2.3一元二次不等式(共16张PPT)

(共16张PPT)
2.3二次函数与
一元二次方程、不等式
学习目标：
1.理解一元二次方程，一元二次不等式与一元二次函数之间的关系。
2.掌握图像法解一元二次不等式的方法
3.会解简单的一元二次不等式
解：设矩形花园的一边长为xm，
问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24米，围成的矩形区域面积要大于20m ，则这个矩形的边长为多少米？
一元二次不等式的概念
由题意得，x(12-x)>20，其中x∈{x|0整理得，x -12x+20<0，x∈{x|0求得不等式x -12x+20<0的解集，
再与x∈{x|0则另一边长度为(12-x)m，
一般形式为： ， ，
其中 都是常数且 .
一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
1.“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如等；
2.“二次”指的是未知数的最高次数必须存在并且是2.
（1）类比一元一次不等式，观察这个不等式有什么特点？
（2）能否给这个不等式取个名字，并写出它的一般形式？
函数、方程、不等式知识回顾
y=x+1
y
x
o
1
-1
① x+1=0的解
函数y= x+1的图象与x轴交点的横坐标
② x+1>0的解集
函数y= x+1的图象位于x轴上方时，所对应的x的取值范围的集合
③ x+1<0的解集
函数y= x+1的图象位于x轴下方时，所对应的x的取值范围的集合
（-1，0）
·
我们能否画出y=x+1的图像,结合图像求出x+1=0，x+1>0，x+1<0
所对应的x的取值范围。
二次函数的零点
一元二次不等式x2-12x+20<0与二次函数 y=x2-12x+20之间有何关系 ？
方程 x2－12x＋20＝0的解为
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数 x叫做二次函数的零点．
x1＝2，x2＝10
零点不是点，是函数图象与x轴交点的
横坐标，是对应方程的解。
·
（2，0）
（10，0）
一元二次不等式的解法
求 一元二次不等式x2-12x+20<0的解集
从图中可以看出，二次函数y=x2-12x+20的
两个零点x1=2,x2=10将x轴分成三段.
所以，一元二次不等式x2-12x+20<0的解集
为：{x|2当x<2或 x>10时，函数图象位于x轴上方，
此时y>0，即x2-12x+20>0；
当2此时y<0，即x2-12x+20<0；
上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 的解集.首先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象求解.
二次函数、方程、不等式之间的关系
ax2+bx+c=0(a>0) 的判别式△
y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
ax2+bx+c=0(a>0) 的根
ax2+bx+c>0(a>0) 的解集
ax2+bx+c<0(a>0) 的解集
两个不等实根
()
两个相等实根
没有实数根
{}
{}
R
{}


x1
x2
x
y
O
y
x
O
x1
y
x
O
△>0
△=0
△<0
ax2+bx+c=0(a>0)
一元二次不等式的解法
例1　求不等式x2－5x＋6＞0 的解集.
例2　求不等式9x2－6x＞-1 的解集.
例3　求不等式－x2＋2x－3＞0 的解集.
题型一　解不含参数的一元二次不等式
【练习1】　解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0；(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).
解　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}.
(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
一元二次不等式的解法
将原不等式化成的形式
计算的值
方程有两个不等实根( )
原不等式的解集为
{|｝
方程有两个相等实根
( )
原不等式的解集为
{|｝
方程
没有实根
原不等式的解集为
R
题型三　三个“二次”之间的关系
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解　由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
课堂小结
1. 一元二次不等式的定义；
2. 二次函数的零点的概念；
4. 数学思想方法：
（1）类比思想；
（2）数形结合.
3. 一元二次不等式的解法；
1. 已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立，
求实数 a 的取值范围.
2. 已知 2a+1<0 ,则关于 x 的不等式 x2-4ax-5a2>0
的解集是？
能力提升：
课后作业
P53 练习 1 、 2