【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第4讲 方程与根（PDF版含解析）

第四讲 方程与根
一、知识方法拓展
1. 函数零点定义：
对于函数 y f x ,使 f x 0 的实数 x我们称为函数 y f x 的零点。
结论：如果函数 y f x 在区间 [a,b] 上的图象是一条连续的曲线，并且有
f a f b 0，那么，函数 y f x 在区间 a,b 内存在零点，即存在 c a,b ，使
得 f c 0，这个c 也是方程 f x 0 的根。
函数 y f x 零点的判断方法：
①方程法：解方程 f x 0 ，得函数 y f x 的零点。
②图象法：画出函数 y f x 的图象，其图象与 x轴交点的横坐标是 y f x 的零点。
③定义法：函数在区间[a,b]上图象是一条连续的曲线，并且有 f a f b 0， f x 至
少有一个零点。
2. 高次方程韦达定理
①三次方程韦达定理
3
设三次方程ax bx2 cx d 0的三个根为 x1, x2 , x3 ,那么
b
x1 x2 x3 ,a

c
x1x2 x1x3 x2x3 ,
a
d
x1x2x3 .
a
n n 1 n 2
②如果一元 n 次多项式 f x anx an 1x an 2x a1x a0 的根为 x1, x2, , xn ,
那么
a
x1 x2 x
n 1
n
a
n
a
x1x2 x1x3 x
n 2
n 1xn
a
n
a
x1x2x3 x x x x x x
n 3
1 2 4 n 2 n 1 n
an


n ax1x2x3 x 1
0
n a
n

以上定理称为韦达定理。它确定了根与系数的关系。利用韦达定理，一元 n次方程可直接求
方程的根。
3. 整系数多项式
设 f x K x , C ，若 f 0 ，则称 为 f x 的根（或零点）；又若 x 是 f x
的 k 重因式，则称 为 f x 的 k重根，当 k 1时，称 为 f x 的单根。
代数基本定理： 任意一个次数不小于 1 的多项式至少有一个复数根。
根的个数定理： 任意一个n(n 1)次多项式的复数根的个数（依重数累加）恰有 n 个，依
n
次 定 理 可 知 任 何 一 个 f x anx a0 C x 可 以 分 解 为
a a
f x an x x
1
1 x x
k *
k ，其中 x1 x2 xk ，为两两不同的复数， N ，且i
k
i n 。这是多项式 f x 在复数范围内的标准分解式。
i 1
虚 根 成 对 定 理 ： 设 f x R x , z a bi 为 f x 的 复 根 ， 即 f z 0 ， 则
f z f z 0，于是 z a bi 也是 f x 的根。也就是说实系数多项式的虚根成对出
现。
n
实 系 数 多 项 式 分 解 定 理 ： 设 f x anx a0 R x , 则 f x 可 分 解 为
f x a x x x x x2n 1 m 2b1x c1 x2 2bix ci ， 其 中
x1, , xm R,bi ,ci R,
2
且bi 4ci ,1 i l.m,l N,m 2l n。
n P
整系数多项式的有理根： 设 f x anx a0 Z x , p,q z, pq 0, p,q 1
q
p
是 f x 的有理根，则 p a0 ,q an ，并且可写 f x x g x qx p h x ，其
q
中 g,h Z x 。
依上述定理可知，若 f x Z x ， f x 的首项系数为 1，则 f x 的有理根都是整数根。
二、热身训练
x2 +2x-3,x 0
1.函数 （f x)= 的零点个数为 ( )
-2+ ln x,x>0
A. 3 B. 2 C． 1 D． 0
【答案】 B
2
【解析】当 x 0时，令 x 2x 3 0 解得 x 3；
当 x 0时，令 2 ln x 0解得 x 100，所以已知函数有两个零点，选B 。
2. 若 方 程 x p x 有 两 个 不 等 实 根 ， 则 实 数 P 的 取 值 范 围 是
（ ）
1 1 1
A. P≤0 B. P＜ C. 0≤P＜ D. P≥
4 4 4
【答案】C
x p x2
【解析】 x p x x2 二次方程 x p 0有两个不等的非零实数根。
x 0
1 4p 0

1
即 x1 x2 1 0 0 p
4
x1x2 p 0
f x 2ax23. 已知 a是实数，函数 2x 3 a，如果函数 y f x 在区间 1,1 上有零
点，求 a的取值范围( ).
3 5 3 5 3 5
A. a 5,a B. a ,a
2 2 2
3 5 3 5
C. a 1,a D. 1 a
2 2
【答案】C
【解析】若a 0 , f (x) 2x 3 ,显然在 1,1 上没有零点, 所以 a 0.
3 7
4 8a 3 a 8a2 24a 4 0 a
令 , 解得 2
3 7
a y f x 1,1
①当 2 时, 恰有一个零点在 上;
②当 f 1 f 1 a 1 a 5 0，即1 a 5 y f x 1,1 时， 在 上也恰
有一个零点.
y f x 1,1
③当 在 上有两个零点时, 则
a 0 a 0

8a2

24a 4 0 8a2 24a 4 0

1 1
1 1 1 1
2a 2a
f 1 0 f 1 0
f 1 0 f 1 0
或
3 5
a
解得a 5或 2
3 5
a
综上所求实数 a 的取值范围是 a 1 或 2 .
三、真题精讲
1. （2012年北约）求 x 11 6 x 2 x 27 10 x 2 1的实数的个数。
【解析】本题利用配方的思想来解决的，通过观察我们不难发现两个无理式中都含有
x 2 ， 因 此 我 们 就 可 以 围 绕 x 2 这 一 项 进 行 配 方 ， 于 是 得 到
2
x 11 6 x 2 x 2 2 3 x 2 32 x 2 3 3 x 2
2
x 27 10 x 2 x 2 2 5 x 2 52 x 2 5 5 x 2
5 x 2 3 x 2 2 1，所以原方程无实数解。
2
2.（ 2008 年交大）设 f x ax bx c (a 0) ，如果方程 f x x 无实根，则
f f x x （ ）
A. 无实根 B. 有 1个实根 C. 有 2个实根 D. 有 4个实根
【答案】A
2
【解析】法一： f (x) x ax (b 1)x c 0 无实数根，那么
2
(b 1) 4ac 0；
又因为 f ( f (x)) x 0．则
a(ax2 bx c)2 b(ax2 bx c) c x 0
a(ax2 bx c)2 ax2 ax2 b(ax2 bx c) c x 0．
a(ax2 bx c x)(ax2 bx c x) (b 1)ax2 (b2 1)x c(b 1) 0．
a ax
2 (b 1)x c ax
2 (b 1)x c (b 1)
2
ax (b 1)x c 0．
2 ax (b 1)x c a
2x2 a(b 1)x b c 1 0 ．
2 2 2
因此，有ax (b 1)x c 0或a x a(b 1)x ac b 1 0 ．
1 (b 1)
2 4ac 0；
22 a (b 1)
2 4a2(ac b 1)
2
a (b 1)
2 4ac 4 4a
2 0。
所以均不存在实数根。
法二：如果a 0，那么 f (x) x ，
所以 f ( f (x)) f (x) x ；
如果a 0，那么 f (x) x ，
则 f ( f (x)) f (x) x；
因此 f ( f (x)) x 没有实数根。
, , x3 3x2 1 0 3 3 3 3 3 3 3 3 33. 设 为方程 之根，则 和 的值分别
为 。
3 3
3 2 9 6 3
【解析】由原方程 x 1 3x ，等式两边立方得 x3 1 3x2 ，x 24x 3x 1 0。
y x3 y3 24y2以 代入将其转变为 3y 1 0，则新方程的各根等价于原方程各根的立
3 3 3 3 3 3 3 3 3
方，由新方程的根与系数关系的 24, 3
3
4. （ 2008 年 复 旦 ） 设 方 程 x x 2 0 的 三 个 根 为 x1, x2 , x3 ， 则 行 列 式
x1x2x3
x x x 。 2 3 1
x3x1x2
3
【 解 析 】 设 方 程 x x 2 0 的 三 个 根 为 x1, x2 , x3 ，
x3 x 2 x3 1 x 1 x 1 x2 x 2 0 x1 1, x2 x3 1, x2 x3 2
x1x2x3
x2x3x1 x31 x3 x32 3 3x1 x2 x3 x1 x2 x3 x21 x22 x23 x1 x2 x2 x3 x1 x3
x3x1x2
x1x2x3
从而得到 x x x 0。本题利用三次方程转化得到的三阶行列式进行求值，可以利用三次方2 3 1
x3x1x2
程的韦达定理解决。
5. 设 r, s,t是方程8x3 1001x 2008 0 (r s)
3
的三个根，求 (s t)3 (t r)3的值。
2
【解析】因为三次方程没有 x 项，所以它的所有根之和为 0，即 s r t 0 。故
(r s)3 (s t)3 (t r)3 ( t)3 ( s)3 ( r)3 (r3 s3 t3)。由于 r 为方程的根，
故 8r3 1001r 2008 0 ， 对 于 s 和 t 也 有 同 样 的 式 子 ， 因 此 有
8(r3 s3 t3) 1001(s t r) 3 2008 0。故
3 3 3 1001(s t r) 3 2008 3 2008r s t 753。因此
8 8
(r s)3 (s t)3 (t r)3 (s3 t3 r3) 753。
四、重点总结
1. 掌握判断函数零点的常用方法：方程法，图像法，定理法。注意在给定区间内函数零点
个数可能大于 1个。
2. 对于解无理方程，需要注意利用配方法，换元法，倒数法以及根据函数单调性去解方程。
3. 关于三次方程或者高次方程，巧妙利用韦达定理，不同方程可以利用换元将根转化，便
于解方程。
五、强化训练
(A组)
1 1
1.方程 x x x 4 的实数解为
2 4
1 2 1
【 解 析 】 利 用 换 元 思 想 ， 设 y x 0 x y 代 入 原 方 程
4 4
2
2 1 1 1 3 1 3y y2 y 4 y 4 y 0 y x x 2
4 4 4 2 4 2
1
x y 3 x 3
2. 方程组 y 共有 组实数解。

y
2 2xy 1 8y 0
1 1
【解析】由 x y 3 x 3得 y 0 ，且可以变形为 x y 3 x 5，令
y y
1 u v 3 u 1 u 2 x 5
u x y 3 ，v x ，则 或 ，进一步求得2 ，y u v
2 5 v 2 v 1 y 1
x 3 x 4 10 x 4 10
， ， 。所以方程组共有 4组实数解。
y 1 y 3 10 y 3 10
3
3. 已知方程2 3x 1 12 4 3 x2 4 3 x 1 0，其中两个a,b满足条件 4，
a b
则此方程的根为 。
1
【解析】 f x 2 3x3 2 4 3 x2 4 3 x 1，则方程 f 0的根为原方程
x
3 2
各根的倒数，即方程 x 4 3 x 2 4 3 x 2 3 0 有二根 , 满足条件
4。设其另一根为 ，由根与系数的关系得 4 3， 2 3 。由
4
此得 3 且 。又由根与系数的关系知 ,
2
为方程 t 4t 2 0的根，解之
2
1 1 1
得 , 的值为2 2。故原方程的根为 , , 。
3 2 2 2 2
3 2
4. 求一切实数 P，使得三次方程5x 5 P 1 x 71P 1 x 1 66P 的三个根均为自
然数。
2
【解析】因为 x 1为原方程的根，原问题等价于5x 5Px 66P 1 0 ＊的两个根均
u v P

为自然数。设 u,v 是方程＊的两个根，则 1 ，消去参数 P，得
uv 66P 1
5
66v 1 66 4351 19 229
5uv 66u 66v 1 。 u 。 5u 66 。 显 然
5v 66 5 5 5v 66 5v 66
5u 66 0，5u 66是19 229的模 5 同余于 4 的正因子，即5v 66 19或 229，即
u 59 u 17
或 ，因此，P u v 76
v 17 v 59
2x 4x2 1 2 x 1
5. 解方程： 2
2
x2 1 x2 1 1
2x 4x2 1 2
【解析】两边取以 2为底的对数得： log x 1 2 2
x2 1 x2 1 1
2
log 2x 4x2 1 log x2 1 x2 2即： 2 2 1 1 x 1

2
log 22 2x 4x 1 log x2 1 x22 1 1 2 x 2x 1

构造函数： f x log2 x x2 1 x
所以： f x f x2 1
易得 f x 是奇函数，且是 R 上的增函数，
所以：2x x2 1
解得： x 1
经检验， x 1为原方程的根。
此题较繁琐，既有无理式，又有指数式，但解题关键在于转化为对数方程的过程，构造函数
f x log2 x x2 1 x 是关键。
总结：此题关键在于等式右端的处理，我们需要将自变量从指数位置上“搬下来”，所以两
边取对数，转化为对数方程，然后利用函数的单调性，转化为整式方程。
6. 试求多项式 f x 24x3 26x2 9x 1 ① 的有理根
1
【解析】利用换元法，令 y ，代入①得
x
3 2
1 1 1 1
f 24 26 9 1
y y y y
1
y3 9y2 26y 24
y3

现分析函数 g y
3
g y y 9y2 26y 24
的有理根，得到 g y 没有正根。利用韦达定理可得： y 2, 3, 4是其全部有理根。所
1 1 1
以 f x 的有理根为 , , 。
2 3 4
1 1 1
7. 已知a,b,c 为方程 x3 7x 7 0的根，则 的值为
2 2 2
a 1 b 1 c 1
。
x3
3 2
7x 7 x 1 3 x 1 4 x 1 1 x3 3x2【解析】 。故方程 4x 1 0 的根
1 1 1
为a 1,b 1,c 1 x3 2。因此方程 4x 3x 1 0 的 , , 。运用此方程经简单
a 1 b 1 c 1
1 1 1 2
运算可得 4 2 3 10
2 2 2
a 1 b 1 c 1
(x 8)2001 20018. 解方程： x 2x 8 0。
(x 8)2001 2001【 解 析 】 原 方 程 化 为 x x 8 x 0 ， 即
(x 8)2001 x 8 ( x)2001 ( x) ，构造函数 f (x) (x)
2001 (x) ，原方程等价于
f (x 8) f ( x) 。而依据函数的单调性，可知 f (x) 是 R 上的单调递增函数，于是又
x 8 x， x 4为原方程的解。
（B组）
f x x4 x3 x21.已知多项式 4x 20的四个根中，有两个根的绝对值相等，符号相
反，试求 f x 的有理数根。
【解析】设 f x 的四个根为 , , , ，以 x 代 x 既得
g x x4 x3 x2 4x 20
g x 的根 , , , 。于是 f x ， g x 有公共根 。
2
因 f x g x 2x x 4 ，
显然 2 x2，再将 4去除 f x 得
x x2 x 5
x 无实根，故多项式 f x 的有理根是 2。
2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 ， 将 适 合 x y, x 3, y 3, 且 使 关 于 t 的 方 程
3 3 4 1(x y )t (3x y)t2 0没有实数根的点 (x, y)所成的集合记为 N，则由点集 N
x y
所成区域的面积为 。
A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/5
【答案】C
1
【解析】令u t 2 ，原方程化为 (x3 y3)u2 (3x y)u 0. ①
x y
1
(3x y)2 4(x3 y3)
x y
5x2 2xy 3y2 (5x 3y)(x y).
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所
以，
x y,
x y,
x 3,
x 3,
或 y 3,
y 3, (5x 3y)(x y) 0,

(5x 3y)(x y) 0


3x y 0.
点集 N所成区域为图中阴影部分，其面积为
S S ABO S BCO
1 24 1 81
3 6 3 .
2 5 2 5
2 2 2
3. 已知实数 x, y, z 满足： x y z， x y z 1， x y z 3。求实数 x 的取值范
围。
2 2 2
【 解 析 】 令 x 1 t 。 由 x y z 1 得 z t y ， 代 入 x y z 3 ， 得
y2 ty t2 t 1 0 ①
2 2 2
方程①有实数根，所以 t 4 t t 1 0，解得： 2 t 。
3
t 4 4t 3t2 t 4 4t 3t2
由①及 y z可得： y , z 。
2 2
t 4 4t 3t2
又 x y ， 所以1 t ，即2 3t 4 4t 3t
2
，解得 t 0 .
2
2 5
综合可知：0 t ，从而，1 x
3 3
5
因此，所求实数 x 的取值范围是 1, 。
3


x1990 a x1989 19884.设方程 a x a x a 0 的根都是正数。当 a1989 19901 2 1989 1990
时，试求a1990 的最大值。
【解析】设方程的根为 x1, x2, , x1990 ，依题意设 xi 0 i 1,2, ,1990
1990
由韦达定理，得 x1 x2 x1990 1 a1990 a1990 ①
1989
x1 x2 x1989 x1 x3 x1990 x2 x3 x1990 1 a1989 ②
因 a1989 1990 ，故由②可得
1 1 1
x1 x2 x1990 1990 ③
x1 x2 x1990
把①代入②得
1 1 1
x1990 1990 ④
x1 x2 x1990
因 xi 0 i 1,2, ,n ，故
1 1 1

x1 x2 x1990 1 1 1 1 1990 1990 ⑤
1990 x1 x2 x1990 x1 x2 x1990
1 1
由①，④，⑤得 1990
a1990 a1990
解得 a1990 1
当且仅当 x1 x2 x1990 1时，a1990 1