北师版数学九年级上册同步训练《4.5 相似三角形判定定理的证明》
一、单选题
1．（2020·天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 测量建筑物的高度，已知标杆 高 ，测得 ， ，则建筑物 的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆 和建筑物CD均垂直于地面
∴BE//CD
∴△ABE∽△ACD
∴ ，即 ，解得CD=17.5m.
故答案为：A.
【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可.
2．（2020·天津）如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转得到 ，使点B的对应点E恰好落在边 上，点A的对应点为D，延长 交 于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由已知得：△ABC △DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项不符合题意；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF △ABC，则 ，
假设BC=EF，则有AE=AB，
由图显然可知AE AB，故假设BC=EF不成立，故B选项不符合题意；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项不符合题意；
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
3．（2020·潍坊）如图，点E是 的边 上的一点，且 ，连接 并延长交 的延长线于点F，若 ，则 的周长为（ ）
A．21 B．28 C．34 D．42
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，AB=CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∵ ，
∴AE=6，AB=8，
∴AD=AE+DE=6+3=9，
∴ 的周长为：（8+9）×2=34．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
4．（2020·海南）如图，在 中， 的平分线交 于点 交 的延长线于点 于点 ，若 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴AD∥BC，AB//DF
∴∠DAE=∠BEA
∵∠DAE=∠BAE
∴∠BAE=∠BEA
∴BE=AB=10，即EC=BC-BE=5
∵BG⊥AE
∴AG=EG= AE
∵在Rt△ABG中，AB=10，BG=8
∴
∴AE=2AG=12
∴△ABE的周长为AB+BE+AE=10+10+12=32
∵AB∥DF
∴△ABE∽△FCE且相似比为
∴ ，解得 =16.
故答案为A.
【分析】先根据平行四边形的性质说明△ABE是等腰三角形、求得BE、EC，再结合BG⊥AE，运用勾股定理求得AG，进一步求得AE和△ABE的周长，然后再说明△ABE∽△FCE且相似比为 ，最后根据相似三角形的周长之比等于相似比列方程求解即可.
5．（2021·迁西模拟）如图， 与 交于点 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ACB和△AED中， （已知），∠CAB=∠EAD
∴△ACB∽△AED
∴ 即 ，解得ED=3．
故答案为：B．
【分析】先求出△ACB∽△AED，再求出，最后计算求解即可。
6．（2021·佳木斯模拟）如图，面积为36的菱形 中， 为对角线的交点，点 在 上，且 ，过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形 的面积是36， 为对角线的交点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
7．（2021·黄岛模拟）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则DE的长度为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵在矩形ABCD中，GC＝4，CE＝3，∠C＝90°，
∴GE＝ ＝ ＝5，
根据折叠的性质：BG＝GF，GF＝GC＝4，
CE＝EF＝3，∠AGB＝∠AGF，
∠EGC＝∠EGF，∠GFE＝∠C＝90°，
∠B＝∠AFG＝90°，
∴BG＝GF＝GC＝4，∠AFG＋∠EFG＝180°，
∴BC＝AD＝8，点A，点F，点E三点共线，
∵∠AGB＋∠AGF＋∠EGC＋∠EGF＝180°，
∴∠AGE＝90°，
∴Rt△EGF∽Rt△EAG，
∴ ，
即 ，
∴AE＝ ，
∴DE＝ ＝ ．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求出GE=5，根据折叠的性质及矩形的性质求出BC＝AD＝8，证明Rt△EGF∽Rt△EAG，可得，据此求出AE的长，利用勾股定理求出DE的长即可.
8．（2021·临清模拟）如图，在平行四边形 中，F是 上一点，且 ，连结 并延长交 的延长线于点G，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意，
∵四边形 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△DGF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CGE，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】由四边形 是平行四边形，可证出△ABF∽△DGF，再利用平行线分线段成比例的了即可解决问题。
9．（2020·眉山）如图，正方形 中，点F是 边上一点，连接 ，以 为对角线作正方形 ，边 与正方形 的对角线 相交于点H，连接 ．以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG
∴∠EAB=∠GAD
∴①符合题意
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴AD=DC，AG=FG
∴AC= AD，AF= AG
∴ ，
即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC
∴∠DAG=∠CAF
∴
∴②符合题意
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线
∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF
∴△HAF∽△FAC
∴
即
又∵AF= AE
∴
∴③符合题意
④由②知
又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线
∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上
∴DG⊥AC
∴④符合题意
故答案为：D．
【分析】 ① 根据正方形的性质得出∠EAB=∠GAD； ②由正方形的性质 ， ∠DAG=∠CAF，得出； ③ 正方形的性质得出△HAF∽△FAC，，得出，进而得出。④由，∠ADG=∠ACF=45°，DG在正方形另外一条对角线上，即DG⊥AC。
10．（2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ABC的三边之比为 ，
如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，
故答案为：C.
【分析】根据题意，得出 ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与 ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来.
二、填空题
11．（2021·合肥模拟）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为 ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵BC＝2，点D是边BC的中点，
∴BD＝CD＝1，
∵∠ABC＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴AC∶CD＝BC∶AC，
∴AC2＝BC×CD＝2×1＝2，
∴AC＝ ，
∴AD＝ ＝ ＝ ，
由折叠的性质得：ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，
∴BD＝ED，
作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，
∴∠BDF＋∠ADC＝ ×180°＝90°，
∵∠ADC＋∠DAC＝90°，
∴∠BDF＝∠DAC，
又∵∠DFB＝∠C＝90°，
∴△BDF∽△DAC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BF＝ ，
∴BE＝2BF＝ ；
故答案为： ．
【分析】先证明△ABC∽△DAC，得出AC2＝BC×CD＝2×1＝2，AC＝ ，由勾股定理得出AD＝ ，由折叠的性质得ED=CD=1，∠ADE=∠ADC，得出BD=ED，作DF⊥BE于F，则BF=EF，∠BDF=∠EDF，证明△BDF∽△DAC，求出BF=，即可得出答案。
12．（2021·南岗模拟）如图，点O是正方形ABCD的中心，点E在BC上，连接AE，过点O作FG⊥AE于点H，FG分别交AB，CD于点F，G，若AE＝13，DG＝ ，则FH的长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接AC，过G作GM⊥AB于M，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴AO＝CO，AB∥CD，
∴∠FAO＝∠GCO，AB＝CD，∠BAD＝∠B＝∠D，
∴四边形ADGM是矩形，
∴GM＝AD＝AB，AM＝DG＝ ，
在△AFO和△CGO中，
，
∴△AFO≌△CGO（ASA），
∴AF＝CG，
∴BF＝DG＝ ，
∵FG⊥AE，
∴∠BAE＝∠MGF＝90°﹣∠AFH，
在△ABE和△GMF中，
，
∴△ABE≌△GMF（ASA），
∴BE＝MF，
设BE＝MF＝x，
则AB＝AM＋BF＋MF＝7＋x，
∵AB2＋BE2＝AE2，
∴（7＋x）2＋x2＝132，
解得：x＝5，或x＝﹣12（不合题意舍去），
∴FM＝BE＝5，
∴AB＝12，AF＝ ，
∵∠AHF＝∠B＝90°，∠FAH＝∠BAE，
∴△AFH∽△AEB，
∴ ，
∴ ，
∴FH＝ ，
故答案为： ．
【分析】先证明△AFO≌△CGO，再证明△AFH∽△AEB，最后求解即可。
13．（2021·大理模拟）已知：如图，在三角形 中， ， 边 上的高， ， ，则
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ， 边 上的高，
∴ ，
∴∠B+∠BCD=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴ ，
∴BD：CD=CD=AD，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】根据题意证明△BCD∽△CAD，继而由相似三角形的性质，求出答案即可。
14．（2021·恩平模拟）如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，∠BAE+∠DAF=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，∠FAD+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠FDA，
∴△ABE∽△DFA，
∴ ，
由题意，AD=BC=4，AB=6，
∵E为BC的中点，
∴BE=2，
在Rt△ABE中， ，
∴ ，
∴解得： ，
故答案为： ．
【分析】由四边形ABCD为矩形，得出∠B=∠BAD=90°，∠BAE+∠DAF=90°，由此证出△ABE∽△DFA，得出，由E为BC的中点，在Rt△ABE中，即可得出 的长。
15．（2021·云梦模拟）如图，在四边形 中，连接 ， ， ， .若 ， ，则 .
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：过点C作BD垂线，垂足为E，
在 中， ，
，
设BE为x，DE为y，
则根据勾股定理可得： ，
即： ，
， ，
，
，
，
，即 ；
根据 ，
解得： ，
则 ，
故答案为： .
【分析】过点C作BD垂线，垂足为E，易得CE=DE，设BE=x，DE=y，由勾股定理可得x2+y2=102，证明△ABD∽△BCE，由相似三角形的性质可得，联立求解就可得到x、y的值，进而求得BD.
16．（2021·丽水模拟）如图，将三角形纸片(△ABC)进行折叠，使点B落在边AC上，记为点D，折痕为EF。已知AB=AC=3，BC=4，若以点A，E，D为顶点的三角形与△ABC相似，则BE= 。
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设BE=x，则AE=3-x，
由折叠可得BE=DE=x，
∵AB=AC=3，
∴∠B=∠C，
当∠AED=∠B时，则△AED∽△ABC，
∴，
∴，
解得；
当∠ADE=∠B时，则△ADE∽△ABC，
∴，
∵AB=AC=3，
∴，
故填：.
【分析】设BE=x，则AE=3-x，运用折叠即可得BE=DE=x，由题意得以点A，E，D为顶点的三角形与△ABC相似，所以要进行分类讨论，分别是△AED∽△ABC，△ADE∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例即可求出BE的长.
三、解答题
17．（2020·上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF．
【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CD AB．
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE．
∵CD BH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH．
（2）∵BE2=AB AE，
∴ = ，
∵AG BC，
∴ = ，
∴ = ，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2) 由BE2=AB AE，得到 = ，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到 = ，再结合已知条件即可求解．
18．（2021·光明模拟）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点O．过点O作 的垂线，交 延长线于点E，交 于F，交 于点N，若 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的长．
【答案】（1）证明：（1）如图所示；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO=OC，BO=OD，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AOF与△CON中，
，
∴△AOF≌△CON（ASA），
∴OF=ON，
∵EF=OF，
∴EF= EN；
（2）∵EF⊥BD，
∴∠BON=90°，
∵∠OBN=30°，BO= BD= ，
∴BN= ，
∵AF∥BN，
∴△EAF∽△EBN，
∴ ，
∴ ，
∴AF=2．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由“ASA”可得△AOF≌△CON，可得OF=ON，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质可求BN=6，通过证明△EAF∽△EBN，可得，即可求解。
19．（2020·苏州）如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵ ， 是 的中点，
∴ .
∴在 中， .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得， ， .再根据“两直线平行，内错角相等”可得 ，再由垂直的定义可得 .从而得出 ，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
（2）根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
20．（2020·南通）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE.
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长.
【答案】（1）解：如图①中，取DE的中点M，连接PM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴ ，
∴ .
（2）解：如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H.则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴ ，
∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得：x＝ （负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣ ＝ ，
在Rt△EGP中，GP＝ ，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴ ，
∴ ，
∴BF＝3.
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM.证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H.设EG=x，则BG=4-x.证明△EGP∽△PHD，推出 ，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可.
21．（2020·淮安）
（1）（初步尝试）
如图①，在三角形纸片 中， ，将 折叠，使点B与点C重合，折痕为 ，则 与 的数量关系为 ；
（2）（思考说理）
如图②，在三角形纸片 中， ， ，将 折叠，使点B与点C重合，折痕为 ，求 的值.
（3）如图③，在三角形纸片 中， ， ， ，将 沿过顶点 的直线折叠，使点B落在边 上的点 处，折痕为 .
①求线段 的长；
②若点O是边 的中点，点P为线段 上的一个动点，将 沿 折叠得到 ，点A的对应点为点 ， 与 交于点F，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）解：
由折叠的性质得：
，即
在 和 中，
，即
解得
；
（拓展延伸）
（3）解：①由折叠的性质得：
，即
在 和 中，
，即
解得
解得 ；
②如图，由折叠的性质可知， ， ，
点O是边 的中点
设 ，则
点P为线段 上的一个动点
，其中当点P与点 重合时， ；当点P与点O重合时，
，即
在 和 中，
则 .
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） ，理由如下：
由折叠的性质得：
是 的中位线
点M是AB的中点
则
故答案为： ；
【分析】（1）先根据折叠的性质可得 ，再根据平行线的判定可得 ，然后根据三角形中位线的判定与性质即可得；
（2）先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据折叠的性质可得 ，从而可得 ，然后根据相似三角形的判定与性质可得 ，从而可求出BM的长，最后根据线段的和差可得AM的长，由此即可得出答案；
（3）①先根据折叠的性质可得∠BCM=∠ACM=∠ACB，从而可得 ∠BCM=∠ACM=∠A，再根据等腰三角形的定义可得AM=CM， 然后根据相似三角形的判定与性质可得 ，从而可得BM、AM、CM的长，最后代入求解即可得；②先根据折叠的性质、线段的和差求出AB'，OB' 的长，5设B'P=x 从而可得 ，再根据相似三角形的判定与性质可得 ，然后根据x的取值范围即可得.
22．（2020·海南）四边形 是边长为 的正方形， 是 的中点，连结 ，点 是射线 上一动点(不与点 重合)，连结 ，交 于点 .
（1）如图1，当点 是 边的中点时，求证： ；
（2）如图2，当点 与点 重合时，求 的长；
（3）在点 运动的过程中，当线段 为何值时， ？请说明理由.
【答案】（1）证明： 四边形 是正方形，
，
点 分别是 的中点，
，
，
.
（2）在正方形 中， ，
，
，
，
，
即 ，
.
故答案为： .
（3）当 时， .理由如下：
由(2)知，当点 与 重合(即 )时，
，
点 应在 的延长线上(即 )，
如图所示，设 交 于点 ，
若使 ，
则有 ，
，
又 ，
，
，
在 中， ，
即 ，
，
，
，
，
，
即 ，
∴ ，
∴当 时， .
故答案为： .
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得到AB=AD，再由E、F分别是AB、BC的中点即可证明 ；(2)证明 ，然后再根据对应边成比例即可求出AG；(3)先证明DM=MG，然后在Rt△ADM中由勾股定理求出DM，进而求出CM，再证明 ，根据对应边成比例即可求出BF.
1 / 1北师版数学九年级上册同步训练《4.5 相似三角形判定定理的证明》
一、单选题
1．（2020·天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 测量建筑物的高度，已知标杆 高 ，测得 ， ，则建筑物 的高是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·天津）如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转得到 ，使点B的对应点E恰好落在边 上，点A的对应点为D，延长 交 于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·潍坊）如图，点E是 的边 上的一点，且 ，连接 并延长交 的延长线于点F，若 ，则 的周长为（ ）
A．21 B．28 C．34 D．42
4．（2020·海南）如图，在 中， 的平分线交 于点 交 的延长线于点 于点 ，若 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·迁西模拟）如图， 与 交于点 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
6．（2021·佳木斯模拟）如图，面积为36的菱形 中， 为对角线的交点，点 在 上，且 ，过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2021·黄岛模拟）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则DE的长度为（ ）
A． B． C．3 D．
8．（2021·临清模拟）如图，在平行四边形 中，F是 上一点，且 ，连结 并延长交 的延长线于点G，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·眉山）如图，正方形 中，点F是 边上一点，连接 ，以 为对角线作正方形 ，边 与正方形 的对角线 相交于点H，连接 ．以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题
11．（2021·合肥模拟）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为 ．
12．（2021·南岗模拟）如图，点O是正方形ABCD的中心，点E在BC上，连接AE，过点O作FG⊥AE于点H，FG分别交AB，CD于点F，G，若AE＝13，DG＝ ，则FH的长为 ．
13．（2021·大理模拟）已知：如图，在三角形 中， ， 边 上的高， ， ，则
14．（2021·恩平模拟）如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F．若 ， ，则 的长为 ．
15．（2021·云梦模拟）如图，在四边形 中，连接 ， ， ， .若 ， ，则 .
16．（2021·丽水模拟）如图，将三角形纸片(△ABC)进行折叠，使点B落在边AC上，记为点D，折痕为EF。已知AB=AC=3，BC=4，若以点A，E，D为顶点的三角形与△ABC相似，则BE= 。
三、解答题
17．（2020·上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF．
18．（2021·光明模拟）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点O．过点O作 的垂线，交 延长线于点E，交 于F，交 于点N，若 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的长．
19．（2020·苏州）如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
20．（2020·南通）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE.
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长.
21．（2020·淮安）
（1）（初步尝试）
如图①，在三角形纸片 中， ，将 折叠，使点B与点C重合，折痕为 ，则 与 的数量关系为 ；
（2）（思考说理）
如图②，在三角形纸片 中， ， ，将 折叠，使点B与点C重合，折痕为 ，求 的值.
（3）如图③，在三角形纸片 中， ， ， ，将 沿过顶点 的直线折叠，使点B落在边 上的点 处，折痕为 .
①求线段 的长；
②若点O是边 的中点，点P为线段 上的一个动点，将 沿 折叠得到 ，点A的对应点为点 ， 与 交于点F，求 的取值范围.
22．（2020·海南）四边形 是边长为 的正方形， 是 的中点，连结 ，点 是射线 上一动点(不与点 重合)，连结 ，交 于点 .
（1）如图1，当点 是 边的中点时，求证： ；
（2）如图2，当点 与点 重合时，求 的长；
（3）在点 运动的过程中，当线段 为何值时， ？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆 和建筑物CD均垂直于地面
∴BE//CD
∴△ABE∽△ACD
∴ ，即 ，解得CD=17.5m.
故答案为：A.
【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可.
2．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由已知得：△ABC △DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项不符合题意；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF △ABC，则 ，
假设BC=EF，则有AE=AB，
由图显然可知AE AB，故假设BC=EF不成立，故B选项不符合题意；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项不符合题意；
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，AB=CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∵ ，
∴AE=6，AB=8，
∴AD=AE+DE=6+3=9，
∴ 的周长为：（8+9）×2=34．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴AD∥BC，AB//DF
∴∠DAE=∠BEA
∵∠DAE=∠BAE
∴∠BAE=∠BEA
∴BE=AB=10，即EC=BC-BE=5
∵BG⊥AE
∴AG=EG= AE
∵在Rt△ABG中，AB=10，BG=8
∴
∴AE=2AG=12
∴△ABE的周长为AB+BE+AE=10+10+12=32
∵AB∥DF
∴△ABE∽△FCE且相似比为
∴ ，解得 =16.
故答案为A.
【分析】先根据平行四边形的性质说明△ABE是等腰三角形、求得BE、EC，再结合BG⊥AE，运用勾股定理求得AG，进一步求得AE和△ABE的周长，然后再说明△ABE∽△FCE且相似比为 ，最后根据相似三角形的周长之比等于相似比列方程求解即可.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ACB和△AED中， （已知），∠CAB=∠EAD
∴△ACB∽△AED
∴ 即 ，解得ED=3．
故答案为：B．
【分析】先求出△ACB∽△AED，再求出，最后计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形 的面积是36， 为对角线的交点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵在矩形ABCD中，GC＝4，CE＝3，∠C＝90°，
∴GE＝ ＝ ＝5，
根据折叠的性质：BG＝GF，GF＝GC＝4，
CE＝EF＝3，∠AGB＝∠AGF，
∠EGC＝∠EGF，∠GFE＝∠C＝90°，
∠B＝∠AFG＝90°，
∴BG＝GF＝GC＝4，∠AFG＋∠EFG＝180°，
∴BC＝AD＝8，点A，点F，点E三点共线，
∵∠AGB＋∠AGF＋∠EGC＋∠EGF＝180°，
∴∠AGE＝90°，
∴Rt△EGF∽Rt△EAG，
∴ ，
即 ，
∴AE＝ ，
∴DE＝ ＝ ．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求出GE=5，根据折叠的性质及矩形的性质求出BC＝AD＝8，证明Rt△EGF∽Rt△EAG，可得，据此求出AE的长，利用勾股定理求出DE的长即可.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意，
∵四边形 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△DGF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CGE，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】由四边形 是平行四边形，可证出△ABF∽△DGF，再利用平行线分线段成比例的了即可解决问题。
9．【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG
∴∠EAB=∠GAD
∴①符合题意
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴AD=DC，AG=FG
∴AC= AD，AF= AG
∴ ，
即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC
∴∠DAG=∠CAF
∴
∴②符合题意
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线
∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF
∴△HAF∽△FAC
∴
即
又∵AF= AE
∴
∴③符合题意
④由②知
又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线
∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上
∴DG⊥AC
∴④符合题意
故答案为：D．
【分析】 ① 根据正方形的性质得出∠EAB=∠GAD； ②由正方形的性质 ， ∠DAG=∠CAF，得出； ③ 正方形的性质得出△HAF∽△FAC，，得出，进而得出。④由，∠ADG=∠ACF=45°，DG在正方形另外一条对角线上，即DG⊥AC。
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ABC的三边之比为 ，
如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，
故答案为：C.
【分析】根据题意，得出 ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与 ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来.
11．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵BC＝2，点D是边BC的中点，
∴BD＝CD＝1，
∵∠ABC＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴AC∶CD＝BC∶AC，
∴AC2＝BC×CD＝2×1＝2，
∴AC＝ ，
∴AD＝ ＝ ＝ ，
由折叠的性质得：ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，
∴BD＝ED，
作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，
∴∠BDF＋∠ADC＝ ×180°＝90°，
∵∠ADC＋∠DAC＝90°，
∴∠BDF＝∠DAC，
又∵∠DFB＝∠C＝90°，
∴△BDF∽△DAC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BF＝ ，
∴BE＝2BF＝ ；
故答案为： ．
【分析】先证明△ABC∽△DAC，得出AC2＝BC×CD＝2×1＝2，AC＝ ，由勾股定理得出AD＝ ，由折叠的性质得ED=CD=1，∠ADE=∠ADC，得出BD=ED，作DF⊥BE于F，则BF=EF，∠BDF=∠EDF，证明△BDF∽△DAC，求出BF=，即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接AC，过G作GM⊥AB于M，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴AO＝CO，AB∥CD，
∴∠FAO＝∠GCO，AB＝CD，∠BAD＝∠B＝∠D，
∴四边形ADGM是矩形，
∴GM＝AD＝AB，AM＝DG＝ ，
在△AFO和△CGO中，
，
∴△AFO≌△CGO（ASA），
∴AF＝CG，
∴BF＝DG＝ ，
∵FG⊥AE，
∴∠BAE＝∠MGF＝90°﹣∠AFH，
在△ABE和△GMF中，
，
∴△ABE≌△GMF（ASA），
∴BE＝MF，
设BE＝MF＝x，
则AB＝AM＋BF＋MF＝7＋x，
∵AB2＋BE2＝AE2，
∴（7＋x）2＋x2＝132，
解得：x＝5，或x＝﹣12（不合题意舍去），
∴FM＝BE＝5，
∴AB＝12，AF＝ ，
∵∠AHF＝∠B＝90°，∠FAH＝∠BAE，
∴△AFH∽△AEB，
∴ ，
∴ ，
∴FH＝ ，
故答案为： ．
【分析】先证明△AFO≌△CGO，再证明△AFH∽△AEB，最后求解即可。
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ， 边 上的高，
∴ ，
∴∠B+∠BCD=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴ ，
∴BD：CD=CD=AD，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】根据题意证明△BCD∽△CAD，继而由相似三角形的性质，求出答案即可。
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，∠BAE+∠DAF=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，∠FAD+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠FDA，
∴△ABE∽△DFA，
∴ ，
由题意，AD=BC=4，AB=6，
∵E为BC的中点，
∴BE=2，
在Rt△ABE中， ，
∴ ，
∴解得： ，
故答案为： ．
【分析】由四边形ABCD为矩形，得出∠B=∠BAD=90°，∠BAE+∠DAF=90°，由此证出△ABE∽△DFA，得出，由E为BC的中点，在Rt△ABE中，即可得出 的长。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：过点C作BD垂线，垂足为E，
在 中， ，
，
设BE为x，DE为y，
则根据勾股定理可得： ，
即： ，
， ，
，
，
，
，即 ；
根据 ，
解得： ，
则 ，
故答案为： .
【分析】过点C作BD垂线，垂足为E，易得CE=DE，设BE=x，DE=y，由勾股定理可得x2+y2=102，证明△ABD∽△BCE，由相似三角形的性质可得，联立求解就可得到x、y的值，进而求得BD.
16．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设BE=x，则AE=3-x，
由折叠可得BE=DE=x，
∵AB=AC=3，
∴∠B=∠C，
当∠AED=∠B时，则△AED∽△ABC，
∴，
∴，
解得；
当∠ADE=∠B时，则△ADE∽△ABC，
∴，
∵AB=AC=3，
∴，
故填：.
【分析】设BE=x，则AE=3-x，运用折叠即可得BE=DE=x，由题意得以点A，E，D为顶点的三角形与△ABC相似，所以要进行分类讨论，分别是△AED∽△ABC，△ADE∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例即可求出BE的长.
17．【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CD AB．
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE．
∵CD BH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH．
（2）∵BE2=AB AE，
∴ = ，
∵AG BC，
∴ = ，
∴ = ，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2) 由BE2=AB AE，得到 = ，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到 = ，再结合已知条件即可求解．
18．【答案】（1）证明：（1）如图所示；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO=OC，BO=OD，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AOF与△CON中，
，
∴△AOF≌△CON（ASA），
∴OF=ON，
∵EF=OF，
∴EF= EN；
（2）∵EF⊥BD，
∴∠BON=90°，
∵∠OBN=30°，BO= BD= ，
∴BN= ，
∵AF∥BN，
∴△EAF∽△EBN，
∴ ，
∴ ，
∴AF=2．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由“ASA”可得△AOF≌△CON，可得OF=ON，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质可求BN=6，通过证明△EAF∽△EBN，可得，即可求解。
19．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵ ， 是 的中点，
∴ .
∴在 中， .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得， ， .再根据“两直线平行，内错角相等”可得 ，再由垂直的定义可得 .从而得出 ，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
（2）根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
20．【答案】（1）解：如图①中，取DE的中点M，连接PM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴ ，
∴ .
（2）解：如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H.则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴ ，
∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得：x＝ （负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣ ＝ ，
在Rt△EGP中，GP＝ ，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴ ，
∴ ，
∴BF＝3.
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM.证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H.设EG=x，则BG=4-x.证明△EGP∽△PHD，推出 ，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可.
21．【答案】（1）
（2）解：
由折叠的性质得：
，即
在 和 中，
，即
解得
；
（拓展延伸）
（3）解：①由折叠的性质得：
，即
在 和 中，
，即
解得
解得 ；
②如图，由折叠的性质可知， ， ，
点O是边 的中点
设 ，则
点P为线段 上的一个动点
，其中当点P与点 重合时， ；当点P与点O重合时，
，即
在 和 中，
则 .
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） ，理由如下：
由折叠的性质得：
是 的中位线
点M是AB的中点
则
故答案为： ；
【分析】（1）先根据折叠的性质可得 ，再根据平行线的判定可得 ，然后根据三角形中位线的判定与性质即可得；
（2）先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据折叠的性质可得 ，从而可得 ，然后根据相似三角形的判定与性质可得 ，从而可求出BM的长，最后根据线段的和差可得AM的长，由此即可得出答案；
（3）①先根据折叠的性质可得∠BCM=∠ACM=∠ACB，从而可得 ∠BCM=∠ACM=∠A，再根据等腰三角形的定义可得AM=CM， 然后根据相似三角形的判定与性质可得 ，从而可得BM、AM、CM的长，最后代入求解即可得；②先根据折叠的性质、线段的和差求出AB'，OB' 的长，5设B'P=x 从而可得 ，再根据相似三角形的判定与性质可得 ，然后根据x的取值范围即可得.
22．【答案】（1）证明： 四边形 是正方形，
，
点 分别是 的中点，
，
，
.
（2）在正方形 中， ，
，
，
，
，
即 ，
.
故答案为： .
（3）当 时， .理由如下：
由(2)知，当点 与 重合(即 )时，
，
点 应在 的延长线上(即 )，
如图所示，设 交 于点 ，
若使 ，
则有 ，
，
又 ，
，
，
在 中， ，
即 ，
，
，
，
，
，
即 ，
∴ ，
∴当 时， .
故答案为： .
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得到AB=AD，再由E、F分别是AB、BC的中点即可证明 ；(2)证明 ，然后再根据对应边成比例即可求出AG；(3)先证明DM=MG，然后在Rt△ADM中由勾股定理求出DM，进而求出CM，再证明 ，根据对应边成比例即可求出BF.
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