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考点10 函数的基本性质
一、单选题
1．下列函数中，在定义域内单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，的增区间为和，在定义域内不具备单调性，故A错误；
对于B，在定义域内单调递增，故B正确；
对于C，在内单调递减，在内单调递增，故C错误；
对于D，在内单调递减，在内单调递增，故D错误；
故选B.
2．已知函数是奇函数．则实数的值是（ ）
A．0 B．2
C．4 D．-2
【答案】B
【解析】取，则，因为函数为奇函数，则，即，
整理可得，即.故选B
3．已知为偶函数，其局部图象如图所示，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图可知，因为函数是偶函数，所以，故选D
4．函数中，有（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】D
【解析】函数的图象向左平移1个单位可得函数的图象，因为函数在和上单调递减，则函数在和上单调递减．故选D．
5．函数的图象关于（ ）
A．轴对称 B．原点对称 C．轴对称 D．直线对称
【答案】B
【解析】函数图象不可能关于轴对称，A错；，是奇函数，图象关于原点对称，易知此图象不可能关于轴对称，而交换位置后方程为，与原方程不相同，因此图象也不关于直线对称.故选B.
6．已知是定义在上的偶函数，并满足：，当，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由已知条件可得.故选D.
7．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
令，解得：，，，即实数的取值范围为，故选C.
8．函数对任意，都有的图形关于对称，且，则（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】B
【解析】因为函数对任意，都有，所以函数的周期为，
将的图形向左平移1个单位可得的图象，
又的图形关于对称，所以的图象关于点对称，故为R上的奇函数，
所以．故选B．
9．若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】D
【解析】、都有，不妨设，则，
故函数在上为增函数，
因为函数为偶函数，故，
由可得，可得，解得.
因此，不等式的解集为.故选D.
10．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，恒成立，所以在为增函数.
又因为是偶函数，所以，即，所以，即.故选A.
二、多选题
11．下列函数中是偶函数的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】A. 函数定义域为R，又，所以函数是偶函数，故正确；
B. 函数定义域为R，又，所以函数是偶函数，故正确；
C. 因为的定义域为，不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数，故错误；
D. 函数定义域为R，又，所以函数是偶函数，故正确；
故选ABD.
12．已知偶函数在区间上是增函数,则满足的的取值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题意，解得，只有BC满足．故选BC．
13．已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则的可能取值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】CD
【解析】由条件对任意的，都有成立，则函数单调递增，若函数是上的单调递增函数，
需满足，解得：.故选CD.
14．已知函数是定义域为的偶函数，当时，函数单调递增，且有.若，下列不等式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【解析】因为是偶函数，且时，递增，，所以时，递减，，
所以，
，，，，
，，，，故选ABCD．
15．已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足：，且时，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．为上的减函数 D．为奇函数
【答案】ABD
【解析】由已知，令，得，，令，得，，再令，得，，A，B正确；
，不是上的减函数，C错误；
令，得，，故D正确.
故选ABD.
16．函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当，恒有.则称函数为“理想函数”，下列三个函数中，是“理想函数”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于定义域上的任意，恒有，即，则是奇函数，
对于定义域上的任意，当，恒有，即当时，，则是定义域内的减函数，
ACD是奇函数，B是偶函数，排除，
其中，时，，，同样时，，，，因此是奇函数．
是减函数，满足题意；
是减函数，是减函数，而时，，在上是减函数，满足题意，
在定义域内不是减函数．
故选AC．
三、填空题
17．已知函数，若，则____________.
【答案】
【解析】令，定义域为关于原点对称，
，所以为奇函数，
所以，所以，
所以，故答案为：.
18．已知函数奇函数，当时，，则时，______，若，则的值为______.
【答案】
【解析】设，则，所以，
又函数为奇函数，所以，即时，，
又，所以，解得.故答案为：；
19．如果函数在区间上单调递减，那么实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】函数的对称轴为，且开口向上，由题意知，即，
所以实数a的取值范围是，故答案为：.
20．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】设，由已知式变形为，所以在上是减函数，
又．所以不等式化为，又，所以．故答案为：.
21．已知函数满足，若函数与图像的交点为，则____________.
【答案】10
【解析】因为函数满足，即满足，
所以是关于点对称，函数关于点对称，
所以函数与图像的交点也关于点对称，
故交点成对出现，且每一对点都关于对称，
故.故答案为：10.
22．设，函数在区间上的最小值为M，在区间上的最小值为m，若，则_________．
【答案】1或4
【解析】函数在区间上单调减，在上单调增．
函数在区间，上的最小值为，在区间，上的最小值为，
若，不合题意；
若，则，；若，则，．
最小值一个是，一个是，
可得，解得或4．故答案为：1或4．
23．定义在R上的，在上增函数，且，，则不等式的解集为_____________.
【答案】或
【解析】依题意，令得，即；
令得，即；令，则，即，故是偶函数.又因为，
故不等式即，故，即，所以，即，故或，即解集为或.
故答案为：或.
四、解答题
24．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明函数在区间上为增函数.
【解析】（1）是奇函数，理由如下：
函数的定义域为，，，关于原点对称，
且，
是奇函数；
证明：（2）任取，，且，
则，
，，
，
即．
在，上单调递增.
25．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的图象，并根据图象写出的单调区间；
（3）求使时的的值.
【解析】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；
②当时，，因为是奇函数，所以．
所以．
综上：．
（2）函数图象如下所示：
由函数图象可知，函数的单调增区间为和，单调减区间为．
（3）当时，
解得或
因为，所以
当时，
解得
综上所述， 或
26．若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1，
∴c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1.
∵f（x＋1）－f（x）＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，
∴f（x）＝x2－x＋1.
（2）由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立.
令g（x）＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其对称轴为x＝，
∴g（x）在区间[－1，1]上是减函数，
∴g（x）min＝g（1）＝1－3＋1－m>0，
∴m<－1.
27．已知函数的定义域为，且对任意 ，都有，且当时，恒成立．
（1）证明：函数是奇函数；
（2）在定义域上单调递减；
（3），求的取值范围.
【解析】（1）证明： ，
令，
，则．
令，，
，
即，而，
，
即函数是奇函数；
（2）设，则，
当时，恒成立，则，
，
函数是上的减函数；
（3）由，
可得，又函数是奇函数，
∴，
∵在定义域上单调递减
∴ ，解得，
∴，解得，，
故的取值范围.
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考点10 函数的基本性质
一、单选题
1．下列函数中，在定义域内单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数是奇函数．则实数的值是（ ）
A．0 B．2
C．4 D．-2
3．已知为偶函数，其局部图象如图所示，那么（ ）
A． B． C． D．
4．函数中，有（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
5．函数的图象关于（ ）
A．轴对称 B．原点对称 C．轴对称 D．直线对称
6．已知是定义在上的偶函数，并满足：，当，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数对任意，都有的图形关于对称，且，则（ ）
A．1 B． C．0 D．2
9．若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
10．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．下列函数中是偶函数的有（ ）
A． B．
C． D．
12．已知偶函数在区间上是增函数,则满足的的取值是（ ）
A．0 B． C． D．
13．已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则的可能取值是（ ）
A．1 B． C． D．
14．已知函数是定义域为的偶函数，当时，函数单调递增，且有.若，下列不等式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
15．已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足：，且时，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．为上的减函数 D．为奇函数
16．函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当，恒有.则称函数为“理想函数”，下列三个函数中，是“理想函数”的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
17．已知函数，若，则____________.
18．已知函数奇函数，当时，，则时，______，若，则的值为______.
19．如果函数在区间上单调递减，那么实数a的取值范围是________.
20．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为_________．
21．已知函数满足，若函数与图像的交点为，则____________.
22．设，函数在区间上的最小值为M，在区间上的最小值为m，若，则_________．
23．定义在R上的，在上增函数，且，，则不等式的解集为_____________.
四、解答题
24．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明函数在区间上为增函数.
25．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的图象，并根据图象写出的单调区间；
（3）求使时的的值.
26．若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
27．已知函数的定义域为，且对任意 ，都有，且当时，恒成立．
（1）证明：函数是奇函数；
（2）在定义域上单调递减；
（3），求的取值范围.
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