将等式进行整理得：
32﹣12＝4（1+1）；
42﹣22＝4（2+1）；
52﹣32＝4（3+1）；
…
所以规律为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）．
证明：左边＝n2+4n+4﹣n2＝4n+4，
右边＝4n+4，
左边＝右边，
所以（n+2）2﹣n2＝4（n+1）．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】根据 9﹣1＝2×4，16﹣4＝3×4，25﹣9＝4×4，36﹣16＝5×4 找出规律求解即可。
四、综合题
17．（2021七下·苏州期末）观察下列各式的规律：
① ；② ；③ ；…
根据上述式子的规律，解答下列问题：
（1）第④个等式为 .
（2）写出第n个等式，并验证其正确性.
【答案】（1）4×7-52=3
（2）解：由（1）的规律可知，
第n个等式为n（n+3）-（n+1）2=n-1，
证明：等式左边=n（n+3）-（n+1）2=n2+3n-（n2+2n+1）=n-1=等式左边，
∴等式成立.
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题知，
①1×4-22=0；
②2×5-32=1；
③3×6-42=2；
④4×7-52=3；
故答案为：④4×7-52=3；
【分析】（1）观察①②③各式，找到数字变化规律即可；
（2）从特殊到一般，按照（1）发现的规律写出第n个等式为n（n+3）-（n+1）2=n-1，然后将其展开验证即可.
18．（2021七下·铜梁期末）一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”.例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”.
（1）请判断：2561 (填“是”或“不是”)“和平数”
（2）直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是
（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14的倍数，求满足条件的所有“和平数”.
【答案】（1）是
（2）1001；9999
（3）解：设这个“和平数”为 ，
则d=2a，a+b=c+d，b+c=14k，
∴2c+a=14k，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），
①当a=2，d=4时，2（c+1）=14k，
可知c+1=7k且a+b=c+d，
∴c=6，b=8，
②当a=4，d=8时，
2（c+2）=14k，
可知c+2=7k且a+b=c+d，
∴c=5，b=9，
综上所述，这个数为2864和4958.
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵x=2+5=7，y=6+1=7
∴x=y
∴2561是“和平数”
故答案为是；
（2）由题意得，最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999，
故答案为1001，9999；
【分析】（1）（2）直接根据“和平数”的概念进行判断；
（3）设这个“和平数”为 ，则d=2a，a+b=c+d，b+c=14k，得到2c+a=14k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），据此解答.
1 / 1初中数学华师大版七年级上学期第3章整式的加减单元测试
一、单选题
1．（2021·乐山）某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为（ ）
A． （元） B． （元） C． （元） D． （元）
2．（2021七下·道县期中）若a+b＝﹣1，则（a+b）2的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
3．（2021七下·丽水期中）若 a3xby与﹣a2ybx+1是同类项，则x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·天水模拟）已知a+b=4，则代数式 的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．-1
5．（2021·镇江）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）
A．1840 B．1921 C．1949 D．2021
6．（2021七下·诸暨期末）一质点 从距原点8个单位的 点处向原点方向跳动.第一次跳动到 的中点 处，第二次从 跳到 的中点 处，第三次从点 跳到 的中点 处，如此不断跳动下去，则第2021次跳动后，该质点到原点 的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·贺州）如 ，我们叫集合 ，其中1，2， 叫做集合 的元素.集合中的元素具有确定性（如 必然存在），互异性（如 ， ），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合 ，我们说 .已知集合 ，集合 ，若 ，则 的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
8．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表所示是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算 21=2 22=4 23=8 …… 31=3 32=9 33=27 ……
新运算 log22= 1 log24= 2 log28= 3 …… log33= 1 log39= 2 log327= 3 ……
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216= 4，②log5 25=5，③log2 =-1．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（2021七下·新乐期末）观察下列等式：
①32﹣12＝2×4
②52﹣32＝2×8
③72﹣52＝2×12……
那么第n（n为正整数）个等式为（ ）
A．n2﹣（n﹣2）2＝2×（2n﹣2）
B．（n＋1）2﹣（n﹣1）2＝2×2n
C．（2n）2﹣（2n﹣2）2＝2×（4n﹣2）
D．（2n＋1）2﹣（2n﹣1）2＝2×4n
二、填空题
10．（2021·和平模拟）计算 的结果等于 ．
11．（2021·泰州模拟）已知x+2y=2，则1－2x－4y的值等于 .
12．（2021七下·余杭期中）对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b＝2a﹣b.例如3 4＝2×3﹣4＝2.若x y＝2，且y x＝4，则x+y的值为 .
13．在平面直角坐标系中，点P(x，y)经过某种变换后得到点P'(-y+1，x+2)，我们把点P'(-y+1，x+2)叫做点P(x，y)的终结点已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、……、Pn，若点P1的坐标为(2，0)
，则点P2021的坐标为
14．（2021八下·城阳期末）如图
（问题提出）：将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边 等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？
（问题探究）：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．
探究一：将一个边长为2的正方形的四条边分别 2 等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？
如图1，从上往下，共有2行，我们先研究长方形（此处长方形包括正方形）的个数：
①第一行有宽边长为1，底长为1～2的长方形，共有2+1=3个；
②第二行有宽边长为1，底长为1～2的长方形，共有2+1=3个；
为了便于归纳分析，我们把长方形下面的底在第二行的所有长方形均算作第二行的长方形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括宽边长为2，底长为1～2 的长方形，共有2+1=3个．
即：第二行长方形共有 2×3个．
所以如图1，长方形共有 2×3+3=9=（2+1）2
我们再研究正方形的个数：
分析：边长为1的正方形共有22个，边长为2的正方形共有12个，
所以：如图 1，正方形共有22 + 12 = 5 = ×2×3×5 个．
探究二：将一个边长为3的正方形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？
如图2，从上往下，共有3行，我们先研究长方形的个数：
①第一行有宽长为1底长为1～3 的长方形，共有3+2+1=6个；
②第二行有宽边长为1，底长为 1～3的长方形，共有3+2+1=6个；
底在第二行还包括宽边长为2，底长为1～3 的长方形，共有3+2+1=6个．
即：第二行长方形共有2×6个．
③第三行有宽边长为1，底长为1～3 的长方形，共有3+2+1=6个；
底在第三行还包括宽边长为 2，底长为 1～3 的长方形，共有 3+2+1=6个．
底在第三行还包括宽边长为 3，底长为 1～3 的长方形，共有 3+2+1=6个．
即：第三行长方形共有 3×6个．
所以如图 2，长方形共有 3×6+2×6+6=（3+2+1）×6=（3+2+1）2 ．
我们再研究正方形的个数： 分析：边长为1的正方形共有 32个，边长为 2 的正方形共有 22个，边长为 3 的正方形共有 12个．
所以：如图2，正方形共有 32 + 22 + 12 =14 = ×3×4×7 个．
探究三：将一个边长为 5 的正方形的四条边分别 5 等分，连接各边对应的等分点， 则该正方形被剖分的网格中的长方形（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？
（1）如图 3，从上往下，共有 5 行，我们先研究长方形的个数：
①第一行有宽边长为 1，底长为 1～5 的长方形，共有
5+4+3+2+1=15个；
②第二行有宽边长为 1，底长为 1～5 的长方形，共有
5+4+3+2+1=15个； 底在第二行还包括宽边长为 2，底长为 1～5 的长方形，共有
5+4+3+2+1=15个． 即：第二行长方形共有2×15个．
③模仿上面的探究，第三行长方形总共有 3×15 个．
④按照上边的规律，第四行长方形总共有 个．
⑤按照上边的规律，第五行长方形总共有 个．
所以，如图 3，长方形总共有
个．
我们再研究正方形的个数：
分析：边长为 1 的正方形共有 52个，边长为 2 的正方形共有 42个，边长为 3 的正方形共有 32个，边长 为 4 的正方形共有 22个，边长 为 5 的正方形共有12个．
所以：如图 3，正方形共有5 2+ 42 + 32 + 22 + 12
= × 个．（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）
（2）（问题解决）将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边 等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该正方形被剖分的网格中的长方形（此处矩形包括正方形）的个数是 和正方形个数分别是 × ．（用含 的代数式表示）
（问题应用）将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边 12 等分，连接各边对应的等分点，若得出该正方形被剖分的网格中的长方形的（此处长方形包括正方形）个数
是 个，正方形个数是 个．
三、解答题
15．（2021七下·濉溪期中）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n=mn-2m，
如：3※4=3×4-2×3
若(3-π)※x≥0，求x的取值范围
16．（2021七下·合肥期中）观察下列等式：9﹣1＝2×4，16﹣4＝3×4，25﹣9＝4×4，36﹣16＝5×4，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n表示自然数，请猜想出这个规律，用含n的等式表示出来，并加以证明．
四、综合题
17．（2021七下·苏州期末）观察下列各式的规律：
① ；② ；③ ；…
根据上述式子的规律，解答下列问题：
（1）第④个等式为 .
（2）写出第n个等式，并验证其正确性.
18．（2021七下·铜梁期末）一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”.例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”.
（1）请判断：2561 (填“是”或“不是”)“和平数”
（2）直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是
（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14的倍数，求满足条件的所有“和平数”.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：∵m千克的售价为n元，
∴1千克商品售价为 ，
∴8千克商品的售价为 （元）；
故答案为：A.
【分析】利用单价=总价÷数量，可得到1千克商品售价，再求出8千克商品的售价.
2．【答案】D
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：将a+b＝﹣1代入到（a+b）2中，即（a+b）2＝（﹣1）2＝1.
故答案为：D.
【分析】直接将a+b=-1代入进行计算.
3．【答案】D
【知识点】同类项
【解析】【解答】解：由题意得：,
解得：,
故答案为：D.
【分析】根据同类项的相同字母的指数相同分别列方程，组成方程组求解即可.
4．【答案】A
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵a+b=4
∴
故答案为：A.
【分析】将代数式转化为，然后整体代入求值.
5．【答案】D
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：把1921代入得：（1921﹣1840+50）×（﹣1）＝﹣131＜1000，
把﹣131代入得：（﹣131﹣1840+50）×（﹣1）＝1921＞1000，
则输出结果为1921+100＝2021.
故答案为：D.
【分析】输入1921，根据程序计算，如果结果小于1000，就返回继续计算，直到结果大于1000，就和100相加，输出结果，结束程序.
6．【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；探索数与式的规律
【解析】【解答】∵第一次跳动到 的中点 处，质点到原点 的距离为 = OM=4；
第二次跳动到 的中点 处，质点到原点 的距离为 = = OM=2= OM；
第三次跳动到 的中点 处，质点到原点 的距离为 = = OM=1= OM；
…
∴第2021次跳动后，该质点到原点 的距离为 OM= ×8= =
故答案为：A.
【分析】利用线段中点的定义及OM=8，分别求出OM1、OM2、OM3、OM4观察其规律可得到第n次跳动后，该质点到原点O 的距离为，代入计算，可求解.
7．【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵集合B的元素 ， ，可得，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ， ， ，不满足互异性，情况不存在，
当 时， ， （舍）， 时， ， ，满足题意，
此时， .
故答案为：C
【分析】根据集合元素具有确定性、互异性、无序性，可得，，然后分两种情况①当 时，②当 时，据此解答并检验即可.
8．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方
【解析】【解答】解： ①∵24=16，∴log216= 4，正确；
②∵52=25，∴log5 25=2，错误；
③∵ 2 -1=，∴log2 =-1，正确；
综上，正确的是 ①③ .
故答案为：B.
【分析】根据表格可知：新运算是有理数的乘方运算的逆运算，先分别根据乘方的运算，再进行新运算的解答即可.
9．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：① 可改写成 ，
② 可改写成 ，
③ 可改写成 ，
归纳类推得：第n（n为正整数）个等式为 ，
故答案为：D．
【分析】①可写成 ，
②可写成 ，······，根据以上规律写出第n（n为正整数）个等式即可.
10．【答案】6x
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解： ．
故答案为：6x．
【分析】利用合并同类项法则计算求解即可。
11．【答案】-3
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x+2y=2，
∴原式=1-2（x+2y）=1-4=-3，
故答案为：-3.
【分析】将代数式转化为1-2（x+2y），再整体代入求值.
12．【答案】6
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得： ，
①+②得：x+y＝6.
故答案为：6.
【分析】根据新运算可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解.
13．【答案】(2，0)
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：因为点P的坐标为(2，0) ，所以点P2的坐标为(1，4)，点P，的坐标
为(-3，3)，点P。的坐标为(-2，-1)，点P1的坐标为(2，0) ……
所以每4个为一个循环组，因为2 021÷4= 505……1
所以点P201的坐标与点P，的坐标相同，为(2，0)．
故答案为(2，0)．
【分析】利用点P (x，y ）的中节点的定义分别写出点P2的坐标为(1，4)，点P，的坐标为(-3，3)，点P。的坐标为(-2，-1)，点P1的坐标为(2，0) ……从而得到每4次变换一个循环，因为2 021÷4= 505……1，所以点P201的坐标与点P，的坐标相同。
14．【答案】（1）4×15；5×15；（5+4+3+2+1）×15；5×6×11
（2）；n（n+1）（2n+1）；6084；650
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】④按照上边的规律，第四行长方形总共有4×15个．
故答案为：4×15
⑤按照上边的规律，第五行长方形总共有5×15个．
所以，如图3，长方形总共有（5+4+3+2+1）×15个．
我们再研究正方形的个数：
分析：边长为1的正方形共有52个，边长为2的正方形共有42个，边长为3的正方形共有32个，边长为4的正方形共有22个，边长为5的正方形共有12个．
所以：如图3，正方形共有52+42+32+22+12= ×5×6×11个．（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）
故答案为：5×15，（5+4+3+2+1）×15，5×6×11
【问题解决】
将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边 等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该正方形被剖分的网格中的长方形（此处矩形包括正方形）的个数是 和正方形个数分别是 × ×（ +1）×（2 +1）．（用含 的代数式表示）
故答案为： ， ×（ +1）×（2 +1）
【问题应用】
将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边12等分，连接各边对应的等分点，若得出该正方形被剖分的网格中的长方形的（此处长方形包括正方形）个数是6084个，正方形个数是650个
故答案为：6084，650
【分析】本题找出规律，通过第一行、第二行，可推出第三行的规律为个，进而推出第四行的规律为个，再通过边数得到长方形的个数，正方形的个数，再通过找规律得到其他答案。
15．【答案】解：（3-π） ※ x≥0可变为
x（3-π）-2（3-π）≥0
∴x-2≤0
∴x≤2
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】根据题意，由定义的新运算，计算得到x的取值范围即可。
16．【答案】解：将等式进行整理得：
32﹣12＝4（1+1）；
42﹣22＝4（2+1）；
52﹣32＝4（3+1）；
…
所以规律为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）．
证明：左边＝n2+4n+4﹣n2＝4n+4，
右边＝4n+4，
左边＝右边，
所以（n+2）2﹣n2＝4（n+1）．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】根据 9﹣1＝2×4，16﹣4＝3×4，25﹣9＝4×4，36﹣16＝5×4 找出规律求解即可。
17．【答案】（1）4×7-52=3
（2）解：由（1）的规律可知，
第n个等式为n（n+3）-（n+1）2=n-1，
证明：等式左边=n（n+3）-（n+1）2=n2+3n-（n2+2n+1）=n-1=等式左边，
∴等式成立.
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题知，
①1×4-22=0；
②2×5-32=1；
③3×6-42=2；
④4×7-52=3；
故答案为：④4×7-52=3；
【分析】（1）观察①②③各式，找到数字变化规律即可；
（2）从特殊到一般，按照（1）发现的规律写出第n个等式为n（n+3）-（n+1）2=n-1，然后将其展开验证即可.
18．【答案】（1）是
（2）1001；9999
（3）解：设这个“和平数”为 ，
则d=2a，a+b=c+d，b+c=14k，
∴2c+a=14k，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），
①当a=2，d=4时，2（c+1）=14k，
可知c+1=7k且a+b=c+d，
∴c=6，b=8，
②当a=4，d=8时，
2（c+2）=14k，
可知c+2=7k且a+b=c+d，
∴c=5，b=9，
综上所述，这个数为2864和4958.
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵x=2+5=7，y=6+1=7
∴x=y
∴2561是“和平数”
故答案为是；
（2）由题意得，最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999，
故答案为1001，9999；
【分析】（1）（2）直接根据“和平数”的概念进行判断；
（3）设这个“和平数”为 ，则d=2a，a+b=c+d，b+c=14k，得到2c+a=14k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），据此解答.
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