2021-2022学年人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程 同步优生辅导测评 （word版、含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》
同步优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．将二次函数y＝2x2﹣3的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，下列关于平移后所得抛物线的说法，正确的是（　　）
A．开口向下 B．经过点（2，3）
C．与x轴只有一个交点 D．对称轴是直线x＝1
2．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下
x … 0 1 2 3 …
y … ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 …
则下列说法错误的是（　　）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．方程ax2+bx+c＝0有一个正根大于3 D．当x＞1时，y随x的增大而增大
3．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是（　　）
A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5
给出以下三个结论：
（1）二次函数y＝ax2+bx+c最小值为﹣4；
（2）若y＜0，则x的取值范围是0＜x＜2；
（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧，则其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）＝m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（　　）
A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜β C．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5
6．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（　　）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
7．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣2）2+7
C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+4
8．如图抛物线y＝x2+bx+c，则关于x的方程x2+bx+c＝0的解是（　　）
A．无解 B．x＝1 C．x＝﹣4 D．x1＝﹣1，x2＝4
9．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，它的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D．且A（﹣1，0），则下列结论不正确的是（　　）
A．a＝2
B．它的图象与y轴的交点坐标C为（0，﹣3）
C．图象的顶点坐标D为（1，﹣4）
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+mx+n与x轴交于A，B两点．若顶点C到x轴的距离为8，则线段AB的长度为（　　）
A．2 B． C． D．4
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的解是　 　，　 　．
12．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是　 　．
13．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝　 　．
14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　 　．
15．二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴有且只有一个交点，c＝　 　．
16．抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于B、C两点，点D平分BC，且点A为抛物线上的点，且∠BAC为锐角，则AD的值范围为　 　．
三．解答题（共4小题，满分50分）
17．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作CD∥x轴交抛物线于D，连接AC，AD，求△ACD的面积．
18．已知抛物线L：y＝x2+x﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；
（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
19．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）当t为何值时，二次函数y＝x2﹣（t﹣1）x+t﹣2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数？请说明理由．
20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　 　；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；
（3）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：二次函数y＝2x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3），把点（0，﹣3）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标为（2，0），所以所得的图象解析式为y＝2（x﹣2）2．
∵a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，故A错误，
∵当x＝2，y＝0，
∴抛物线与x轴只有一个交点，经过点（2，3）的说法不正确．故B错误，
抛物线的对称轴为x＝2．故D错误．
则正确的说法是C．
故选：C．
2．解：由表格可知：抛物线的顶点为（1，﹣3）
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
故选项B正确；
∵抛物线还与y轴交于（0，﹣2）
所以抛物线开口向上，
故选项A正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，还有（2，﹣2）和（3，1）
∴抛物线与x轴的正半轴交点的横坐标小于3，
∴方程ax2+bx+c＝0有一个正根小于3
故选项C不错误；
∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大
故选项D正确；
本题选择说法错误的，
故选：C．
3．解：翻折后的抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2﹣4＝x2﹣8x+12，
∵设x1，x2，x3均为正数，
∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，
根据对称性可知：x1+x2＝8，
∵2＜x3≤4，
∴10＜x1+x2+x3≤12即10＜t≤12，
故选：C．
4．解：由表格得：二次函数顶点坐标为（1，﹣4），开口向上，与x轴交点坐标为（﹣1，0）与（3，0），
则（1）二次函数y＝ax2+bx+c最小值为﹣4，正确；
（2）若y＜0，则x的取值范围是﹣1＜x＜3，错误；
（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧，正确，
故选：C．
5．解：将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）往下平移m个单位可得出抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）﹣m，
画出函数图象，如图所示．
∵抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）与x轴的交点坐标为（3，0）、（5，0），抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）﹣m与x轴的交点坐标为（α，0）、（β，0），
∴α＜3＜5＜β．
故选：D．
6．解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，
故选：B．
7．解：曲线段AB扫过的面积＝（xB﹣xA）×AA′＝3AA′＝9，
则AA′＝3，
故抛物线向上平移3个单位，则y＝（x﹣2）2+4
故选：D．
8．解：如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点的横坐标分别是﹣1、4，则关于x的方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4．
故选：D．
9．解：∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点B（3，0），
∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴a＝2，故A选项不符合题意；
令x＝0，y＝﹣3，则C的坐标为（0，﹣3），故B选项不符合题意；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4），故C选项不符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，开口向上
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
而当x＞0时，y随x的增大而先减小后增大，故D选项符合题意．
故选：D．
10．解：设抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+8，
当y＝0时，﹣2（x﹣h）2+8＝0，解得x1＝h﹣2，x2＝h+2，
所以A（h﹣2，0），B（h+2，0），
所以AB＝h+2﹣（h﹣2）＝4．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．
所以x1＝﹣1，x2＝5．
故答案是：x1＝﹣1，x2＝5．
12．解：∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），则＝﹣1，解得x＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
13．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．
（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，
于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，
解得，（m﹣）2＜，
解得m＜或m＞．
将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．
（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，
这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，
解得：m＝．
故答案为：1或0或．
14．解：当x＝0时，y＝（x﹣1）2﹣4＝﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD＝3；
当y＝0时，有（x﹣1）2﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB＝4，OA＝1，OB＝3．
连接CM，则CM＝AB＝2，OM＝1，如图所示．
在Rt△COM中，CO＝＝，
∴CD＝CO+OD＝3+．
故答案为：3+．
15．解：∵二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△＝（﹣3）2﹣4c＝0，
∴c＝．
故答案为．
16．解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+2x+8，
∴抛物线的顶点为A0（1，9），
对称轴为x＝1，
与x轴交于两点B（﹣2，0）、C（4，0），
分别以BC、DA为直径作⊙D、⊙E，则
两圆与抛物线均交于两点P（1﹣2，1）、Q（1+2，1）．
可知，点A在不含端点的抛物线内时，∠BAC＜90°，
且有3＝DP＝DQ＜AD≤DA0＝9，即AD的取值范围是3＜AD≤9．
则A的横坐标取值范围是3＜x≤9．
故答案为：3＜x≤9．
三．解答题（共4小题，满分50分）
17．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣6x+c与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于C（0，4），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣6x+4；
（2）令y＝4，则2x2﹣6x+4＝4，
解得x1＝0，x2＝3，
∴D（3，4），
∴CD＝3，
∴S△ACD＝＝6．
18．解：（1）当y＝0时，x2+x﹣6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2，
∴A（﹣3，0），B（2，0），
当x＝0时，y＝x2+x﹣6＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∴△ABC的面积＝ AB OC＝×（2+3）×6＝15；
（2）∵抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，
∴A′B′＝AB＝5，
∵△A'B′C′和△ABC的面积相等，
∴OC′＝OC＝6，即C′（0，﹣6）或（0，6），
设抛物线L′的解析式为y＝x2+bx﹣6或y＝x2+bx+6
设A'（m，0）、B′（n，0），
当m、n为方程x2+bx﹣6＝0的两根，
∴m+n＝﹣b，mn＝﹣6，
∵|n﹣m|＝5，
∴（n﹣m）2＝25，
∴（m+n）2﹣4mn＝25，
∴b2﹣4×（﹣6）＝25，解得b＝1或﹣1，
∴抛物线L′的解析式为y＝x2﹣x﹣6．
当m、n为方程x2+bx+6＝0的两根，
∴m+n＝﹣b，mn＝6，
∵|n﹣m|＝5，
∴（n﹣m）2＝25，
∴（m+n）2﹣4mn＝25，
∴b2﹣4×6＝25，解得b＝7或﹣7，
∴抛物线L′的解析式为y＝x2+7x+6或y＝x2﹣7x+6．
综上所述，抛物线L′的解析式为y＝x2﹣x﹣6或y＝x2+7x+6或y＝x2﹣7x+6．
19．解：（1）证明：在方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0中，Δ＝[﹣（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）＝t2﹣6t+9＝（t﹣3）2≥0，
∴对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）解：令y＝0，得到x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0
设方程的两根分别为m、n，
由题意可知，方程的两个根互为相反数，
∴m+n＝t﹣1＝0，
解得：t＝1．
∴当t＝1时，方程的两个根互为相反数．
20．解：（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝2．
故答案为：2；
（2）∵（x﹣2）（mx﹣n）＝0是倍根方程，且，
∴，
∴n＝m或n＝4m，
∵4m2﹣5mn+n2＝（4m﹣n）（m﹣n），
∴4m2﹣5mn+n2＝0．
（3）∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，不妨设x1＝2x2，
∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，
∴由抛物线的对称轴可知：x1+x2＝5，
又∵x1＝2x2，
∴2x2+x2＝5，即，
∴，
即ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为，．