【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第8讲 数列求和，极限和数学归纳法（PDF版含解析）

第八讲 数列求和，极限和数学归纳法
一、知识方法拓展
1.常见的幂和公式
n(n 1)
(1)1 2 n
2
2 2 2 n(n 1)(2n 1)
(2)1 2 n
6
2
3 3 3 n(n 1)
(3)1 2 n 2

n
i
注： k 的一个推导方法：利用组合数的性质，如n2 2C2 C1 ，n3 6C3 C1= 等 n 1 n n 1 n
k 1
2.数学归纳法的几种形式
(1)第一数学归纳法：如果①当 n 取第一个值 n ,n N* 时，命题成立；②假设当0 0
n k(k N*,k n0)时命题成立，由此推得n k 1时命题也成立，那么对于一切正整数
n n0 都成立。
(2) 第二数学归纳法：如果①当n 1时，命题成立；②假设当n k(k N *,k 1) 时命题
成立，由此推得n k 1时命题也成立，那么对于一切正整数 n 都成立。
(3) 跳 跃 数 学 归 纳 法 ： 如 果 ① 当 n 1,2,3, ,m 时 ， 命 题 成 立 ； ② 假 设 当
n k(k N *,k m)时命题成立，由此推得 n k m时命题也成立，那么对于一切正整
数 n 都成立。
*
(4) 反向数学归纳法：如果①对无穷多个 n ，命题成立；②假设当n k 1(k N )时命题
成立，由此推得n k 时命题也成立，那么对于一切正整数 n 都成立。
3.分式型数列极限的运算规则

0 p q
a a n a n2 a n p 0 1 2 p ap
(1) lim
2 q p q n b0 b1n b2n bqn bq

p q
(2)假设 a1 a2 ap , b1 b2 bq

0 ap bq
c an1 1 c
n n
2 a2 cp ap cp
lim an n n p bq n d1 b1 d2 b2 dq bq dq

ap b q
4.常见极限
an
(1) lim 0(a 0)
n n!
nk
(2) lim 0(a 1)
n an
ln n
(3) lim 0
n n
sin x x
(4) lim lim 1
x 0 x x 0 sin x
1
1 x 1 1
(5) lim(1 ) e , lim(1 x) x e , lim(1 )x
x x x 0 x x e
二、热身练习
1.(2011 复旦)设有 4 个数的数列为a1,a2 ,a3,a4 ，前 3 个数构成一个等比数列，其和为 k ，后
3 个数构成一个等差数列。其和为 9，且公差非零，对于任意固定的 k ，若满足条件的数列
的个数大于 1，则 k 应满足（ ）
A.12 k >27 B.12 k <27 C.12 k =27 D.其他条件
2
3 d
分 析 与 解 ： 由 已 知 易 得 a3 3 ， 设 a2 3 d ,a4 3 d ， 则 a1 ， 由
3
2
3 d
a1 a2 a3 k 3 d 3 k d
2 9d 3k 27 0
3
因为满足条件的数列个数大于 1 12k 27 0 12k 27 ，选 A
2
2. (2000 交大)若一项数为偶数 2m 的等比数列的中间两项正好是方程 x px q 0 的两
个根，则此数列各项的积是（ ）
m 2m m 2m
A. p B. p C. q D. q
n 2m
分析与解：类比等差数列的各项和公式，得等比数列各项积T m2 2n a1an q q ，选 C
an
3. (2003 复旦) a 0, lim __________________
n 2n an

0 a 2
an 1
分析与解：比较底数绝对值最大项，得 lim a 2
n 2n n

a 2

1 a 2
an 1
演变：a 0, lim _________________
n n
n 1 a
2

a<1
n n
1 a 1
分析与解：比较底数绝对值最大项，可忽略 ， lim 2 a=1
2 n
n

n 1 a
2 1 a>1

三、真题精讲
2
例 1. (2012 华约)已知an lg 1 ，其前 n 项和为 Sn ，求 lim Sn
n2 3n n
(n 1)(n 2) n 1 n 2
分析与解：an lg lg
n(n 3) n n 3
2 3 n 1 3 4 n 2 3(n 1)
Sn lg lg
1 2 n 4 5 n 3 n 3
lim Sn lg 3
n
例 2. (2001 复旦)设数列 bn 满足b1 1,bn 0,(n 2,3, )，其前 n 项乘积T (a
n 1
n bn )
n ，
其中 a 是大于 1 的常数 n 1,2,
(1)求证： bn 是等比数列
(2)求 bn 中所有不同两项的乘积之和
n 1
T bn b 2 1 n
分析与解：(1)由已知，Tn 1 (a
n 2b )n 1n 1 bn
n a2n 2 n n

n 1 a Tn 1 bn 1 bn 1
b
n a 2 ，即 bn 是等比数列
bn 1
(2) bn 中所有不同两项的乘积之和即Hn b1b2 b1b3 b1bn bn 1bn
2
2H 2 2 2又 n b1 b2 bn b1 b2 bn
2
2n 4n 2n 2n 2
a 2
1 a 1 a 2(a 1)(a 1)
当 1, 即a 1时，2Hn
1 a 2 1 a 4 a4n 6 (a2 1)(a
4 1)
(a2n 1)(a2n 2 1)
Hn
a4n 6 (a2 1)(a4 1)
2
2 2 n n当 a 1, 即a 1时，2Hn n n H n
2
n
n 1
例 3. (2010 南开)求证：(1) n! , (n 2)
2
n
n 2
(2) n!
6
分析与解：观察题型，显然用数学归纳法解题
(1)当 n 2时，显然成立
k
n k,k 2,k N*
k 1
假设当 时，不等式成立，即 k !
2
k 1 k k 1
k 2 k 1 k 2
当n k 1时， (k 1)! k !(k 1) (k 1)
2 2 2
k 1 k 1
(k 1)k 1 (k 2)k 1 k 2 1
2 1
2k 2k 1

k 1 k 1
k 1 k 1
1 1 1 1
因为 1 C
0 1 k 1
k 1 Ck 1 Ck 1 C
0
k 1 C
1
k 1 2
k 1 k 1 k 1 k 1
得证
(2) 当n 1时，显然成立
k
k 2
假设当n k,k 2,k N* 时，不等式成立，即 k !
6
k 1 k k 1
k 3 k 2 k 3
当n k 1时， (k 1)! k !(k 1) (k 1)
6 6 6
k 1 k 1
k 3 k 2 1 k 2
6 1
k 2 k 1 k 2 k 1
k 1
1 0 1 1因为 1 C C1 C2 C k 1
1
k 1 k 1 k 1 2 k 1 k 1
k 2 k 2 (k 2) (k 2)
0 1 1 2 1 k 1 k(k 1) Ck 1 C C k 1 k 1 1
k 2 (k 2)2 k 2 2(k 2)2
k 1
1 k 2 k 2 k 5 1 1 5
所以 1 1 6
k 2 k 1 k 1 2(k 2) 2 k 1 k 2 2
得证

例 4. (2008 北大)数列 an 定义如下：a1 1,a2 a3 2,a a an 1 4 5 6 3,
(1)给定自然数 n ，求使al n的 l 的范围
2m2 b
(2)令bm al ，求 lim m
n
l 1 m
3
n(n 1)
分析与解：(1)显然，使得al n的 l 共有1 2 (n 1) 个
2
使得al n的 l 共有 n 个
2 2
n(n 1) n(n 1) n n 2 n n
故 l 1, n ，即 l ,
2 2 2 2
(2)
2m(2m 1) 2m(2m 1)
1 2 (2m 1) 2m2 m 2m2 2m2 m 1 2 2m
2 2
故 a 2 2m bm 1 1 2 2 3 3 (2m 1) (2m 1) 2m
2 (2m2 m) 2m 2m
12 22 2 2
(2m 1) 2m (4m 1)
(2m 1) 2m 2m2
6
b 8
易得 lim m
n m3 3
1
例 5. (2009 交大) a1 1025,q , a 为等比数列，求n an 1a2 an 的最大值 2
n
n(n 1)
n 1n 1
2
1 2
分析与解： a
n
2
n 1
a2 an a1an 1025 1025 1025
2

2
显然，当n 4k 2,4k 3(k N)时， 0 n
当n 4k 1,4k 4(k N)时， 0 n
n 1n 1 又 an 1025
2 n 1
易得，当n 11时， ，当n 12时， n n 1 n n 1
故 中最大项必然是 , 中的一项 n 9 12

易得， 12 10253
1 1
10243 1
2
30 230 12
9
9
故最大项为 12
2 2
例 6. (2009 华 南 理 工 ) 已 知 a a 1 0,b b 1 0,a b ， 设
a1 1,a2 b,an 1 an an 1 0(n 2) ，
bn an 1 a an
(1)证明：数列 bn 是等比数列
(2)求数列 an 的通项
(3)设 c1 c2 1,cn 2 cn 1 cn ，证明：当n 3时，有n k,k 1(k 3,k N)
分析与解：(1)针对数列 an 的递推公式，可以根据特征根法求出 an 的通项公式
但此方法较繁琐，观察题干，可以根据提示直接将原递推公式凑成等比数列的形式
1
由已知a n 1 a an a 1 an an 1 (a 1)(an an 1)
a 1
1 b a
a2 a 1 0 a a a a (a 1)(a a a ) n 1 n 1
a an 1
n 1 n n n 1 (a 1)
a 1 bn an a an 1 a
1
故 bn 是以 为公比的等比数列
a
(2)此题可以先求 bn 的通项公式，再利用待定系数法求 an 的通项公式，但同样较繁琐
观察发现，a1 1,a2 b,a3 a1 a2 1 b b
2
故猜测a bn 1并用数学归纳法证明 n
当n 1,2时，显然成立
假设当n k 1,k(k 2,k N)时成立，即ak 1 b
k 2 ,ak b
k 1
1 1 b 1
则当n k 1时，ak 1 ak ak 1 b
k 1 bk 2 bk
k
b b
k
b b
2 2
b
得证
(3)观察到要证的式子中是相隔两项之间的关系，故肯定需要用第二数学归纳法来证明
由已知，a,b是方程 x2 x 1 0的两根 a b 1
易得c3 2,c4 3
3
当n 3时， 1 c1a c3b (a 2b) (a b) b 1 b b
2
4
当n 4时， 1 c2a c4b a 3b (a 2b) b b
2 b b(b 1) b3
故当n 3,4时均成立
假设当n k,k 1(k 3,k N)时成立，
k k 1
即 1 ck 2a ckb b
k 1
， 1 ck 1a ck 1b b
k
k 2 k 2
则当n k 2时， 1 cka ck 2b 1 ck 2 ck 1 a ck 1 c k b
( 1)k (ck 2a ck 1b) ( 1)
k 1(c a c b) k 1 k
k 1 k k 1 1 1 k 1 1 b b b b b bk 1 2
b b
2
b
得证
四、重点总结
1.掌握常见的几种数学归纳法，能运用数学归纳法解题
2.掌握极限的基本判断法则及常见的几种极限
3.掌握常见的求和方法
五、强化训练
A 组
1. (2001 复旦) lim n n 1 n ______________
n
n 1
分析与解：原式= lim =
n n+1+ n 2
2. (2005 复旦) lim( n2 n 1 n2 n 1) ________________
n
2n+2
分析与解：原式= lim =1
n n2 +n+1+ n2 -n-1
2nS
3. (2007 复旦)设 Sn 1 2 n,n N
*，则 lim n （ ）
n (n 32)Sn 1
1 1
A.2 B. C. D.64
32 16
n(n+1)
2n
分析与解：原式= lim 2 =2，选 A
n n+1 n+2
n+32
2
n
4. (2008 复旦 ) 设 an 是 2 x 的展开式中 x 项的系数 n 2,3,4, ，则极限
22 23 2n
lim （ ）
n
a2 a3 an
A.15 B.6 C.17 D.8
1
n
分析与解： 2 x C0 2n x0 C1 2n 1 x2 2n n Cn 2n 2 x1 a 2 n 2 n Cn 2
2n 4 8 1 1
8
a 2

n Cn n(n 1) n 1 n
1 1 1 1 1 1
原式 lim8 1 lim8 1 8
n 2 2 3 n 1 n n n
2
n(n 1)
5. (模拟题)试证明13 23 n3 2

分析与解：用数学归纳法证明：
当n 1时，显然成立
2
k(k 1)
假设当n k,k 1,k N* 时，13 23 k3 2

2
3 k(k 1) 3
则，当n k 1时，13 23 k3 k 1 k 1
2
2
k 1 k 2 2 2
2
4(k 1) k 1 k 2 k 1 k 2
4 4 2
得证
k 2
6. (2006 交大)已知ak ，则数列 an 的前 100 项和为___________
k ! k 1 ! k 2 !
k 2 k 2 1 k 1
分析与解：ak
k ! 1 (k 1) (k 1)(k 2) k !(k 2)2 k !(k 2) (k 2)!
k 2 1 1 1

(k 2)! (k 1)! (k 2)!
1 1
S100
2 102!
7. (2003 复旦)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，
1
a ，求 Sn 2003
n 1 n n 1 n 1 n n 1
n 1 n 1 n 1 n n n 1
分析与解：由已知an
2 n 1 n n n 1 2 n 1 n n n 1
1 1

2 n 1 n 2 n n 1
1 1 1 1 1
Sn 1 S2003 1 1 2003 2004
2 n n 1 2 2003 2004 2
2 2 2 2 n 1 2
8. (2005 交大) 2 4 6 8 ( 1) 2n _____________
分析与解：当 n 为偶数时，原式
原式 (2 4)(2 4) (6 8)(6 8) 2n 2 2n 2n 2 2n
2 6 14 22 4n 2
n
6 4n 2
2 2
2
2n2 2n
当 n 为奇数时，因为n 1为偶数
2
原式 2(n 1)
2 2(n 1) 2n 2n2 2n
9. (2007 交大)1 1! 2 2! 3 3! n n! _____________
分析与解：原式= (2 1) 1! (3 1) 2! (4 1) 3! (n 1 1) n!
(2! 1!) (3! 2!) (4! 3!) ((n 1)! n!)
(n 1)! 1
10. (2002 交大)A,B 两人轮流掷一个骰子，第一次由 A 先掷，若 A 掷到一点，下次任由 A 掷；
若 A 掷不到一点，下次换 B 掷。对 B 同样适用该规则。如此依次投掷，记第 n 次由 A 掷的
概率为 An
(1)求 An 1 和 An 的关系
(2)求 lim An
n
1 5 2 5
分析与解：(1)由已知，易得 A n 1 An 1 An An
6 6 3 6
n 1
2 1 1 2 1
(2)由(1)设 An 1 t (An t) t An A1
3 2 2 3 2
n 1
2 1 1 1
又 A1 1 An lim A n
3 2 2 n 2
B 组
n x
1．(2000 复旦)设 1 2 x nn yn 2 ，其中 xn , yn 为整数，求 lim
n yn
n
分析与解：由二项式定理的性质可得 1 2 xn yn 2
n (1 2)
n (1 2)n
1 2 x y 2 xn
n n 2

n n n
1 2 xn yn 2 (1 2) (1 2) yn
2 2
n n
x 2 1 2 2 1 2
lim n lim 2
n n ny n n 1 2 1 2
2. (2000 复旦) lim n 2 log2 n 2 2 n 1 log2 n 1 n log2 nn ____________
(n 2)n 2 nn (n 2)n 2 n
n
分析与解：原式 lim log2 lim log2(n 1) 2 n 1 n (n 1) n (n 1) (n 1)n 1


n 1 n 1 1 1 n 2 1
lim log2 1 1 log2 e 1 0
n n 1 n 1 n e
3. (模拟题)在 1 与 2 之间插入 n 个正数a1,a2 ,a3, ,an ，使这n 2 个数成等比数列；又在 1
与 2 之间插入 n 个正数b1,b2 ,b3, ,bn ，使这n 2 个数成等差数列。记 An a1a2a3 an ，
Bn b1 b2 b3 bn 。求：
(1)求数列 An 和 Bn 的通项公式
(2)比较 An 和 Bn 的大小，并证明你的结论
n n (b1 b ) n 3n分析与解：(1)由已知， A a a 2 22 ，B n n 1 n n
2 2
(2)用数学归纳法，容易验证，当n 1,6 时， An Bn
当n 7时， An Bn
k
3k
假设，当n k,k 7,k N* 时， A B ，即22k k
2
k 1
B k 1 1 1 2 2 A
则，当n k 1时， k 1 1 1 2 k 1 A B
k k 1 k 1
Bk k k 7 A22 k
得证
n 1 n 1
4. (2008 中科大)数列 an 满足
i 1 ai i 1 ai
(1)求 an 和an 1的关系
(2)若0 a1 1，证明0 an 1
(3)若 a1 0,1 ，证明an an 1, (n 2)
1 1 1 1 1 1
分析与解：(1)由已知，有
a1 a2 an a1 a2 an
1 1 1 1 1 1
又 (n 2)
a1 a2 an 1 a1 a2 an 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
两式相减，得 1
an a1 a2 an 1 an an 1 a1 a2 an 1
an 1 a1 a2 an 1(n 2)
a 2n 1 1 a1 a2 an an 1 an an 1 an an 1(n 2)
1 1 1 1
又 a2 1 a1
a1 a2 a1 a2
(2)用数学归纳法
当n 1,2时，显然成立
假设当n k,k 2,k N* 时，0 ak 1
3
则当n k 1时，ak 1 a
2
k ak 1 ,1 0,1
4
得证
(3)先用数学归纳法证明当a1 0,1 时，an 1
当n 2时，由a1 0,1 , a2 1 a a2 0,11
假设当n k,k 2,k N* 时，ak 0,1
2
则当n k 1时，ak 1 ak ak 1 1, ak 1 0,1
故 an 1
2 2
又 an 1 an an an 1 an an 1
an 1 an 1 an 0
即 an an 1