【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第3讲 微积分初步（PDF版含解析）

第三讲 微积分初步
一、知识方法拓展
1、曲边梯形的定义
我们把由直线 x a, x b(a b), y 0和曲线 y f (x)所围成的图形称为曲边梯形。
2、曲边梯形的面积的求法
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限
3、定积分的概念
一般地，设函数 f (x) 在区间[a,b]上连续，用分点
a = x0 < x1 < x2 < ...< xi-1 < xi < ...< xn = b
b - a
将区间[a,b]等分成 n 个小区间，每个小区间长度为Dx ( D = )，在每个小区间[xi-1 , xi ]上任取一x n
n n b a
点 xi (i = 1,2,...,n)，作和式： S n f (xi ) x f ( i )
i 1 i 1 n
如果Dx 无限接近于0 (亦即n )时，上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数
b
f (x) 在区间[a,b]上的定积分。记为： S f (x)dx， a
其中 是积分号，b 是积分上限， a 是积分下限， f (x) 是被积函数， x 是积分变量，[a,b]是积分区
间， f (x)dx是被积式。
b
说明：(1)定积分 f (x)dx 是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即 Sn 无限趋近a
b
的常数 S ( n 时)记为 f (x)dx ，而不是 Sn ． a
(2)用定义求定积分的一般方法是：①分割： n 等分区间[a,b ]；②近似代替：取点 i xi 1 , xi ；③
n b a b n b a
求和： f ( i )；④取极限： f (x)dx lim f i n a n i 1 i 1 n
4、定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
b b
性质 1 kf (x)dx k f (x)dx(k为常数) ； a a
b b b
性质 2 [ f1(x) f2(x)]dx f1(x)dx f2(x)dx ； a a a
b c b
性质 3 f (x)dx f (x)dx f (x)dx (其中a c b) a a c
5、定积分的几何意义
b
(1)从几何上看，如果在区间[a,b]上函数 f (x) 连续且恒有 f (x) 0，那么定积分 f x dx表示由直a
线 x a, x b(a b), y 0和曲线 y f (x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积。
b
(2)从几何上看，如果在区间[a,b]上函数 f (x) 连续且恒有 f (x) 0，那么定积分 f x dx表示由直a
线 x a, x b(a b), y 0和曲线 y f (x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积的相反数。
(3)从几何上看，如果在区间[a,b]上函数 f (x) 连续，且函数 y f (x) 的图像有一部分在 x 轴上方，有
b
一部分在 x 轴下方，那么定积分 f x dx表示 x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。 a
b
(4)图中阴影部分的面积 S= [ f1(x) f2(x)]dx a
6、微积分基本定理
b
1
一般地，如果 f (x) 是区间[a,b]上的连续函数，并且F (x) f (x)，那么 f (x)dx F(b) F(a) ，a
b
这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式。为了方便，我们常把F(b) F(a)记成F (x) a ，
b
f (x)dx F(x) b即 a F(b) F(a) 。 a
1
计算定积分的关键是找到满足 F (x) f (x)的函数F(x)。
7、常见定积分公式
b n 1 n 1 b
(1) a x dx x |a (n 1)n 1
b b
(2) a cdx cx |a (C 为常数)
b
(3) a sin xdx cos x |
b
a
b
(4) a cos xdx sin x |
b
a
b 1
(5) a dx ln x |
b
a (b a 0)
x
b x x b
(6) a e dx e |a
x
b x a b
(7) a a dx |a (a 0且a 1) ln a
二、热身练习
【例 1】计算下列各式：
6
2
(1) (x 1)dx =_____________； 0
分析：78
2
(2) (sin x 2)dx ___________； 2
分析： 8
e e
(3) (2
x )dx =_____________；
1 x
2e 2
分析： e
ln 2 ln 2

x
(4) 2 sin
2 dx =____________； 0
2
1
分析：
4 2
x2 (0 x 1)
2
【例 2】已知 f (x) ,则 0 f (x)dx =__________；
2 x (1 x 2)
分析：
【例 3】给出如下命题：
a b
③ dx b dt b a ( a，b 为常数且a b )； a
0 1
② 2 2
π
1 x dx 1 x dx ； 1 0 4
③曲线 y sin x ， x [0，2π]，与直线 y 0围成的两个封闭区域的面积之和为 2．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C． 2 D．3
分析：B
3
2
【例 4】 x 4 dx 等于( ) 0
21 22 23 25
A． B． C． D．
3 3 3 3
分析：C
三、真题讲解
【例 】已知 f (x) x (12t 4a)dt, F (a) 11 a 0[ f (x) 3a
2 ]dx ，求函数F (a) 的最小值.
分析： f (x) x a (12t 4a)dt
(6t2 4at) |x 6x2 a 4ax (6x
2 4a2) 6x2 4a 2a2
F (a) 1 0[ f (x) 3a
2 ] 1 (6x2 0 4ax a
2 )dx
3 2 2 1 3 2 2
(2x 2ax a x) |0 2.1x 2a.1 a .1
2 2
a 2a 2 (a 1) 1 1
当a 1时， F (a) 最小=1 当a 1时，F (a) 最小=1
【例 2】求在[0,2 ]上，由 x 轴及正弦曲线 y sin x 围成的图形的面积.
分析：作出 y sin x 在[0,2 ]上的图象如右 y
y sin x 与 x 轴交于 0、 、2 ，所
x
0 Л
s
2Л
求积 0 sin xdx |
2
sin xdx | ( cos x) |
( cos x) |2 0 4
【例 3】若 y＝ ，则 y 的最大值是( )
7
A．1 B．2 C．－ D．0
2
分析：y＝ ＝
1 x 1 5
＝(－cost－ cos2t)| ＝－cosx－ cos2x＋
4 0 4 4
1 5 1 3
＝－cosx－ (2cos2x－1)＋ ＝－ cos2x－cosx＋
4 4 2 2
1
＝－ (cosx＋1)2＋2≤2.
2
答案：B
17
【例 4】若 f(x)是一次函数，且 ， ，那么 dx 的值是________．
6
1 1 1 1
分析：∵f(x)是一次函数，∴设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，由 (ax＋b)dx＝5 得( ax2＋bx) ＝ a＋b＝5， 0 2 0 2
①
1 17 1 17
由 xf(x)dx＝ 得 (ax2＋bx)dx＝ ，即 0 6 0 6
1 1 1 17 1 1 17
( ax3＋ bx2) ＝ ，∴ a＋ b＝ ， ②
3 2 0 6 3 2 6
解①②得 a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，
2 f(x) 2 4x＋3 2 3
于是 dx＝ dx＝ (4＋ )dx 1 x 1 x 1 x
2
＝(4x＋3lnx) ＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.
1
答案：4＋3ln2
【例 5】设 f (x) x ln x ，
(1)求 f (x)；
1 b
(2)设0 a b，求常数 C，使得 ln x C dx取得最小值； b a a
(3)记(2)中的最小值为m ，证明： . a,b ma,b ln 2
1
分析：(1) f (x) = ln x + x = ln x +1
x
(2)若C ≤ln a ，则 ln x - C = ln x - C，显然，当C = ln a ， ln x - C 取最小；若C ≥ln b，
则 ln x - C = C - ln x，当C = ln b，C - ln x 取最小
故不妨设 ln a ≤C ≤ln b
1 b
ln x C dx=
b a a
由(1)可知，
因
1 b
所以 ln x C dx
b a a
记 g(C) = a ln a + b ln b + 2ec - (a + b)C - (a + b)
c a + b
令 g ' (C) = 2e - (a+b) = 0，得C = ln
2
a + b 1 b
即C = ln ， ln x C dx取最小值 2 b a a
a + b 1 b
(3)将C = ln 代入 ln x C dx 2 b a a
的右边，
1 a + b a + b
ma,b = [a ln a + b ln b - (a + b) ln ] < ln 2 a ln a + b ln b - (a + b) ln < (b - a) ln 2b - a 2 2
a ln a + b ln b + 2a ln 2 < (a + b) ln(a + b) 2a ln 2 < a ln(a + b) - a ln a + b ln(a + b) - blnb
b a
2a ln 2 < a ln(1+ ) + b ln(1+ )
a b
b b a
由于0 a b，故 +1 > 2，所以a ln(1+ ) > a ln 2，即只需证明b ln(1+ ) > a ln 2
a a b
a b a
a ln 2 < b ln(1+ ) ln 2 < ln(1+ )
b a b
a b a ln(1+ m)
1
令 = m∈(0,1)，则 ln(1+ ) = = ln(1+ m)m
b a b m
1 1 1
函数 ln(1+ m) m 单调递减且m∈(0,1)，所以 ln(1+ m)m > ln(1+1)1 = ln 2，得证
四、重点总结
1、能快速反应出常见的微分公式
2、利用牛顿-莱布尼兹公式计算
3、利用微积分求曲边梯形面积
五、强化训练
A 组
x 1, x 1
2
1、设 f x 1 ，求 f x dx。 x 2 0 , x 1
2
1 2
2 1 2 1 1 1 8
分析： f x dx x 1 dx x
2dx 2 x x x
3
0 0 1 2 2 6 1 30
2、已知 f(x)为偶函数且 ，则 等于( )
A．0 B．4 C．8 D．16
0 6
分析：原式＝ f(x)dx＋ 6 f(x)dx， 0
∵原函数为偶函数，
∴在 y 轴两侧的图象对称，
∴对应的面积相等，即 8×2＝16.
答案：D
3、函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 相交形成一个闭合，则该闭合图形的面积
是( )
4
A．1 B. C. 3 D．2
3
分析：函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图
2 2 4
形的面积等于 (－x2＋2x＋1－1)dx＝0 (－x
2＋2x)dx＝ .
0 3
4
4、已知函数 y＝x2与 y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为 ，则 k=________.
3
k kx2 x3 k k3 4
分析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，再由 (kx－x2)dx＝( － )y=x＝2 ＝0 2 3 0 6 3
求得 k＝2.
答案：2
1 x
2 , x 0 3
5、设 f x ，求 f x 2 dx 。
e x , x 0
1
分析：令 x 2 t ，则
3 1 0 1 7 1
f x 2 dx f t dt 1 t
2 dt t e dt 1 1 1 0 3 e
6、求曲线 y x2 ， y x 及 y 2x所围成的平面图形的面积.
分析：作出 y x2 ， y x 及 y 2x的图如右
y 2x x 2 x 0 B(2,4)
解方程组 得
y x
2
y 4 y 0
y=x
y x x 1 x 0
解方程组 得 A(1,1) 2
y x y 1 y 0 o x 1 2
1
所求面积 s 0 (2x x)dx
2
1 (2x x
2 )dx
1 2 2
0 xdx 1 (2x x )dx
1 1
x2 |1 (x2 x3) |2 0 1
2 3
7

6
2 ln 2 dt
7、若 ，求 x 。 x
e t 1 6
t 2 2u
分析：令 e 1 u ，则 t ln 1 u ，dt du
1 u 2
当 t 2ln 2时，u 3
x
当 t x时，u e 1
2ln 2 dt 3 2udu 3
∴ x t 2arctgu x ex 1 2 e 1e 1 1 u u

2 x arctg e 1
3 6
从而 x ln 2
x
x a
、已知 lim 4x2e 2x8 dx ，求常数 a 。 x x a a
x
2a
分析：左端 lim 1 2a e
x x a

右端 2x2e 2x d 2x 2x2de 2x a a
2 x2e 2x 2xe 2x dx
a a

2a2e 2a 2x 2 xde a

2a2e 2a 2 xe 2x e 2x dx
a a
2a 2 2a 1 e 2a
2 2a 2a
∴ 2a 2a 1 e e
解之a 0或a 1。
B 组
y = x2
1
9、在曲线 (x ≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成图形的面积为 ，试求：
12
(1)切点 A 的坐标；
(2)过切点 A 的切线方程．
分析：(1)设切点 A(x 2 ，切线斜率为 k y 0，x0 ) x x 2x0 ， 0
切线方程为 y x20 2x0(x x ， 0)
x
令 y 0，得 x 0 ．
2
x0 x
2 0 1 1
s 2 x dx x [x
2 (2x x x2 )]dx x30 0 0 ，
0 0
2 12 12
解得 x0 1， 切点 A 的坐标为 (1，1)；
(2)将 A(1，1) 代入切线方程，得 y 1 2(x 1) ，
整理，得 y 2x 1．
即所求切线方程为 y 2x 1
答案：B
10、如图，设点 P 从原点沿曲线 y＝x2向点 A(2,4)移动，记直线 OP、曲线 y＝x2 及直线 x＝2 所围成的
面积分别记为 S1，S2，若 S1＝S2，求点 P 的坐标．
分析：设直线 OP 的方程为 y＝kx, P 点的坐标为(x，y)，
x 2
则 (kx－x2)dx＝ (x2－kx)dx， 0 x
1 1 x 1 1 2
即( kx2－ x3) ＝( x3－ kx2) ，
2 3 0 3 2 x
1 1 8 1 1
解得 kx2－ x3＝ －2k－( x3－ kx2)，
2 3 3 3 2
4 4 4 16
解得 k＝ ，即直线 OP 的方程为 y＝ x，所以点 P 的坐标为( ， )．
3 3 3 9
11、设 f(x)=
(1)当 0≤a≤1与 a＞1 时，分别求 f(a)；
(2)当 a≥0时，求 f(a)的最小值．
分析：(1)0≤a≤1时，
1
f(a)＝ |x2－a2|dx 0
a 1
＝ (a2－x2)dx＋ (x2－a2)dx 0 a
1 a x3 1
＝(a2x－ x3) ＋( －a2x)
3 0 3 a
1 1 a3
＝a3－ a3－0＋0＋ －a2－ ＋a3
3 3 3
4 1
＝ a3－a2＋ .
3 3
当 a＞1 时，
1
f(a)＝ (a2－x2)dx 0
1 1
＝(a2x－ x3)
3 0
1
＝a2－ .
3
4 3 2 1
a a (0≤ a≤1), 3 3
∴f(a)＝
2 1a (a>1).
3
1 1 2
(2)当 a＞1 时，由于 a2－ 在[1，＋∞)上是增函数，故 f(a)在[1，＋∞)上的最小值是 f(1)＝1－ ＝ .
3 3 3
当 a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)，
1
由 f′(a)＞0 知：a＞ 或 a＜0，
2
1 1
故在[0， ]上递减，在[ ，1]上递增．
2 2
1 1
因此在[0,1]上，f(a)的最小值为 f( )＝ .
2 4
1
综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为 .
4
六、参考答案
A 组
1 2
2 1 2 1 1 1 8
1、分析： f

x dx x 1 dx x
2
dx x
2 x x
3
0 0 1 2 2 6 1 30
0 6
2、分析：原式＝ f(x)dx＋ f(x)dx， 6 0
∵原函数为偶函数，
∴在 y 轴两侧的图象对称，
∴对应的面积相等，即 8×2＝16.
答案：D
2
3、分析：函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于 (－x20
2 4
＋2x＋1－1)dx＝ (－x2＋2x)dx＝ . 0 3
k kx2 x3 k k3
4、分析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，再由 (kx－x2)dx＝( －0 2 y= )3x20
＝
6
4
＝ 求得 k＝2.
3
答案：2
5、分析：令 x 2 t ，则
3 1 0 1 7 1
f x 2 dx f t dt 1 t
2
dt
t
1 1 1 e dt 0 3 e
2
6、分析：作出 y x ， y x 及 y 2x的图如右
y y=2x
y 2x x 2 x 0 B(2,4)
解方程组 得 2
y x y 4 y 0
y=x
y x x 1 x 0
解方程组 得 A(1,1)
y x
2
y 1 y 0 o x 1 2
所求面积 s
1
0 (2x x)dx
2
1 (2x x
2 )dx
1 2 2
0 xdx 1 (2x x )dx
1 2 1 1
x | (x2 x3) |2 0 1
2 3
7

6
2u
7、分析：令 e
t 1 u 2，则 t ln 1 u ，dt du
1 u 2
当 t 2ln 2时，u 3
当 t x时，u e
x 1
2ln 2 dt 3 2udu 3
∴ 2arctgu x x t ex 1e 1 1 u 2 u e 1

2 arctg e
x 1
3 6
从而 x ln 2
x
2a
8、分析：左端 lim 1 2a e
x x a

2
右端 2x e
2x d 2x 2x
2de 2x
a a
2 x2e 2x 2x 2xe dx

a a

2 2a
2a e 2 xde
2x
a

2
2a e 2a 2 xe 2x e 2x dx

a a
2a 2 2a 1 e 2a
2a 2 2a 2a ∴ 2a 1 e e
解之a 0或a 1。
B 组
9、分析： 2(1)设切点 A(x0，x0 )，切线斜率为 k y x x 2x0 0 ，
切线方程为 y x20 2x0(x x0) ，
x
令 y 0，得 x 0 ．
2
x0 x0
s 2 x2dx [x2
1 1
x (2x0x x
2
0 )]dx x
3
0 ，
0 0
2 12 12
解得 x0 1， 切点 A 的坐标为 (1，1)；
(2)将 A(1，1) 代入切线方程，得 y 1 2(x 1) ，
整理，得 y 2x 1．
即所求切线方程为 y 2x 1
答案：B
10、分析：设直线 OP 的方程为 y＝kx, P 点的坐标为(x，y)，
x 2
则 (kx－x2)dx＝ (x2－kx)dx， 0 x
1 1 x 1 1 2
即( kx2－ x3) ＝( x3－ kx2) ，
2 3 0 3 2 x
1 1 8 1 1
解得 kx2－ x3＝ －2k－( x3－ kx2)，
2 3 3 3 2
4 4 4 16
解得 k＝ ，即直线 OP 的方程为 y＝ x，所以点 P 的坐标为( ， )．
3 3 3 9
11、分析：(1)0≤a≤1时，
1
f(a)＝ |x2－a2|dx 0
a 1
＝ (a2－x2)dx＋ (x2－a2)dx 0 a
1 a x3 1
＝(a2x－ x3) ＋( －a2x)
3 0 3 a
1 1 a3
＝a3－ a3－0＋0＋ －a2－ ＋a3
3 3 3
4 1
＝ a3－a2＋ .
3 3
当 a＞1 时，
1
f(a)＝ (a2－x2)dx 0
1 1
＝(a2x－ x3)
3 0
1
＝a2－ .
3
4 3 2 1
a a (0≤ a≤1), 3 3
∴f(a)＝
2 1a (a>1).
3
1 1 2
(2)当 a＞1 时，由于 a2－ 在[1，＋∞)上是增函数，故 f(a)在[1，＋∞)上的最小值是 f(1)＝1－ ＝ .
3 3 3
当 a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)，
1
由 f′(a)＞0 知：a＞ 或 a＜0，
2
1 1
故在[0， ]上递减，在[ ，1]上递增．
2 2
1 1
因此在[0,1]上，f(a)的最小值为 f( )＝ .
2 4
1
综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为 .
4