湘教版数学九年级上册同步训练《5.2 统计的简单应用》
一、单选题
1．（2021·温州）如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图.若大学生有60人，则初中生有（ ）
某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图
A．45人 B．75人 C．120人 D．300人
【答案】C
【知识点】频数与频率；扇形统计图
【解析】【解答】解：总人数= =300（人）；
=120（人），
故答案为：C.
【分析】先根据大学生的人数和比例求出参观总人数，再用总人数乘以初中生的比例即可求出结果.
2．（2021·乐山）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）.
类型 健康 亚健康 不健康
数据（人） 32 7 1
A．32 B．7 C． D．
【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意，得测试结果为“健康”的频率是
故答案为：D.
【分析】利用健康的人数除以抽取的人数，列式计算即可.
3．（2021·龙湾模拟）如图是九（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）.由图可知，每周课外阅读时间不少于6小时的人数是（ ）
A．6人 B．8人 C．14人 D．36人
【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由频数直方图可得阅读时间6至8小时的有8人，8至10小时的有6人，
每周课外阅读时间不少于6小时的人数=8+6=14人.
故答案为：C.
【分析】根据频数直方图可知，阅读时间6至8小时的有8人，8至10小时的有6人，然后相加即可.
4．（2021·海淀模拟）某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t（分钟），数据分成6组： ， ， ， ， ，如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是（ ）
A．此时段有1桌顾客等位时间是40分钟
B．此时段平均等位时间小于20分钟
C．此时段等位时间的中位数可能是27
D．此时段有6桌顾客可享受优惠
【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】由题意和统计图可知此时段有1桌顾客等位时间是35-40分钟，不能说明一定是40分钟．故A不符合题意；
此时段平均等位时间 ，故B不符合题意；
由于共统计了35人，所以中位数落在区间是20-25分钟的时间段．故C不符合题意；
由等位时间是30分钟以上的人数为5+1=6人，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】观察频数分布直方图，获取信息，再逐一进行判断即可。
5．（2019·泰安）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论错误的是（ ）
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2
【答案】D
【知识点】频数（率）分布折线图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是
方差是
故答案为：D
【分析】根据折线统计图得到每次对应的环数，计算这组数据的众数、中位数、平均数、方差进行判断。
6．（2021·朝阳模拟）为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下：
每周课外阅读时间x（小时） 0≤x＜2 2≤x＜4 4≤x＜6 6≤x＜8 x≥8 合计
频数 8 17 b 15 a
频率 0.08 0.17 c 0.15 1
表中4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35．下面有四个推断：
①表中a的值为100；②表中c的值可以为0.31；③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间；④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【知识点】频数（率）分布表；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：①8÷0.08=100，故表中a的值为100,是合理推断；
②25÷100=0.25，35÷100=0.35，
1-0.08-0.17-0.35-0.15=0.25，1-0.08-0.17-0.25-0.15=0.35，
故表中c的值为0.25≤c≤0.35，表中c的值可以为0.31，是合理推断；
③表中4≤x<6组的频数b满足25≤b≤35，
∴8+17+25=50,8+17+35=60，
∴这100名学生每周课外阅读时间的中位数可能在4~6之间,也可能在6~8之间，故此推断不是合理推断；
④这a名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过6，故此推断不是合理推断．
故答案为：A．
【分析】①根据数据的总和=频数÷频率，列式计算可求出a值；② 根据4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35 ，可求出该范围的频数，进一步得到c的范围，从而求解；③根据中位数的定义求解即可；
使利用加权平均数的公式求出结果，然判断即可.
7．（2021·平阳模拟）某校九年级学生中考体育选考项目组合情况的统计图如图所示，若九年级学生共有400人，则选择跳远、游泳、篮球项目组合的有（ ）
A．60人 B．80人 C．120人 D．140人
【答案】B
【知识点】频数与频率；扇形统计图
【解析】【解答】解：∵400×20％=80（人）
∴跳远、游泳、篮球项目组合的人数约为80人.
故答案为：B.
【分析】根据“跳远、游泳、篮球项目组合的人数=九年级的学生数×跳远、游泳、篮球项目组合的频率”计算即可.
8．（2020·新疆模拟）某校学生会主席竞选中，参与投票的学生必须从进入决赛的四名选手中选1名，且只能选1名进行投票，根据投票结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，则选手B的得票数为（ ）
A．80 B．90 C．100 D．400
【答案】C
【知识点】频数与频率；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：调查总人数：140÷35%=400（人），C选手的票数：400×30%=120（票），
B选手的得票：400-140-120-40=100（票）；
故答案为：C.
【分析】根据A选手的票数和所占的百分比求出票数，再用总票数乘以C所占的百分比，求出C选手的票数，最后再用总票数减去A、C、D选手的票数，即可求出B的得票数.
9．（2019·黄陂模拟）据统计，我市今年十一月份日平均气温的分布情况如下表：
平均气温（℃） 13 14 15 16 17
天数 3 7 3 9 8
其中频数最高的气温（℃）是（ ）
A．17 B．16 C．15 D．14
【答案】B
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】由表格中数据可得：频数最高的气温（℃）是：16℃，出现9次.
故答案为：B.
【分析】根据频数的定义结合表格中数据进而得出答案.
10．某校测量了初三 班学生的身高（精确到 ），按 为一段进行分组，得到如下频数分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．该班人数最多的身高段的学生数为 人
B．该班身高低于 的学生数为 人
C．该班身高最高段的学生数为 人
D．该班身高最高段的学生数为 人
【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：A、该班人数最多的身高段的学生数为20人，故A不符合题意；
B、该班身高低于 160.5cm 的学生数为20人，故B不符合题意；
C、该班身高最高段的学生数为7人，故C不符合题意；
D、该班身高最高段的学生数为7人，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】由频数分布直方图可以得到相关信息：该班人数最多的身高段的学生数为20人；该班身高低于 160.5cm 的学生数为20人；该班身高最高段的学生数为7人，即可得出答案。
二、填空题
11．（2021·集美模拟） 2021年春季各校采取年段错峰用餐，某校为了了解学生在校午餐所需时间，抽取20名学生在校用餐时间，并绘制成频数分布直方图（如图），根据图象信息，预估该校学生平均用餐时间是 分钟.
【答案】17.6
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由频数直方图可知：各组的组中值分别是：10，14，18，22，26，
（分钟），
故答案是：17.6.
【分析】先求出各个组的组中值，再根据加权平均数的计算方法计算样本平均数，用样本平均数估计总体平均数即可.
12．（2021·龙港模拟）某城市抽查一些家庭每月水电费的开支（单位：元），得到如图所示的频数直方图（每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），则抽查到的家庭每月开支在225元及以上的有 人.
【答案】11
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】抽查到的家庭每月开支在225元及以上的有：7+3+1＝11（人）.
故答案为：11.
【分析】根据频数直方图可知每月开支在225元及以上的有：7+3+1＝11人
13．（2020·通州模拟）某班甲、乙、丙三名同学20天的体温数据记录如下表：
甲的体温 乙的体温 丙的体温
温度（℃） 36.1 36.4 36.5 36.8 温度（℃） 36.1 36.4 36.5 36.8 温度（℃） 36.1 36.4 36.5 36.8
频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4
则在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是 ．
【答案】丙
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：甲的平均数为： ×(36.1×5+36.4×5+36.5×5+36.8×5)=36.45；
乙的平均数为： ×(36.1×6+36.4×4+36.5×4+36.8×6)=36.45；
丙的平均数为： ×(36.1×4+36.4×6+36.5×6+36.8×4)=36.45；
甲的方差为：
×[5×(36.1-36.45)2+5×(36.4-36.45)2+5×(36.5-36.45)2+5×(36.8-36.45)2]=0.0625；
乙的方差为：
×[6×(36.1-36.45)2+4×(36.4-36.45)2+4×(36.5-36.45)2+6×（36.8-36.45）2]=0.0745；
丙的方差为：
×[4×(36.1-36.45)2+6×(36.4-36.45)2+6×(36.5-36.45)2+4×(36.8-36.45)2]=0.0505；
∵0.0505＜0.0625＜0.0745，
∴在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是丙，
故答案为：丙．
【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案。
14．（2020·硚口模拟）某班同学进行数学测试，将所得成绩（整数）进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图，则这次成绩的中位数落在 这一分数段内（填具体分数）.
【答案】70.5～80.5
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】由频数分布直方图得：成绩在 的人数为4，成绩在 的人数为10，成绩在 的人数为18，成绩在 的人数为12，成绩在 的人数为6
则该班同学的总人数为
由中位数的定义得：这次成绩按从小到大进行排序后，其中位数为第25个数与第26个数的平均数
这次成绩的中位数落在 这一分数段内
故答案为： .
【分析】先根据频数分布直方图得出各组的人数，再根据中位数的定义即可得.
15．（2019·云南）某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为40人，每个班的考试成绩分为A、B、C、D、E五个等级，绘制的统计图如下：
根据以上统计图提供的信息，则D等级这一组人数较多的班是
【答案】甲班
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：由频数分布直方图知甲班成绩为D等级的人数为13人，
由扇形统计图知乙班成绩为D等级的人数为40×30%=12，
∴D等级较多的人数是甲班。
故答案为：甲班。
【分析】根据频数分布直方图可知：甲班D等级的人数是13人，根据扇形统计图可知：乙班成绩为D等级的人数所占的百分比是30%，用乙班的总人数乘以乙班成绩为D等级的人数所占的百分比即可算出乙班D等级的人数，再比大小即可。
16．（2018·青羊模拟）今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是
【答案】6000
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由题意，得：4800÷40%=12000，公交12000×50%=6000，故答案为：6000．
【分析】因为样本容量=频数÷百分数，所以根据自驾的频数和百分数可求得样本容量，再根据频数=样本容量百分数可求解。
三、解答题
17．（2019·北京模拟）某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．
（1）按如下分数段整理、描述这两组数据：
成绩x 学生 70≤x≤74 75≤x≤79 80≤x≤84 85≤x≤89 90≤x≤94 95≤x≤100
甲
乙 1 1 4 2 1 1
（2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生 极差 平均数 中位数 众数 方差
甲
83.7
86 13.21
乙 24 83.7 82
46.21
（3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选谁（填“甲”或“乙），理由是什么．
【答案】（1）由图可得：甲组数据中落在各分数段的次数分别为：0，1，4，5，0，0．
故答案为：0，1，4，5，0，0；
（2）甲组数据的极差 ，甲组数据排序后，最中间的两个数据为：84和85，故中位数 ，乙组数据中出现次数最多的数据为81，故众数为81．
故答案为：14，84.5，81；
（3）选甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定；两人的平均数相同且甲的极差小于乙，说明甲成绩变化范围小．
或：选乙，理由：在 的分数段中，乙的次数大于甲．（答案不唯一，理由须支撑推断结论）
故答案为：甲，两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定．
【知识点】频数（率）分布折线图；平均数及其计算；中位数；方差；众数；极差
【解析】【分析】（1）根据折线图对应看图填表。
（2）根据极差、中位数，以及众数的概念，从给出的数据中做答。
（3）连接方差、众数的含义，只要理由和选择相互成立即可。
18．（2021·娄底）“读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径.学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A文史类、B科普类、C生活类、D其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了如下不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：
统计表：
频数 频率
A历史类 50 m
B科普类 90 0.45
C生活类 n 0.20
D其它 20 0.10
合计
（1）本次调查的学生共 人；
（2） ， ；
（3）补全条形统计图.
【答案】（1）200
（2）0.25；40
（3）解：补全直方图如图所示：
.
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生有：90÷0.45=200（名），
故答案是：200；
（2）m=50÷200=0.25，n=200×0.2=40；
【分析】（1）利用B类频数除以其频率，即得调查学生的总数；
（2）利用A类频数除以调查总人数，即得m值；利用调查总人数乘以0.20，即得n值；
（3）利用（2）结论，直接补图即可.
19．（2021·江西）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分、某外贸公司要出口一批规格为 的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位： ）如下：
甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量 （ ） 频数 频率
2 0.1
3 0.15
10
5 0.25
合计 20 1
乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77；
乙厂鸡腿质量频数分布直方图
分析上述数据，得到下表：
统计量 厂家 平均数 中位数 众数 方差
甲厂 75 76 6.3
乙厂 75 75 77 6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1） ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位： ）在 的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？
【答案】（1）0.5；76
（2）解：乙厂中， 的数据有75，76， 76，74，75，74，74，75，共8个，
补全图形如下：
（3）解：①从平均数的角度看： =75，所以建议外贸公司可任意选购两厂的鸡腿；
②从中位数的角度看：甲厂的中位数是76，乙厂的中位数是75，
因为乙厂的鸡腿更接近出口规格，所以建议外贸公司选购乙厂的鸡腿；
③从众数的角度看：甲厂的众数是76，乙厂的众数是77，
因为甲厂的鸡腿接近出口规格的更多，所以建议外贸公司选购甲厂的鸡腿；
④从方差的角度看： =6.3， =6.6，
因为甲的鸡腿规格更整齐，所以建议外贸公司选购甲厂的鸡腿
（4）解： (只)，
答：估计可加工成优等品的鸡腿有13000只．
【知识点】频数（率）分布直方图；方差；众数
【解析】【解答】（1）a=1-0.1-0.15-0.25=0.5；
甲厂中76g出现了7次，出现次数最多，则b=76，
故答案为：0.5；76；
【分析】（1）求出a=1-0.1-0.15-0.25=0.5即可作答；
（2）先求出 的数据有 8个，再补全频数分布直方图即可；
（3）根据平均数，中位数，众数和方差的定义求解即可；
（4）根据 某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿， 计算求解即可。
20．（2021·社旗模拟）截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利！为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对名省贫困地区的持续投入，小凯同学通过登录国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元），并对数据进行整理、描述和分析.下面是小凯给出的部分信息.
a.反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如下（数据分成8组： ， ， ， ， ， ， ， ）
b.2020年中央财政脱贫专项资金在 这一组分配的额度是（亿元）：
25；28；28；30；37；37；38；39；39
（1）2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为 （亿元）；
（2）2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第 名；
（3）小凯在收集数据时得到了2016－2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化图：
①比较2016年－2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A，B的分配额度，方差 ▲ _ （填写“＞”或者“＜”）；
②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区A，B脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法.
【答案】（1）37.5
（2）6
（3）解：①＞；②由图可知，中央对自治区A、B的支持总量大致相同，但对自治区A的支持变化更大.
【知识点】频数（率）分布直方图；折线统计图；中位数；方差
【解析】【解答】解：（1）由图可知，共28个省，中位数即为数据从小到大排列的第14、15位的平均数，且 上有8个省
在 这一组分配的额度是25；28；28；30；37；37；38；39；39
第14、15位为37，38
中位数为
（2） 分配额度为95亿元，在 内，有且只有2+2+1=5个省比它额度多
该省由高到低排第六名；
（3）①根据方差的定义，由图可知自治区A的情况更离散
；
【分析】（1）将数据按由小到大的顺序排列，求出第14、15个数据的平均数即为中位数；
（2）由题意可得：分配额度为95亿元，在80≤x<100内，有且只有2+2+1=5个省比它额度多，据此解答；
（3）①根据方差的意义进行解答；
②根据中央对自治区A、B的支持总量进行解答.
21．（2021·龙沙模拟）某校为了了解八年级学生线上课堂发言情况，将随机抽取的该年级部分学生某一天在线上课堂上发言次数统计如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请给合图中相关数据回答下列问题：
组别 发言次数
A
B
C
D
E
（1）此次调查的样本容量为 ， ， ；
（2）请补全直方图；
（3）在扇形统计图中， 组所对应的圆心角的度数为 °， 组所占的百分比为 %；
（4）该年级共有学生1500人，估计全年级这天发言次数不少于6次的有 人．
【答案】（1）50；3；4
（2）解：50-3-15-10-4=18（人），补全直方图如图；
（3）108；36
（4）420
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）此次调查的样本容量为10÷20%=50，50×6%=3（人），故 3，50×8%=4（人），故 4；
故答案为：50；3；4；
（3）在扇形统计图中， 组所对应的圆心角的度数为 ，
组所占的百分比为 ；
故答案为：108；36；
（4）估计全年级这天发言次数不少于6次的有 （人）．
故答案为：420．
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图中的数据计算求解即可；
（2）先求出 50-3-15-10-4=18 ，再补全直方图即可；
（3）根据扇形统计图和条形统计图中的数据计算求解即可；
（4）根据该年级共有学生1500人，计算求解即可。
22．（2021·黄岛模拟）垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．为了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对八年级甲，乙两班各60名学生进行了垃圾分类相关知识的测试，并分别抽取了15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．
（收集数据）
甲班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80．
乙班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83．
（1）（整理数据）按如下分数段整理、描述这两组样本数据
组别 65.5～70.5 70.5～75.5 75.5～80.5 80.5～85.5 85.5～90.5 90.5～95.5
甲 2 2 4 5 1 1
乙 1 1 a b 2 0
在表中，a＝ ，b＝ ．
（2）补全甲班15名学生测试成绩的频数分布直方图．
（分析数据）
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 80 x 80 47.6
乙 80 80 y 26.2
（3）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：在表中：x＝ ，y＝ ．
（4）若规定得分在80分及以上（含80分）为合格，请估计乙班60名学生中垃圾分类及投放相关知识合格的学生有 人．
（5）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，说明理由．
【答案】（1）7；4
（2）解：补全甲班15名学生测试成绩频数分布直方图如图所示，
（3）85；80
（4）40
（5）解：乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，
∵甲班的方差＞乙班的方差，
∴乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好．
【知识点】频数（率）分布直方图；统计表；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）乙班75.5～80.5分数段的学生数为7，80.5～85.5分数段的学生数为4，
故a＝7，b＝4，
故答案为：7，4；
（3）甲班15名学生测试成绩中85出现的次数最多，故x＝85；
把乙班学生测试成绩按从小到大排列为：67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89，
处在中间位置的数为80，故y＝80；
故答案为：85，80；
（4）60× ×100%＝40（人），
答：乙班60名学生中垃圾分类及投放相关知识合格的学生有40人；
故答案为：40；
【分析】（1）根据已知数据填表即可；
（2）根据（1）结论补图即可；
（3）根据平均数、众数及方差的定义进行求解即可；
（4）利用60乘以样本中乙班合格百分比即得结论；
（5）根据方差进行解答即可.
1 / 1湘教版数学九年级上册同步训练《5.2 统计的简单应用》
一、单选题
1．（2021·温州）如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图.若大学生有60人，则初中生有（ ）
某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图
A．45人 B．75人 C．120人 D．300人
2．（2021·乐山）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）.
类型 健康 亚健康 不健康
数据（人） 32 7 1
A．32 B．7 C． D．
3．（2021·龙湾模拟）如图是九（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）.由图可知，每周课外阅读时间不少于6小时的人数是（ ）
A．6人 B．8人 C．14人 D．36人
4．（2021·海淀模拟）某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t（分钟），数据分成6组： ， ， ， ， ，如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是（ ）
A．此时段有1桌顾客等位时间是40分钟
B．此时段平均等位时间小于20分钟
C．此时段等位时间的中位数可能是27
D．此时段有6桌顾客可享受优惠
5．（2019·泰安）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论错误的是（ ）
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2
6．（2021·朝阳模拟）为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下：
每周课外阅读时间x（小时） 0≤x＜2 2≤x＜4 4≤x＜6 6≤x＜8 x≥8 合计
频数 8 17 b 15 a
频率 0.08 0.17 c 0.15 1
表中4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35．下面有四个推断：
①表中a的值为100；②表中c的值可以为0.31；③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间；④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
7．（2021·平阳模拟）某校九年级学生中考体育选考项目组合情况的统计图如图所示，若九年级学生共有400人，则选择跳远、游泳、篮球项目组合的有（ ）
A．60人 B．80人 C．120人 D．140人
8．（2020·新疆模拟）某校学生会主席竞选中，参与投票的学生必须从进入决赛的四名选手中选1名，且只能选1名进行投票，根据投票结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，则选手B的得票数为（ ）
A．80 B．90 C．100 D．400
9．（2019·黄陂模拟）据统计，我市今年十一月份日平均气温的分布情况如下表：
平均气温（℃） 13 14 15 16 17
天数 3 7 3 9 8
其中频数最高的气温（℃）是（ ）
A．17 B．16 C．15 D．14
10．某校测量了初三 班学生的身高（精确到 ），按 为一段进行分组，得到如下频数分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．该班人数最多的身高段的学生数为 人
B．该班身高低于 的学生数为 人
C．该班身高最高段的学生数为 人
D．该班身高最高段的学生数为 人
二、填空题
11．（2021·集美模拟） 2021年春季各校采取年段错峰用餐，某校为了了解学生在校午餐所需时间，抽取20名学生在校用餐时间，并绘制成频数分布直方图（如图），根据图象信息，预估该校学生平均用餐时间是 分钟.
12．（2021·龙港模拟）某城市抽查一些家庭每月水电费的开支（单位：元），得到如图所示的频数直方图（每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），则抽查到的家庭每月开支在225元及以上的有 人.
13．（2020·通州模拟）某班甲、乙、丙三名同学20天的体温数据记录如下表：
甲的体温 乙的体温 丙的体温
温度（℃） 36.1 36.4 36.5 36.8 温度（℃） 36.1 36.4 36.5 36.8 温度（℃） 36.1 36.4 36.5 36.8
频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4
则在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是 ．
14．（2020·硚口模拟）某班同学进行数学测试，将所得成绩（整数）进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图，则这次成绩的中位数落在 这一分数段内（填具体分数）.
15．（2019·云南）某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为40人，每个班的考试成绩分为A、B、C、D、E五个等级，绘制的统计图如下：
根据以上统计图提供的信息，则D等级这一组人数较多的班是
16．（2018·青羊模拟）今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是
三、解答题
17．（2019·北京模拟）某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．
（1）按如下分数段整理、描述这两组数据：
成绩x 学生 70≤x≤74 75≤x≤79 80≤x≤84 85≤x≤89 90≤x≤94 95≤x≤100
甲
乙 1 1 4 2 1 1
（2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生 极差 平均数 中位数 众数 方差
甲
83.7
86 13.21
乙 24 83.7 82
46.21
（3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选谁（填“甲”或“乙），理由是什么．
18．（2021·娄底）“读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径.学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A文史类、B科普类、C生活类、D其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了如下不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：
统计表：
频数 频率
A历史类 50 m
B科普类 90 0.45
C生活类 n 0.20
D其它 20 0.10
合计
（1）本次调查的学生共 人；
（2） ， ；
（3）补全条形统计图.
19．（2021·江西）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分、某外贸公司要出口一批规格为 的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位： ）如下：
甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量 （ ） 频数 频率
2 0.1
3 0.15
10
5 0.25
合计 20 1
乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77；
乙厂鸡腿质量频数分布直方图
分析上述数据，得到下表：
统计量 厂家 平均数 中位数 众数 方差
甲厂 75 76 6.3
乙厂 75 75 77 6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1） ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位： ）在 的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？
20．（2021·社旗模拟）截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利！为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对名省贫困地区的持续投入，小凯同学通过登录国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元），并对数据进行整理、描述和分析.下面是小凯给出的部分信息.
a.反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如下（数据分成8组： ， ， ， ， ， ， ， ）
b.2020年中央财政脱贫专项资金在 这一组分配的额度是（亿元）：
25；28；28；30；37；37；38；39；39
（1）2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为 （亿元）；
（2）2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第 名；
（3）小凯在收集数据时得到了2016－2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化图：
①比较2016年－2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A，B的分配额度，方差 ▲ _ （填写“＞”或者“＜”）；
②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区A，B脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法.
21．（2021·龙沙模拟）某校为了了解八年级学生线上课堂发言情况，将随机抽取的该年级部分学生某一天在线上课堂上发言次数统计如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请给合图中相关数据回答下列问题：
组别 发言次数
A
B
C
D
E
（1）此次调查的样本容量为 ， ， ；
（2）请补全直方图；
（3）在扇形统计图中， 组所对应的圆心角的度数为 °， 组所占的百分比为 %；
（4）该年级共有学生1500人，估计全年级这天发言次数不少于6次的有 人．
22．（2021·黄岛模拟）垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．为了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对八年级甲，乙两班各60名学生进行了垃圾分类相关知识的测试，并分别抽取了15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．
（收集数据）
甲班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80．
乙班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83．
（1）（整理数据）按如下分数段整理、描述这两组样本数据
组别 65.5～70.5 70.5～75.5 75.5～80.5 80.5～85.5 85.5～90.5 90.5～95.5
甲 2 2 4 5 1 1
乙 1 1 a b 2 0
在表中，a＝ ，b＝ ．
（2）补全甲班15名学生测试成绩的频数分布直方图．
（分析数据）
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 80 x 80 47.6
乙 80 80 y 26.2
（3）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：在表中：x＝ ，y＝ ．
（4）若规定得分在80分及以上（含80分）为合格，请估计乙班60名学生中垃圾分类及投放相关知识合格的学生有 人．
（5）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】频数与频率；扇形统计图
【解析】【解答】解：总人数= =300（人）；
=120（人），
故答案为：C.
【分析】先根据大学生的人数和比例求出参观总人数，再用总人数乘以初中生的比例即可求出结果.
2．【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意，得测试结果为“健康”的频率是
故答案为：D.
【分析】利用健康的人数除以抽取的人数，列式计算即可.
3．【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由频数直方图可得阅读时间6至8小时的有8人，8至10小时的有6人，
每周课外阅读时间不少于6小时的人数=8+6=14人.
故答案为：C.
【分析】根据频数直方图可知，阅读时间6至8小时的有8人，8至10小时的有6人，然后相加即可.
4．【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】由题意和统计图可知此时段有1桌顾客等位时间是35-40分钟，不能说明一定是40分钟．故A不符合题意；
此时段平均等位时间 ，故B不符合题意；
由于共统计了35人，所以中位数落在区间是20-25分钟的时间段．故C不符合题意；
由等位时间是30分钟以上的人数为5+1=6人，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】观察频数分布直方图，获取信息，再逐一进行判断即可。
5．【答案】D
【知识点】频数（率）分布折线图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是
方差是
故答案为：D
【分析】根据折线统计图得到每次对应的环数，计算这组数据的众数、中位数、平均数、方差进行判断。
6．【答案】A
【知识点】频数（率）分布表；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：①8÷0.08=100，故表中a的值为100,是合理推断；
②25÷100=0.25，35÷100=0.35，
1-0.08-0.17-0.35-0.15=0.25，1-0.08-0.17-0.25-0.15=0.35，
故表中c的值为0.25≤c≤0.35，表中c的值可以为0.31，是合理推断；
③表中4≤x<6组的频数b满足25≤b≤35，
∴8+17+25=50,8+17+35=60，
∴这100名学生每周课外阅读时间的中位数可能在4~6之间,也可能在6~8之间，故此推断不是合理推断；
④这a名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过6，故此推断不是合理推断．
故答案为：A．
【分析】①根据数据的总和=频数÷频率，列式计算可求出a值；② 根据4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35 ，可求出该范围的频数，进一步得到c的范围，从而求解；③根据中位数的定义求解即可；
使利用加权平均数的公式求出结果，然判断即可.
7．【答案】B
【知识点】频数与频率；扇形统计图
【解析】【解答】解：∵400×20％=80（人）
∴跳远、游泳、篮球项目组合的人数约为80人.
故答案为：B.
【分析】根据“跳远、游泳、篮球项目组合的人数=九年级的学生数×跳远、游泳、篮球项目组合的频率”计算即可.
8．【答案】C
【知识点】频数与频率；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：调查总人数：140÷35%=400（人），C选手的票数：400×30%=120（票），
B选手的得票：400-140-120-40=100（票）；
故答案为：C.
【分析】根据A选手的票数和所占的百分比求出票数，再用总票数乘以C所占的百分比，求出C选手的票数，最后再用总票数减去A、C、D选手的票数，即可求出B的得票数.
9．【答案】B
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】由表格中数据可得：频数最高的气温（℃）是：16℃，出现9次.
故答案为：B.
【分析】根据频数的定义结合表格中数据进而得出答案.
10．【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：A、该班人数最多的身高段的学生数为20人，故A不符合题意；
B、该班身高低于 160.5cm 的学生数为20人，故B不符合题意；
C、该班身高最高段的学生数为7人，故C不符合题意；
D、该班身高最高段的学生数为7人，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】由频数分布直方图可以得到相关信息：该班人数最多的身高段的学生数为20人；该班身高低于 160.5cm 的学生数为20人；该班身高最高段的学生数为7人，即可得出答案。
11．【答案】17.6
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由频数直方图可知：各组的组中值分别是：10，14，18，22，26，
（分钟），
故答案是：17.6.
【分析】先求出各个组的组中值，再根据加权平均数的计算方法计算样本平均数，用样本平均数估计总体平均数即可.
12．【答案】11
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】抽查到的家庭每月开支在225元及以上的有：7+3+1＝11（人）.
故答案为：11.
【分析】根据频数直方图可知每月开支在225元及以上的有：7+3+1＝11人
13．【答案】丙
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：甲的平均数为： ×(36.1×5+36.4×5+36.5×5+36.8×5)=36.45；
乙的平均数为： ×(36.1×6+36.4×4+36.5×4+36.8×6)=36.45；
丙的平均数为： ×(36.1×4+36.4×6+36.5×6+36.8×4)=36.45；
甲的方差为：
×[5×(36.1-36.45)2+5×(36.4-36.45)2+5×(36.5-36.45)2+5×(36.8-36.45)2]=0.0625；
乙的方差为：
×[6×(36.1-36.45)2+4×(36.4-36.45)2+4×(36.5-36.45)2+6×（36.8-36.45）2]=0.0745；
丙的方差为：
×[4×(36.1-36.45)2+6×(36.4-36.45)2+6×(36.5-36.45)2+4×(36.8-36.45)2]=0.0505；
∵0.0505＜0.0625＜0.0745，
∴在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是丙，
故答案为：丙．
【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案。
14．【答案】70.5～80.5
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】由频数分布直方图得：成绩在 的人数为4，成绩在 的人数为10，成绩在 的人数为18，成绩在 的人数为12，成绩在 的人数为6
则该班同学的总人数为
由中位数的定义得：这次成绩按从小到大进行排序后，其中位数为第25个数与第26个数的平均数
这次成绩的中位数落在 这一分数段内
故答案为： .
【分析】先根据频数分布直方图得出各组的人数，再根据中位数的定义即可得.
15．【答案】甲班
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：由频数分布直方图知甲班成绩为D等级的人数为13人，
由扇形统计图知乙班成绩为D等级的人数为40×30%=12，
∴D等级较多的人数是甲班。
故答案为：甲班。
【分析】根据频数分布直方图可知：甲班D等级的人数是13人，根据扇形统计图可知：乙班成绩为D等级的人数所占的百分比是30%，用乙班的总人数乘以乙班成绩为D等级的人数所占的百分比即可算出乙班D等级的人数，再比大小即可。
16．【答案】6000
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由题意，得：4800÷40%=12000，公交12000×50%=6000，故答案为：6000．
【分析】因为样本容量=频数÷百分数，所以根据自驾的频数和百分数可求得样本容量，再根据频数=样本容量百分数可求解。
17．【答案】（1）由图可得：甲组数据中落在各分数段的次数分别为：0，1，4，5，0，0．
故答案为：0，1，4，5，0，0；
（2）甲组数据的极差 ，甲组数据排序后，最中间的两个数据为：84和85，故中位数 ，乙组数据中出现次数最多的数据为81，故众数为81．
故答案为：14，84.5，81；
（3）选甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定；两人的平均数相同且甲的极差小于乙，说明甲成绩变化范围小．
或：选乙，理由：在 的分数段中，乙的次数大于甲．（答案不唯一，理由须支撑推断结论）
故答案为：甲，两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定．
【知识点】频数（率）分布折线图；平均数及其计算；中位数；方差；众数；极差
【解析】【分析】（1）根据折线图对应看图填表。
（2）根据极差、中位数，以及众数的概念，从给出的数据中做答。
（3）连接方差、众数的含义，只要理由和选择相互成立即可。
18．【答案】（1）200
（2）0.25；40
（3）解：补全直方图如图所示：
.
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生有：90÷0.45=200（名），
故答案是：200；
（2）m=50÷200=0.25，n=200×0.2=40；
【分析】（1）利用B类频数除以其频率，即得调查学生的总数；
（2）利用A类频数除以调查总人数，即得m值；利用调查总人数乘以0.20，即得n值；
（3）利用（2）结论，直接补图即可.
19．【答案】（1）0.5；76
（2）解：乙厂中， 的数据有75，76， 76，74，75，74，74，75，共8个，
补全图形如下：
（3）解：①从平均数的角度看： =75，所以建议外贸公司可任意选购两厂的鸡腿；
②从中位数的角度看：甲厂的中位数是76，乙厂的中位数是75，
因为乙厂的鸡腿更接近出口规格，所以建议外贸公司选购乙厂的鸡腿；
③从众数的角度看：甲厂的众数是76，乙厂的众数是77，
因为甲厂的鸡腿接近出口规格的更多，所以建议外贸公司选购甲厂的鸡腿；
④从方差的角度看： =6.3， =6.6，
因为甲的鸡腿规格更整齐，所以建议外贸公司选购甲厂的鸡腿
（4）解： (只)，
答：估计可加工成优等品的鸡腿有13000只．
【知识点】频数（率）分布直方图；方差；众数
【解析】【解答】（1）a=1-0.1-0.15-0.25=0.5；
甲厂中76g出现了7次，出现次数最多，则b=76，
故答案为：0.5；76；
【分析】（1）求出a=1-0.1-0.15-0.25=0.5即可作答；
（2）先求出 的数据有 8个，再补全频数分布直方图即可；
（3）根据平均数，中位数，众数和方差的定义求解即可；
（4）根据 某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿， 计算求解即可。
20．【答案】（1）37.5
（2）6
（3）解：①＞；②由图可知，中央对自治区A、B的支持总量大致相同，但对自治区A的支持变化更大.
【知识点】频数（率）分布直方图；折线统计图；中位数；方差
【解析】【解答】解：（1）由图可知，共28个省，中位数即为数据从小到大排列的第14、15位的平均数，且 上有8个省
在 这一组分配的额度是25；28；28；30；37；37；38；39；39
第14、15位为37，38
中位数为
（2） 分配额度为95亿元，在 内，有且只有2+2+1=5个省比它额度多
该省由高到低排第六名；
（3）①根据方差的定义，由图可知自治区A的情况更离散
；
【分析】（1）将数据按由小到大的顺序排列，求出第14、15个数据的平均数即为中位数；
（2）由题意可得：分配额度为95亿元，在80≤x<100内，有且只有2+2+1=5个省比它额度多，据此解答；
（3）①根据方差的意义进行解答；
②根据中央对自治区A、B的支持总量进行解答.
21．【答案】（1）50；3；4
（2）解：50-3-15-10-4=18（人），补全直方图如图；
（3）108；36
（4）420
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）此次调查的样本容量为10÷20%=50，50×6%=3（人），故 3，50×8%=4（人），故 4；
故答案为：50；3；4；
（3）在扇形统计图中， 组所对应的圆心角的度数为 ，
组所占的百分比为 ；
故答案为：108；36；
（4）估计全年级这天发言次数不少于6次的有 （人）．
故答案为：420．
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图中的数据计算求解即可；
（2）先求出 50-3-15-10-4=18 ，再补全直方图即可；
（3）根据扇形统计图和条形统计图中的数据计算求解即可；
（4）根据该年级共有学生1500人，计算求解即可。
22．【答案】（1）7；4
（2）解：补全甲班15名学生测试成绩频数分布直方图如图所示，
（3）85；80
（4）40
（5）解：乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，
∵甲班的方差＞乙班的方差，
∴乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好．
【知识点】频数（率）分布直方图；统计表；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）乙班75.5～80.5分数段的学生数为7，80.5～85.5分数段的学生数为4，
故a＝7，b＝4，
故答案为：7，4；
（3）甲班15名学生测试成绩中85出现的次数最多，故x＝85；
把乙班学生测试成绩按从小到大排列为：67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89，
处在中间位置的数为80，故y＝80；
故答案为：85，80；
（4）60× ×100%＝40（人），
答：乙班60名学生中垃圾分类及投放相关知识合格的学生有40人；
故答案为：40；
【分析】（1）根据已知数据填表即可；
（2）根据（1）结论补图即可；
（3）根据平均数、众数及方差的定义进行求解即可；
（4）利用60乘以样本中乙班合格百分比即得结论；
（5）根据方差进行解答即可.
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