【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第5讲 基本不等式（PDF版含解析）

第五讲 基本不等式及其应用
一、知识方法拓展
1. 均值不等式:
a 2 21 a2 a
2
n a a a n 1 2 n n a1a2 an
n n 1 1 1

a1 a2 an
平方平均 代数平均 几何平均 调和平均
注：1.等号成立条件（特别是用基本不等式算最值时要注意等号是否能取到）；
2.最常用的是代数平均 几何平均；
3.用平方平均和调和平均的时候注重形式；
4.均值不等式有时需要“配”和“凑”，这也是基本不等式的难点之一。
2. 柯西不等式:
(a 21 a
2
2 a
2 2 2 2
n )(b1 b2 bn ) (a1b1 a2b2 a b
2
n n)
注：1.柯西不等式的主要作用是调节系数；
a a a
2.柯西不等式的等号成立条件是： 1 2 n
b1 b2 bn
3.排序不等式：
a1 a2 an ,b1 b2 bn
n n
aibi aibj aibn 1 i
i 1 i j i 1
顺序和 乱序和 逆序和
注：1.排序不等式一般应用于 奇次不等式的证明；
2.排序不等式对符号没有要求；
3.变量的对称性可以用来进行排序。
4．基本不等式的应用：
基本不等式主要用来解决多变量的比较大小；求取值范围和恒成立等问题。
在解题的过程中，首先要注意等式的变形；选用合适的基本不等式；
最后需要指出的是，在解题时先把等号成立条件解出来并注意变量之间的对称性常常会给我
们带来意想不到的好处。
二、热身练习：
1 2 4
1．已知a,b,c R ,a 2b 4c 7 ,求 的最小值
a b c
1 2 4 1 2 4
解：方法 1：7( ) (a 2b 4c)( )
a b c a b c
b a a c b c
1 4 16 2( ) 4( ) 8( )
a b c a c b
b a a c b c
21 2 4 8
a b c a c b
49
1 2 4
方法 2：由 2Cauchy 不等式 (a 2b 4c)( ) (1 2 4) 49
a b c
1 2 4
7
a b c
注：由上题可知：在需要对系数进行“配凑”时，Cauchy 不等式比均值不等式简单很多。
2．（2005，交大）
方 程 x2
1 4 4
px 0 的 两 根 x1, x2 满 足 x1 x2 2 2 ， 则 p
2p2
( p R)。
1
x x p, x x x 2 x 2 (x 2
1
解：
1 2 1 2 1 2 1 x2) 2x x p
2
2p2
1 2
p2
4 4 2 2 2 2 2 4 1 1
x 1 x2 (x1 x2 ) 2x1 x2 p 2 2
p4 4p4
4 1 4 1
p 2 2 2 p 2 2
2p4 2p4
1

4 1 8 1
p p p 2 8
2p4 2
3．设 n 为自然数,对任意实数 x, y, z 2,恒有 (x y2 z2 )2 n(x4 y4 z4 ) 成立,求 n 的最
小值.
(x2 y2 z2 )2
解： 恒成立问题，我们分离参量：n
x4 y4 z4
x4 y4 z4 x2 y2 z2 (x2 y2 z2 )2
利用平方平均 代数平均： 3
3 3 x4 y4 z4
nmin 3（等号在 x y z 取到）
三、精讲名题：
3 3
例 1．已知a b 2，求证：a b 2。
3 3 a
2 b2
解：反证法：若a b 2，则 a b (a b)(a
2 b2 ab) (a b) (a b)
2

2
a2 b2 a b
1
2 2
3 3
a b 2 1 2矛盾！
原命题成立。
1
例 2．已知非等边 ABC的外接圆半径R 1，S ，a,b,c是 ABC的三边长，令 ABC
4
1 1 1
S a b c ， t 。
a b c
求证： t S 。
1 1 C 1
解： S ABC absinC ab abc 1
2 2 2R 4
l m n
令a ,b ,c (l,m,n R )
m n l
l m n m n l
S ， t
m n l l m n
1 m n n
( )
2 l m l
1 m l m
( )
2 l n n
1 n l l
( )
2 m n m
上述三个式子相加得： t S 又 ABC为非等边三角形
等号不成立 t S
l m n
注：若出现abc 1，则令a ,b ,c ，是将变量奇次化的一个重要方法。
m n l
例 3．若a,b,c 0，求证：abc (a b c)(b c a)(c a b)
(a b c) (b c a)
解： a (a b c)(b c a)
2
(b c a) (a b c)
b (b c a)(a b c)
2
(b+c-a)+ (a+ c-b)
c = (b+ c-a)(a+ c-b)
2
abc (a b c)(b c a)(c a b)
b c
例4．非负数 a 和 d ,正数b 和c 满足条件b c a d ，求 的最小值
c d a b
注：由于对称性，不妨设a b c d ；
因为 2(b c) (b c b c) (a b c d) ；c c d ；所以
b c a b c d 1 1 1 a b c d
(c d)( ) ( ) 1 2 1
c d a b 2(c d) c d a b 2 c d a b
(a 1)3 (b 1)3 (c 1)3 81
例 5．已知：a,b,c 0，求证：
b c a 4
1 1
a
a 1
解： 2 2
a
3
3 3 4
3 27 3 27 3 27同理： (a 1) a； (b 1) b ； (c 1) c
4 4 4
(a 1)3 (b 1)3 (c 1)3 27 a b c
( )
b c a 4 b c a
27 a b c 81
33
4 b c a 4
(a 1)3 27
注：在进行“配凑”时，我们先考虑等号成立条件，当a b c时，我们得到 ，
a 4
1
得 a
2
+ 1 1 1
例 6.已知 l,m,n R , lmn =1,求证： (l -1+ )(m-1+ )(n-1+ ) 1
m n l
a b c
解：令 l = ,m = ,n = ;我们把式子转化成abc (a b c)(b c a)(c a b)
b c a
(a b c) (b c a)
a (a b c)(b c a)
2
(b c a) (a b c)
b (b c a)(a b c)
2
(b+ c-a)+ (a+b-c)
b = (b+c-a)(a+b-c)
2
所以：abc (a b c)(b c a)(c a b)
四、强化训练
A 组：
2
a b
1．已知 x 0, y 0， x,a,b, y 成等差数列， x,c,d , y 成等比数列，求 的最小值
cd
解：由等差和等比数列的性质知：a b x y；cd xy ；
2 (a+b)
2
利用均值不等式： (x+ y) 4xy 4
ab
2．若 x 3y 2 0 x，求3 27 y 1的最小值
x
解：3 27
y 1 3x 33y 1 2 3x 3y 1 7
y2
3．若 x, y, z R ， x 2y 3z 0 ,求 的最小值
xz
y2
解：2y = x+3z 2 3xz；两边平方得： 3
xz
y z x z x y
4．已知 x 0, y 0, z 0 .求证： 8。
x x y y z z
注： x 0, y 0, z 0
y z yz x z xz x y xy
2 0， 2 0， 2 0
x x x y y y z z z
y z x z x y 8 yz xz xy
8
x x y y z z xyz
5．若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0，求 x+y 的最小值.
2 8
解：由 2x+8y-xy=0,得 2x+8y=xy,∴ + =1,
y x
8 2 8y 2x
∴x+y=(x+y) =10+ +
x y x y
4y x 4y x
=10+2 ≥10+2×2× =18,
x y x y
4y x
当且仅当 = ,即 x=2y 时取等号，
x y
又 2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,
∴当 x=12,y=6 时，x+y 取最小值 18.
6。某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162平方米的三级污水处理池，
池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中
间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80 元/米 2，水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水池的长和宽，使总造
价最低，并求出最低总造价.
162
解 （1）设污水处理池的宽为 x 米，则长为 米.
x
2 162
则总造价 f(x)=400× 2x +248×2x+80×162
x
1 296 100
=1 296x+ +12 960
x
100
=1 296 x +12 960
x
100
≥1 296×2 x +12 960=38 880（元），
x
100
当且仅当 x= (x＞0),
x
即 x=10 时取等号.
∴当长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，最低总造价为 38 880 元.
0 x 16
1
（2）由限制条件知 162 ,∴10 ≤x≤16.
0 16 8
x
100 1
设 g(x)=x+ 10 x 16 .
x 8
1
g(x)在 10 ,16 上是增函数，
8
1 162
∴当 x=10 时(此时 =16),
8 x
g(x)有最小值，即 f(x)有最小值.
1 800
1296× 10 +12 960=38 882(元).
8 81
1
∴当长为 16 米，宽为 10 米时，
8
总造价最低，为 38 882 元.
7.已知,a,b,c 均为正数，且 a+b+c=1.
1 1 1
求证： + + ≥9.
a b c
1 1 1 a b c a b c a b c
证明 + + = + +
a b c a b c
b a c a c b
=3+ + +
a b a c b c
≥3+2+2+2=9.
1
当且仅当 a=b=c= 时取等号.
3
x2 2x 2
8.若-4＜x＜1,求 的最大值.
2x 2
x2
2
2x 2 1 x 1 1 1
解
1
= · = x 1
2x 2 2 x 1 2 x 1


1 1
=- x 1
2 x 1
1
∵-4＜x＜1,∴-(x-1)＞0, ＞0.
x 1
1
从而 x 1
≥2
x 1
1 1
- x 1 ≤-1
2 x 1
1
当且仅当-(x-1)= ，
x 1
即 x=2（舍）或 x=0 时取等号.
B 组：
a 3
1．已知a,b,c R , 求证：
a ,b,c b c 2
a a b c b c a b c 9 3
注： 3 3
a,b,c b c a,b,c b c a,b,c b c b c 2
a,b,c a b c
1 4 9
2．设 x, y, z 0且 x y z 1.求 的最小值.
x y z
1 4 9
注：利用柯西不等式： (x y z)( ) (1 2 3)2 36
x y z
3．已知a1,a2 , ,an 为任何两两各不相同的正整数,求证：对任何正整数 n,下列不等式成立：
n a n
k
1
2
k 1 k k 1 k
注：利用柯西不等式
n 1 n a n 1 n 1 n 1 nk a
n 1
( )2; ak k, , k
a k 2 k a k k 2

k 1 k k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 k
2 2 2 1 1 1
4．若 x, y, z 0且 x y z 1，求 的最小值
x2 y2 z2
注：利用柯西不等式： (x2 +y2 +z2
1 1 1
)( ) (1 1 1)2 9
x2 y2 z2