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4.3 相似多边形
北师大版 九年级上册
全等图形的对应边________，对应角________.
新知导入
观察下面两幅图片
每组的两个图形形状相同吗？大小相等吗？
满足这种关系的两个图形叫做 .
相等
相等
全等图形
新知导入
这两个图形形状相同但大小不相等
观察这两个图形形状相同吗？大小相等吗？
它们是什么关系呢？
新知讲解
(1)在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？
(2)在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？
图中的六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形.
新知讲解
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，
∠D=∠D1， ∠E=∠E1，∠F=∠F1
AB：A1B1 = BC：B1C1 = CD：C1D1
=DE：D1E1 = EF ：E1F1 = FA：F1A1
对应角
对应边成比例
新知讲解
相似多边形的定义：
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF ∽六边形A1B1C1D1E1F1.
“∽”读作“相似于”
在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
新知讲解
判定相似多边形的条件：
(1)所有的角分别相等；
(2)所有的边成比例．
以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相似多边形必备的条件，缺一不可．
相似多边形的特征：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
【要点精析】
新知讲解
相似比
相似多边形对应边的比叫做相似比.
例如，六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，
对应边的比
因此六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比为k1=
六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比为k2=
新知讲解
例1：已知：如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°.
(1)求四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比k的值；
(2)求A′B′和BC的长；
新知讲解
解：(1)相似比k＝
(2) ∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似比k＝
∴
∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.
总结归纳：
由相似多边形的性质可知对应边的比相等，都等于相似比．
已知对应边中的一条边的长度就能求出另一条边的长度．
新知讲解
【想一想】任意两个等边三角形相似吗？
a1
a2
a3
已知等边三角形的每个角都为60°, 三边都相等.
所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.
新知讲解
【想一想】任意两个正方形相似吗？
a1
a2
a3
和等边三角形一样，任意两个正方形都相似.
归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.
新知讲解
任意的两个菱形是否相似？为什么？
任意两个菱形不满足对应角相等这个条件，所以任意的两个菱形不相似.
新知讲解
任意的两个矩形是否相似？为什么？
任意两个矩形不满足对应边的比相等这个条件，所以任意的两个矩形不相似.
新知讲解
∵1.5︰3≠1.65︰3.15，∴边框的内外边缘所成的矩形不相似.
（3+0.075×2）m
（1.5+0.075×2）m
一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板如下图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm. 边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
1.65m
3.15m
课堂练习
1.下列命题是真命题的是( )
A．两个平行四边形一定相似
B．两个矩形一定相似
C．两个菱形一定相似
D．两个正方形一定相似
D
课堂练习
2．如图所示的三个矩形中，相似的是( )
A．甲和乙
B．甲和丙
C．乙和丙
D．甲、乙和丙
B
3.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．87°
B．60°
C．75°
D．120°
课堂练习
A
课堂练习
4.已知△ABC和△A1B1C1相似，且相似比为2∶3；△A1B1C1和△A2B2C2相似，且相似比为5∶4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为
( )
A．5∶6
B．6∶5
C．5∶6或6∶5
D．8∶15
A
拓展提高
5.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，∠A＝65°，∠B＝70°，∠E＝65°，∠H＝138°，AD＝5.9，EF＝6，FG＝5，EH＝4，求∠G及AB，BC的长．
拓展提高
中考链接
6.【中考·重庆】制作一块3 m×2 m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( )
A．360元
B．720元
C．1 080元
D．2 160元
C
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.相似图形
形状相同的图形叫做相似图形
相似图形的大小不一定相同
2.相似多边形
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
3.相似比
相似多边形对应边的比叫做相似比
板书设计
课题：4.3 相似多边形
教师板演区
学生展示区
一、相似图形
二、相似多边形
三、相似比
作业布置
课本 P88 练习题
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北师大版九年级上册4.3相似多边形数学教学设计
课题 4.3 相似多边形 单元 第四单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1.经历相似多边形概念的形成过程,了解相似多边形的含义。2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生观察、操作、归纳、类比等多方面的能力，提高学生的数学思维水平。3.使学生体会团队合作精神，充分认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满探索与创造。
重点 会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形。
难点 掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 观察下面两幅图片每组的两个图形形状相同吗？大小相等吗？满足这种关系的两个图形叫做 .全等图形的对应边________，对应角________.观察这两个图形形状相同吗？大小相等吗？它们是什么关系呢？ 学生观察图片，思考回答问题. 通过此活动，希望学生能从中获取尽可能多的相似图形的信息，体会相似图形在生活中的实际意义，培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质.
讲授新课 图中的六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形(1)在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？(2)在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？师生总结：∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1， ∠E=∠E1，∠F=∠F1AB：A1B1 = BC：B1C1 = CD：C1D1 DE：D1E1 = EF ：E1F1 = FA：F1A1相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF ∽六边形A1B1C1D1E1F1“∽”读作相似于在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.【要点精析】判定相似多边形的条件：(1)所有的角分别相等；(2)所有的边成比例．以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相似多边形必备的条件，缺一不可．相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似比相似多边形对应边的比叫做相似比.例如，六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，对应边的比因此六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比为k1=六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比为k2=例1：已知：如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°. (1)求四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比k的值；(2)求A′B′和BC的长；解：(1)相似比k＝(2) ∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似比k＝ ∴ ∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.总结归纳：由相似多边形的性质可知对应边的比相等，都等于相似比．已知对应边中的一条边的长度就能求出另一条边的长度．【想一想】任意两个等边三角形相似吗？已知等边三角形的每个角都为60°, 三边都相等. 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.【想一想】任意两个正方形相似吗？和等边三角形一样，任意两个正方形都相似.归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.任意的两个菱形是否相似？为什么？任意两个菱形不满足对应角相等这个条件，所以任意的两个菱形不相似.任意的两个矩形是否相似？为什么？任意两个矩形不满足对应边的比相等这个条件，所以任意的两个矩形不相似.一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板如下图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm. 边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？∵1.5︰3≠1.65︰3.15，∴边框的内外边缘所成的矩形不相似 通过对各种相似图形特点的一个自然感知的过程，学生用自己的语言归纳总结出相似多边形的特点.学生思考回答问题。学生在教师的引导下总结相似多边形的定义。学生分析判定相似多边形的条件.学生在教师的引导下做例题，巩固本节课所学的新知识.学生根据题目提出的问题结合所学的知识,画出图形、小组讨论,得出结果.各小组派出代表将自己的结论进行相互比较，从而得出正确的结论.让学生先判断，分组讨论，再通过计算验证自己的判断. 培养学生从图片直观地获得信息的读图能力，并通过亲身体验归纳总结相似图形的共同特点。而且由此自然引出课题：“相似多边形”.根据生活经验和直观判断，以问答的形式引导学生逐步深入的思考多边形相似的条件.通过例题进一步加深学生对新知识的理解和应用.此处留给学生充分的时间与空间去想象和思考。并培养学生对某个问题作出正确判断、合理解决问题的能力。使学生完整地经历 “思考——讨论——印证——作出正确的结论” 和“特殊向一般推广”的活动过程，深刻体会思考、论证对决策问题的直观重要性.经历探索相似多边形的概念后，学生在实际情景中更深层次认识相似多边形的基本涵义；初步掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质.
课堂练习 1.下列命题是真命题的是( D )A．两个平行四边形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个菱形一定相似D．两个正方形一定相似2．如图所示的三个矩形中，相似的是( B )A．甲和乙 B．甲和丙C．乙和丙 D．甲、乙和丙3.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( A )A．87° B．60° C．75° D．120°4.已知△ABC和△A1B1C1相似，且相似比为2∶3；△A1B1C1和△A2B2C2相似，且相似比为5∶4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为( A )A．5∶6 B．6∶5C．5∶6或6∶5 D．8∶155.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，∠A＝65°，∠B＝70°，∠E＝65°，∠H＝138°，AD＝5.9，EF＝6，FG＝5，EH＝4，求∠G及AB，BC的长．解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，∴∠F＝∠B＝70°.又∵∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°，∴∠G＝87°.∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，∴＝＝. ∴＝＝.∴AB＝8.85，BC＝7.375.6.【中考·重庆】制作一块3 m×2 m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( C )A．360元 B．720元 C．1 080元 D．2 160元 学生对本节知识进行巩固练习.
课堂小结 本节课你学到了什么？1.相似图形形状相同的图形叫做相似图形 相似图形的大小不一定相同2.相似多边形各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.3.相似比相似多边形对应边的比叫做相似比 学生畅所欲言，教师给予鼓励. 学生结合本节课的学习过程，谈谈自己的收获与感想，让学生学会疏理、归纳和总结.
板书 课题：4.3 相似多边形一、相似图形二、相似多边形三、相似比
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