【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第7讲 数列递推（PDF版含解析）

第七讲 递推数列
一、知识方法拓展
由递推公式求数列通项的常用方法
类型 1： an 1 an f (n)
n 1
方法：累加法(叠加法)，an a1 f (k)
k 1
类型 2： an 1 an f (n)
n 1
方法：累乘法(迭代法)，an a1 f (k)
k 1
类型 3： a pa q( p,q为常数且 pq p-1 0n 1 n
q
方法：待定系数法(构造法)，令an+1+t=p(an +t)， t= ，从而构造一个公比为 p 的等比
p-1
数列 an +t
类型 4：an 1 pa q
n (p,q为常数且 pq p-1 q-1 0) n
a p a 1 a p 1
方法：一般地，将原式转化为 n+1 = n + ，令b = n ，则b = b ，转化为类
n+1 n n n n+1 n
+
q q q q q q q
型 3 解决
注：当 p q时，我们还能用如下方法更简便地解题
令a +t qn+1 n
1
n+1 =p(an +t q )， t= ，从而构造一个等比数列{an +t q
n}
p -1
类型 5： an 1 pan f (n) (p为常数且 p p-1 0)
a a f (n) a f (n)
方法：一般地，将原式转化为 n+1 = n + ，令b = n ，则n b =b ，转化为n+1 n +
pn+1 pn pn pn pn
类型 1 解决
注 1：当 f (n)为n的一次函数时，如an 1 pan tn+s 我们还能用如下方法更简便地解题
( p -1)A t
令 an+1+A(n+1)+B=p(an +An B) ， ，从而构造一个等比数列{an +An+B}
( p -1)B - A s
注 2：当 f (n)为n的二次函数时，则可构造等比数列{a +An2 +Bn+C}，依次类推 n
类型 6： an 2 pan+1 qan ( p,q为常数)
方法：特征根法
2
其特征方程为 x px q即x2 px q 0，
1、 若方程有两相异根 A 、 B ，则a c n n n 1A c2B
2、若方程有两等根 A B,则a (c nc )An 其中c1、c2 可由初始条件确定。 n 1 2
s t p
设 an 1 tan s(an tan 1) ，则an 1 (s t)an stan 1 ,令 （*）
st q
（1）若方程组（*）有两组不同的解 (s1,t1), (s2 ,t2 ) ,
则 an 1 t1an s1(an t1an 1) , an 1 t2an s2 (an t2an 1) ,
n 1 n 1
由等比数列性质可得an 1 t1an (a2 t1a1)s1 , an 1 t2an (a2 t2 a1 1)s2 ,
a t a n a t a nt1 t2 ,由上两式消去an 1可得a
2 1 1 2 2 1
n .s1 .s 2
.
s1 t2 t1 s2 t2 t1
s1 s2
（2）若方程组（*）有两组相等的解 ，易证此时 s1 t1，则
t1 t2
2 n 1
an 1 t1an s1 an t1an 1 s1 (an 1 t1an 2 ) s1 a2 t1a1 ，
a a a t
n 1 n 2 1
a1 a
,即 n 是等差数列，
n 1 n 2 n
s1 s1 s1 s1
a a a t a
由等差数列性质可知 n 1 n 1 . 2 1 1 ，
n
s s
2
1 1 s1
a a 所以 1 2 t1a1 a2 t a

a 1 1
n
n .n s
．
s 2s
2 1
1 1 s1
man p类型 7： an 1 (m, p,q为定值)
an q
mx+p
方法：函数不动点法，方程 x= 的根称为该数列的不动点，若数列有两个相异的不动
x+q
a - t n 1 点 t,s，则 为等比数列，若数列只有一个不动点，则 是等差数列。
an - s an - t
man p
(1)若 t s ,由an 1 ,
an q
man p mt p mq p an tan 1 t
an q t q t q an q
ma
a n
p my p mq p an s
n 1 s ,
an q s q s q an q
an 1 t s q an t a t s q a t两式相除有 ,从而得 n ( )n 1 1 ,再解出an 即可.
an 1 s t q an s an s t q a1 s
man p man p mt p mq p a t(2)若 t=s ,由an 1 ，an 1 t
n ，
an q an q t q t q an q
1 1 t+q 1 1 t+q
= + ，从而得 = + (n -1)
an+1-t an -t mq-t an -t a1-t mq-t
二、热身练习
x x
1.(2012 复旦)设 x0 0, x1 1, xn 1
n n 1 ，则数列{xn}的极限为（ ）
2
2 1 2 1
A. B. C. D.
3 3 2 2
1 1
分析与解：一方面，我们可以用特征根法，2t2 t 1 t or t 1，故 x nn s ( ) t
2 2
1
而 x0 0, x1 1,可得 s,t 均为有理数。再观察数列前三项0,1, , 及选项，可快速得到只有
2
A 选项符合题意。
2. (2007 复旦)已知数列{a nn}满足3an 1 an 4(n 1) ，且a1 9 ，其前 项之和为 Sn ，则
1
满足不等式 Sn n 6 的最小整数 n 是（ ）
125
A.6 B.7 C.8 D.9
分析与解：由3an 1 an 4，采用待定系数法，设
3(an 1 t) (an t) t 1 {an 1}成等比数列，故
1 1
an 1 ( )
n 1 (a1 1) an 1 8 ( )
n 1
3 3
1
1 ( )n
1 n
进一步可得 Sn n 8
3 Sn n 6 6 ( ) 1 3
1 ( )
3
1
又 Sn n 6 n 7，选 B
125
3. (2006 复旦){an}是正数列，其前 n 项和为 Sn ，满足：对一切n Z
，an 和 2 的等差中项
a
等于 Sn 和 2 的等比中项，则 lim
n （ ）
n n
A.0 B.4 C.12 D.100
a 2
分析与解：由题意得 n 2S (a 2)2 8S ，又 (a 2)2 8S ，两式相减n n n n 1 n 1
2
得8an (a
2
n 2) (a
2
n 1 2) (a a )(a a 4) 0，因为{an}是正数列，所以n n 1 n n 1
a
a n ，选 B n an 1 4 an 4(n 1) a1 lim 4
n n
三、真题精讲
例 1. (2011 卓越)设数列{an}满足a1 a,a2 b, 2an 2 an 1 an
（1）设bn an 1 an ，证明：若a b，则{bn}是等比数列
（2）若 lim(a1 a2 an ) 4 ，求a,b的值
n
1
分析与解：（1）根据提示化简原式得2(an 2 an 1) (an 1 an ) {bn}是公比为 ，
2
首项为b a的等比数列
（2）当a b时，易得{an}为常值数列，a1 a2 an na，极限不存在，不合题意
1 1
当a b时，由（ ）知a a b n 1 n 11 ，用累加法可得n 1 n n b1 ( ) (b a) ( )
2 2
1
1 ( )n 1
2 1
an a1 (b a)
2 a (b a)(1 ( )n 1)
1 3 2
1 ( )
2
1
1 ( )n
2 2 1 4 4 1
a1 a2 an na (b a)(n
2 ) ( b a)n (b a) (b a)( )n
3 1 3 3 9 9 2
1 ( )
2
2 1
b a 0 3 3 a 6
由 lim(a1 a2 an ) 4
n
4 b 3 (b a) 4
9
例 2. (2004 复旦)已知数列{an}，{bn}满足an 1 an 2bn ,bn 1 6an 6bn ,又
a1 2,b1 4，求：
（1）an ,bn
a
（2） lim n
n bn
分析与解：（1）观察已知条件为{an}，{bn}融合后的递推公式，考虑消元转化为只含有一
个数列的递推公式再求解。
1 1
由an 1 an 2bn bn an 1 a ，代入bn 1 6a 6b 得n n n
2 2
1 1 1 1
a a 6a 6( a a ) an 2 5an 1 6an 0 n 2 n 1 n n 1 n
2 2 2 2
相邻三项型的递推数列，用特征根法求解
t2 5t 6 0 t 2,t 3 a p 2n1 2 n q 3
n
p 8
a1 2 p 3q 2 14 28
又 14 an 8 2
n 3n bn 12 2
n 3n
a2 4 p 9q 10 q 3 3
3
14

a 1
（2）由（1）易得 lim n 3
n b 28n 2
3
例 3. (模拟题)斐波那契数列可以由递推公式：a1 1,a2 1,a a a ,n N
* 确定，
n 2 n 1 n
求斐波那契数列的通项公式
分析与解：典型的相邻三项型通项公式，用特征根法可以快速得到答案
2 1 5 1 5 1 5 1 5t t 1 t1 , t2 an p ( )
n q ( )n
2 2 2 2
1 5 1 5 1
a1 p ( ) q ( ) 1 p 2 2 5 1 1 5 1 5
a [( )n ( )n又 n ]
1 5 1 5 1 5 2 2
a p ( )2 q ( )2 1 q
2 2 2 5
例 4. (2010 武大)设{An (an ,bn )}为平面上的点列，其中数列{an}，{bn}满足
3a 3b
an 1 2
n ,b n An 1 ，已知 1的坐标为 (1, 2)
a2 b2 a2 2n n n bn
（1）确定点 A1, A2 , A3 所在圆 C 的方程
（2）证明：点列{An}在定圆 C 上
（3）求数列{an}的通项公式
13 6 121 18
分析与解：（1）直接代入得 A1(1,2), A2( , ), A ( , )，用求中垂线交点法或代入3
5 5 41 41
圆的一般方程都可简单求得圆方程 (x 1)2 y2 4
（2）考虑用数学归纳法来证明，由（1）知 A1在圆C上，假设 Ak 在圆C上，即 (ak 1)
2 b 2k 4
2
2 2 3ak 3b 25a 30a 9b
2 9 4(4a2 12a 9)
(ak 1 1) bk 1 (1 )
2 ( k )2 k k k k k 4
a2 b2 2 2 2 2 2 2k k ak bk (ak bk ) (2ak 3)
得证
7
a 3
2 2 3a 7a 6 n
（3）由（2）知an bn 2an 3 a 2
n
n 1
n 2
2an 3 2a 3n 3 an
2
3
3
7x 6 a 1 a 1 a 1
用不动点法，由 x x1 3, x
n 1 2 n { n }是公
2 1
2x 3 a 3 3 a 3 an 3n 1 1 n
2
an 1
n 1
9n 1
a1 1 n 1 3 9 1比为 9 的等比数列 9 an
an 3 a1 3 9
n 1 1
x2 2
例 5. (模拟题)已知数列{xn}满足 x 2, x
n
1 n 1 ,n N ，求通项
2xn
分析与解：分式型递推公式，考虑用不动点法解题
x2 2
由 x x1 2, x2 2
2x
x2n 2 (x 2)
2
xn 1 2 2
n
2xn 2xn

2
x 2 (x 2)
2
x nn 1 2 2
n

2xn 2xn
两式相除，得
xn 1 2 xn 2 ( )2 ( )
xn 1 2 xn 2
x2 2 2 2x
由已知易得， xn 0, x
n n 2 n 1
2xn 2xn
xn 2 x 2 x 2故 0 ，对 ( ) 式取对数，得 lg( n 1 ) 2lg( n )
xn 2 xn 1 2 xn 2
x 2
lg( n ) 是等比数列
xn 2
xn 2 x 2 x 2 2 2 n 1 lg( ) 2n 1 lg( 1 ) n ( )2
xn 2 x1 2 xn 2 2 2
n 1 n 1
(2 2)2 (2 2)2
xn 2 n 1 n 1
(2 2)2 (2 2)2
四、重点总结
熟练运用各种方法求数列的通项公式
五、强化训练
A 组
1. (2008 武大)在数列{an}中，a1 2,a
*
n 1 4an 3n 1,n N
（1）求证：数列{an n}是等比数列
（2）求数列{an}的前 n 项和 Sn
分析与解：（1）本题用待定系数法解较浪费时间，观察题目是个证明题，可以考虑从结论
反推。根据提示直接写出等式an 1 (n 1) 4(an n) ，即可得证。
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 a n 4n 1(a 1) a n 1n 1 n 4 n ， 用 分 组 求 和 可 求 得
4n 1 n(n 1)
Sn
3 2
2. (2003 交大)数列{an}满足：a1 1,a2 3,3an 2 2an 1 an，求an 和 lim an
n
分析与解：相邻三项型的递推公式，可以用特征根法来求通项
2 1 13t 2t 1 t1 1,t2 an s t ( )
n
3 3
1 5
s t 1 3
s
2 5 9 1 5
由 an ( )
n lim an
n
1 9 2 2 3 2s t 3 t
9 2
另解，可以观察3an 2 2an 1 an ，再等式两边同时加an 1，可得3an 2 an 1 3an 1 an
故{3an 1 an}是常值数列，可得3an 1 an 3a2 a1 10 ，用待定系数法可解得通项公式。
3. (2008 复旦){an}是正数列，其前n 项和为 Sn ，满足：对所有的正整数n ，an 和 2 的等差
S
中项等于 S 和 2 的等比中项，则 lim n
an
n （ ）
n 4n2
1 1
A.0 B.1 C. D.
2 4
a 2
分析与解：由题意得 n 2S (a 2)2 8S ，又 (an 1 2)
2 8S ，两式相减
n n n n 1
2
得8an (an 2)
2 (an 1 2)
2 (an an 1)(an an 1 4) 0，因为{an}是正数列，所以
an an 1 4 d 4，观察所求式子中最高次为二次，所以只要找二次项的系数即可，
d
S a
lim n n 2
1
，选 C
n 4n2 4 2
4. (2009复旦)设数列{an}，{bn}满足bn an an 1,n 1,2,3, ，如果a0 0,a1 1，且{bn}
S
是公比为 2 的等比数列，又设 S nn a1 a2 an ，则 lim （ ）
n an
1
A.0 B. C.1 D.2
2
分析与解：由已知，a n 1 n 1，累加法可得 n an 1 bn 2 (a2 a1) 2
2(1 2n 1) 2(1 2nn )an a1 2 1 Sn n 2 2
n n 2
1 2 1 2
易得所求极限为 2，选 D
100
5. (2001 交大)数列 1,3,2,…中，an 2 an 1 an ，则 a _____________ i
i 1
分析与解：形如an 2 an 1 an 的递推数列可由归纳法知其为周期为 6 的周期数列，故
100 4
ai ai 1 3 2 ( 1) 5
i 1 i 1
6. (2004 交大)已知数列{an}满足a1 1,a2 2,an 2 3an 1 2an ，则a2004 ___________
分析与解：用特征根法， t2 3t 2 t1 1,t2 2 an p q 2
n
p 0
a1 p 2q 1
a 2n 1 a 22003又 1 n 2004
a2 p 4q 2 q
2
7. (模拟题)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn 1，且
6S * ，求{a }的通项公式 n (an 1)(an 2),n N n
分析与解：由已知6Sn 1 (an 1 1)(an 1 2)，两式相减得
6an (a
2
n 3an 2) (a
2
n 1 3an 1 2) (an an 1 3)(an an 1) 0
因为{an}各项均为正数，故an an 1 3 an a1 3(n 1)
由6S1 (a1 1)(a1 2)及 Sn 1易得a1 2 an 3n 1
8. (2005 交大)已知月利率为 r，采用等额还款方式，若本金为 1 万元，试推导每月等额还款
金额 m 关于 r 的函数关系式（假设贷款时间为 2 年）
分析与解：方法一，用数列的递推公式来求解。用数列{an}表示第n 个月后的剩余本金，
m m
令 a0 1，则有an 1 an (1 r) m，用简单的待定系数法可得an 1 (1 r)(an )
r r
24
m
a (1 r)24
m r(1 r)
(a )，由a24 0 m 24 0
r r (1 r)
24 1
方法二，将每月还款看成对银行的存钱，利用到 2 年末存款总额因等于欠款总额来建立等式
求解。
23 22 1 (1 r)
24 (1 r)24 1
第二年末存款总额：m(1 r) m(1 r) m m m
1 (1 r) r
1 (1 r)24第二年末欠款总额：
(1 r)2424 1 r(1 r)
24
故 (1 r) m m
r (1 r)24 1
B 组
1. (2010 浙大)如图， y x 下有一系列正三角形，求第 n 个正三角形的边长an
分析与解：此题关键是找到联系an 和抛物线的关系式
由图，观察可得第 n 个正三角形的上顶点坐标应为
1 3
(a1 a2 an 1 an , an ) ，它在抛物线图像上，故
2 2
3 1 3 1
a 2n a1 a2 an 1 an an S a ，用退位n 1 n
2 2 4 2
相减法，化简易得
2 2
(an an 1)(an an 1 ) 0 an a1 (n 1)
3 3
2 2
由已知易得a1 an n
3 3
2x 1
2. (2007 交大)已知函数 f (x) ，对于n 1,2, ，定义 fn 1(x) f1( fn (x)) ，若1
x 1
f35(x) f5(x) ，则 f28(x) ______________
分析与解：由已知 f35(x) f5( f30 (x)) f30 (x) x
2 f28 (x) 12 1
f28 (x) 1 1又 f30 (x) f2 ( f28 (x)) x f28 (x) 2 f28 (x) 1 1 x 1
f28 (x) 1
3. (模拟题)已知数列{an}满足a1 p,a2 p 1,an 2 2an 1 an n 20，其中 p 是给定
的实数，n 是正整数，试求 n 的值，使得an 的值最小
分析与解：由原式得an 2 an 1 an 1 an n 20
令bn an 1 an ，则bn 1 bn n 20
n(n 1) n2 41n 1 41
用累加法可得bn b1 20(n 1) (a2 a1) 20 n
2 n 21
2 2 2 2 2
1 2 41 1 43an 1 an n n 21，即an a
2
n 1 n n 42
2 2 2 2
显然，当n 2时，an an 1 1，当3 n 40 时，an an 1 0，当n 41时，an an 1 0
又，当n 40时，an an 1 18，故使得an 的值最小的 n 的值为 40