2021-2022学年度北师大版九年级数学上册第四章课件 4.2 平行线分线段成比例(共23张PPT)

(共23张PPT)
BS九(上)
教学课件
第四章 图形的相似
4.2 平行线分线段成比例
1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论.（重点）
2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）
学习目标
下图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道:AA1、BB1、CC1互相平行，且若AB=BC，你能猜想出什么结果呢？
a
b
c
DE=EF
D
F
E
观察与猜想：
N
E
A
B
C
D
F
直线 ，AB=BC.
求证：DE与EF相等.
M
证明：分别过点D、E作DM∥a交l2于点
M，EN∥a交l3于点N.
易证：四边形ABMD和四边形BCNE是平行四边形.
由AB=BC得DM=EN，
易证△DME≌△ENF，
∴ DE=EF.
证明猜想：
1
平行线分线段成比例（基本事实）
如图（1），小方格的边长都是1，直线a ∥b∥c ,分别交直线m、n于点
（1）计算 ，你有什么发现？
合作探究：平行线分线段的关系
（2）将b向下平移到如图2的位置，直线m、n与直线b的交点分别为 .你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将b平移到其他位置呢？
(图2）
猜想：在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？
如果 ，那么 与 相等吗？
解： 相等.理由如下，如图，我们分别找出AB的二等分点和BC的三等分点，再过它们作AD的平行线.
P
M
H
Q
N
G
由平行线等分线段可知：
证明猜想（特殊）：
如果 ， 那么 与 相等吗？
解：相等.理由如下：我们分别找出AB的n等分点和BC的m等分点，再过它们作AD的平行线.
平行线分线段
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例.
成比例
n个
m个
n个
m个
证明猜想（一般）：
★基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例.
★符号语言：
若a ∥b∥ c ，则 .
b
c
a
1.直线AB//CD//EF，若AC=3，CE=4，
则 ，
2.直线 ，若AC=4，CE=6，
则BD=3 ，BF=
练一练：
l2
l1
l2
l3
l4
l5
l1
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
l3
l4
l5
C
A
B
D
E
A
B
C
D
E
找一找：如图2、图3，l3∥ l4∥l5,请指出成比例的线段.
猜想：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
图2
图3
平行线分线段成比例定理的推论
2
如图，在△ABC中，已知DE∥BC,求证：
及 .
A
B
C
D
E
M
N
如图，过点A作直线MN，使
MN//DE.
∵DE//BC,
∴MN//DE//BC.
因此AB、AC被一组平行线MN、DE、BC所截.
证明猜想：
同时还可以得到
则由平行线分线段成比例可知
归纳总结：
平行线分线段成比例的推论：
平行于三角形一边的直线与其他两边（或其延长线）
相交，截得的对应线段成比例.
如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC的点，且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少？
A
E
B
C
F
解: ∵EF∥BC,
∴
∵AE = 7, EB = 5 , FC = 4，
∴
例1
(2)如果AB=10，AE=6，AF=5,那么FC的长是多少？
A
E
B
C
F
解: ∵EF∥BC,
∴
∵AB = 10 , AE = 6 , AF = 5，
∴
∴FC=AC – AF =
如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE//BC，EF//AB，若AD=2BD.
(1)求 的值. (2)求证： .
A
B
C
D
E
F
解：(1)∵DE//BC，EF//AB,
又AD=2BD，
(2)∵DE//BC，EF//AB,
∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF.
例2
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(　　)
A. B.
C. D.
D
3.在△ABC中，ED//AB，若 ，
则
2.如图，DE∥BC,已知
A
B
C
E
D
A
B
C
D
E
4.已知DE//BC, AB=15,AC=9,BD=4 ，求AE的长.
解:
∵ DE∥BC,
AB AC
BD CE
∴
——
——.
＝
即
5.如图，AB=AC，AD⊥BC于点D,M是AD的中点，CM交AB于
点P,DN ∥CP.若AB=6 cm，求AP的长.
解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D,
M是AD的中点,
∴DB=DC,AM=MD.
∵DN ∥CP,
又∵AB=6 cm，
∴AP=2 cm.
平行线分线
段成比例
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
截得的对应线段成比例
基本事实
推论
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段成比例