人教版数学九年级上期第二十三章旋转——证明题基础篇(含解析)

人教版数学九年级上期
第二十三章旋转——证明题基础篇1
如图,ABO与CDO关于点O成中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD=BE.
在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠EAC=∠DAB，∠B=∠D，AB=AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）将△ABC绕着点A旋转得到△ADE，如果∠AEC=70°，求∠BAD的度数．

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE.求证：AB⊥AE.
如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点，
（1）求证：△AMN是等边三角形．
（2）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．
如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC．当点A在线段DF的延长线上时，
（1）求证：DA=CE；
（2）判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由；
如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°得到BE，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D.BE⊥MN于点E.
（1）当直线MN绕点C旋转到如图所示位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交（交点不是AB中点）时，画出相应的图形，探求线段DE，AD与BE之间的等量关系，并写出其关系式.
如图,等腰中,,,点D为斜边AB上一点（不与A,B重合）连接CD,将线段CD绕点C顺时针方向旋转至CE,连接AE．
求证：；
若AD：：1,求的度数．
如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，BF⊥BC，D是BC延长线上一点，将射线AD绕点A逆时针旋转90°得射线AE，AE与射线BF交于点E.
（1）求证：AD=AE；
（2）探究BE、BC、BD三条线段的数量关系，并说明理由.
如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF=BC；
（2）若∠ABC=60°，∠ACB=25°，求∠FGC的度数．
几何证明题 如图，△ADE是等边三角形，点C是AD边上一点，连接DC，并将DC绕点D逆时针旋转60°，得到DB，连接AB，CB．
(1)求证：△ABD≌△ECD
(2)求∠BAE的度数；
(3)若AE＝6，AC＝2，求BC的长．
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PF，在直线AC上取点E，使CE=CP，且点F，E在直线BC的同侧，连接BE，EF．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，求证：四边形PBEF是平行四边形；
（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，四边形PBEF是否还是平行四边形，请说明理由．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°后得到CE，连接EF.求证：BD=FE.
四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝AD，线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AC、ED、BD，求证：AC＝DE．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点A顺时针旋转45°后得到△ADE，再将△ADE绕点A顺时针旋转45°后得到△AFG，连接BE，DG，交于点M.
(1)求证：△ABE≌△ADG；
(2)求∠DME的度数.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．
（1）求证：△BDC≌△EFC；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．
参考答案
1.解: ABO与CDO关于点O成中心对称,
BO=DO,AO=CO.
AF=CE,AO-AF=CO-CE,FO=EO.
在FOD和EOB中,
FODEOB,
FD=BE.
2.证明：（1）∵∠EAC=∠DAB，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∵，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，
∴∠C=∠AEC=70°，
∴∠CAE=180°-∠C-∠AEC=40°，
∴∠BAD=40°．
3.证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∴△CBD绕点C顺时针旋转90°得到△CAE，
∴∠CAE=∠CBD=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴AB⊥AE．
4.证明：（1）∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC、AE=AD、∠BAC=∠EAD=60°，
∴AB-AE=AC-AD，即BE=CD，
∵M、N分别是BE、CD的中点，
∴EM=BE、DN=DC，
∴EM+AE=DN+AD，即AM=AN，
∵∠BAC=60°，
∴△AMN为等边三角形；
（2）CD=BE．理由如下：
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△DAC和△EAB中，
∵，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴CD=BE．
5.（1）证明：∵把BA顺时针方向旋转60°至BE，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
在等边△BCD中，DB=BC，∠DBC=60°，
∴∠DBA=∠DBC+∠FBA=60°+∠FBA，
∵∠CBE=60°+∠FBA，
∴∠DBA=∠CBE，
∴△BAD≌△BEC，
∴DA=CE；
（2）∠DEC+∠EDC=90°，
∵DB=DC，DA⊥BC，
∴，
∵△BAD≌△BEC，
∴∠BCE=∠BDA=30°，
在等边△BCD中，∠BCD=60°，
∴∠DCE=∠BCE+∠BCD=90°，
∴∠DEC+∠EDC=90°．
6.解：（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°.
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠EBA＝120°，
∴∠DBC＝∠EBA.
在△ABE和△CBD中
AB＝CB，∠EBA=∠DBC，BE=BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD.
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝(180°-120°)＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE＝180°-30°-45°=105°.
7.（1）证明：如图1，
∵AD⊥MN于点D．BE⊥MN于点E，
∴∠ADC=90°，∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；
（2）如图2，DE=AD-BE；
如图3，DE=BE-AD．
8.解：（1）∵将线段CD绕点C顺时针方向旋转90°至CE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC，
∴∠BCD=∠ACE
而BC=AC，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）连接DE，
∵∠DCE=90°，DC=CE，
∴∠DEC=45°，
由（1）知△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，∠B=∠CAE=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=45°+45°=90°，
∵AD：BD=：1，
∴AD：AE=，
∴AE：DE=，即AE=DE，
∴在Rt△DAE中，，
∴∠AED=60°，
∴∠AEC=∠AED+∠DEC=60°+45°=105°．
9.（1）证明：过A点作AM⊥BF于M，如图，
∵BF⊥BC，
∴∠CBM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∴四边形ACBM为正方形，
∴AC=AM，∠CAM=90°，
∵射线AD绕点A逆时针旋转90°得射线AE，
∴∠DAE=90°，
∵∠DAC+∠CAE=90°，∠EAM+∠CAE=90°，
∴∠DAC=∠EAM，
在△ACD和△AME中，
，
∴△ACD≌△AME（ASA），
∴AD=AE；
（2）BD+BE=2BC．
理由如下：∵△ACD≌△AME，
∴CD=ME，
∵四边形ACBM为正方形，
∴BM=BC，
∴BD+BE=BC+CD+BM-ME=BC+ME+BC-ME=2BC．
10.（1）证明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC=AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF=BC；
（2）解：∵AB=AE，∠ABC=60°，
∴∠BAE=180°-60°×2=60°，
∴∠FAG=∠BAE=60°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠C=25°，
∴∠FGC=∠FAG+∠F=60°+25°=85°．
11.(1)证明：∵△ADE是等边三角形
∴AD＝DE ∠ADE＝60°
由旋转可知DB＝DC ∠BDC＝60°
∴∠ADB＝∠CDE
在△ABD和△ECD中

∴△ABD≌△ECD(SAS)
(2)∵△ABD≌△ECD
∴∠BAD＝∠CED
∵△ADE是等边三角形
∴∠CED＝∠EAD＝60°
∴∠BAD＝60°
∴∠BAE＝∠BAD＋∠EAD＝60°＋60°＝120°
答：∠BAE的度数为120°
(3)过点D作DF⊥AE于点F，
∵△ADE是等边三角形，
∴，AD=AE=6，∠ADE=60°，
∴，CF=AF-AC=1，
∴，
∵△ABD≌△ECD
∴∠ADB＝∠CDE，BD=CD，
∴∠BDC=∠ADE=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴.
12.证明：（1）∵AB=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ACP=90°．
∵CE=CP，
∴△ACP≌△BCE．
∴AP=BE，∠APC=∠BEC．
∵线段PA绕点P逆时针旋转90度得到线段PF，
∴PA=PF，∠APF=90°．
∴BE=PF，∠APC+∠CPF=90°．
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠CBE=∠CPF．
∴BE∥PF．
∴四边形PBEF是平行四边形．
（2）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ACP=90°．
∵CE=CP，
∴△ACP≌△BCE．
∴AP=BE，∠PAC=∠EBC．
∵线段PA绕点P逆时针旋转90度得到线段PF，
∴PA=PF，∠APF=90°．
∴BE=PF．
∵∠PAC+∠APC=90°，
∴∠EBC+∠APC=90°．
∵∠APF=90°，
∴∠APF+∠EBC+∠APC=180°，
即∠FPB+∠PBE=180°．
∴BE∥PF．
∴四边形PBEF是平行四边形．
13.证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°后得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠FCE=90°-∠ACD，
在△BCD和△FCE中，
∴△BCD≌△FCE（SAS），
∴BD=FE；
14.证明：∵∠DAB=60 ，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=60 ，
∵线段BC绕点B顺时针旋转60 得到线段B，
∴CB=EB，∠CBE=60 ，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE(SAS)，
∴AC=DE.
15.解：（1）证明：由旋转的定义可得，
△ABC≌△ADE，△ADE≌△AFG，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠DAE=∠FAG=45°，
∴∠BAE=∠DAG=90°，
∴在△ABE与△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（SAS）.
（2）记BE与AD的交点为N，

∵△ABE≌△ADG，
∴∠MDA=∠MBA，
∵∠DME=∠MDA+∠DNM，
∴∠DME=∠MBA+∠ANB，
在△ABN中，∵∠BAD=45°，
∴∠MBA+∠ANB=135°，
∴∠DME=135°.
16.证明：（1）由旋转的性质得，CD=CF，∠DCF=90°，
∴∠DCE+∠ECF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠ECF，
在△BDC和△EFC中，
，
∴△BDC≌△EFC（SAS）；
（2）∵EF∥CD，
∴∠F+∠DCF=180°，
∵∠DCF=90°，
∴∠F=90°，
∵△BDC≌△EFC，
∴∠BDC=∠F=90°．
第8页，共18页
第9页，共18页