等差数列

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6.2 等 差 数 列
6.2 等 差 数 列
1.复 习 巩 固
2.新 课 讲 授
3.小 结
4.作 业
复习回顾:
1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数,
简记作:{an}
2.通项公式:数列{an}中第n项an与n之间的关系式
3.数列的分类
(1)按项数分：
有穷数列，
(2)按项之间的大小关系：
递增数列，
递减数列，
无穷数列
摆动数列，
常数列。
4.数列的实质
5.递推公式:
如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.
一、判定题：下列数列是否是等差数列？
①. 9 ，7，5，3，……, -2n+11， ……；
②. -1，11，23，35，……,12n-13，……；
③. 1，2，1，2，………………；
④. 1，2，4，6，8，10， ……；
⑤. a, a, a, a, ……， a，…… ；
√
√
√
×
×
复习巩固：
√
一、引入
1.观察下列数列，指出它们的共同特征：
(1)2，5，8，11，…
(2)48，53，58，63，…
(3) 3，3，3，3，…
(4)活期存入10000元，年利率是0.72%，按照单利，5年内各年末本利和分别是10072，10144，10216，10288， 10360．
共同特征：从第二项起，每一项与它的前一项的差
等于同一个常数
1.等差数列：一般地，如果一数列从第二项起，每一项
与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列;
这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
二、新课讲解
2.等差数列定义的符号语言：
an-an-1=d， ( n≥2 )，其中d为常数
（ an+1-an = d n∈N+ ）
（一）等差数列的定义：
4．填空题
(1)等差数列8，5，2，…，的第5项是_____;
(2)已知等差数列-5，-9，-13，… ,则d=____;
递推公式是___________; 通项公式是_________.
(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;
-4
-4
an= -4n-1
三、练习
a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
…
an-an-1=d (n>1)
上述各式两边同时相加，得
an-a1=(n-1)d
∵由等差数列的定义可得
叠加法
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;
等差数列的通项公式：
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则
an=a1+(n-1)d
注: 等差数列的通项公式中 ，an , a1 , n,d这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个量 。
四、例题
例1. 在等差数列{an}中，
（1）已知a1=2，d=3，n=10，求an
解：a10=a1+9d=2+9×3=29
（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n
解：∵21=3+(n-1)×2
∴n=10
（3）已知a1=12，a6=27，求d
解： ∵a6=a1+5d，即27=12+5d
∴ d=3
（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1
解：∵a7=a1+6d 8=a1+6×(-1/3)
∴a1=10
例2.(1).求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解:
(2). -401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
解：
因此，
解得
答：这个数列的第100项是-401.
例4. 求出下列数列的公差.
（1）-2，0，2，4，6，8，10，………
（2）7，4，1，-2，……
（3）4，4，4，4，4，4，4，……
d=2
d=-3
d=0
做出上述数列等差数列的图像，
并思考：上述数列的公差与该数列的类
型有关系吗？
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
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等差数列的图象1
等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
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等差数列的图象3
（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
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已知数列 是等差数列，d是公差，则：
当d>0时， 为递增数列；
当d<0时， 为递减数列；
当d=0时， 为常数数列；
例3. 已知数列 的通项公式为 ，其中p,q为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判断 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就 是看 是不是一个与n无关的常数
解：取数列
中的任意相邻两项
求差得
它是一个与n无关的数，所以 是等差数列
等差中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后,这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ， ， 4 （2）-1， ，5
（3）-12， ，0 （4）0， ，0
3
2
-6
0
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
(4) 在等差数列{an}中a1-a5+a9-a13+a17=20,
则a3+a15=（ ）
(3) 在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=100,
则a2+a8 =（ ）
(2) 在等差数列{an}中，a2+a3+a10+a11=48,
则a6+a7 =（ ）
例4.(1) 在等差数列{an}中，a2+a5+a8=18,
则a5 =（ ）
24
40
40
6
例5.证明：已知数列{an} 是等差数列,m+n=p+q 则am+an=ap+aq 。若m+n=2p ,则am+an=2ap。
证明：
(重要性质) : 若 {an} 是等差数列,
且m+n=p+q 则 am+an=ap+aq
若m+n=2p ,则am+an=2ap
an=am+(n-m)d
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，
-3a +2，则 a 等于（ )
A . -1 B . 1 C .-2 D. 2
B
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10=
2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)
提示1:
提示：
d=an+1—an=4
-35
3. 在等差数列{an}中
(1) 若a59=70，a80=112，求a101；
(2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q
d=2,
a101=154
d= -1,
ap+q =0
练习.1在等差数列{an}中，
(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20
(2)已知 a3+a11=10，求：a6+a7+a8
(3)已知 a2+a14=10，能求出a16吗？
10
15
(4)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
d= _2
a14= _3
d= 2
a14= 31
或
不能
3. 若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，
b3，y各成等差数列，那么
练习:2. 等差数列{an}中, a2=－5, a6= a3 +6,则a1 =_______
－7
②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？
【说明】
3.更一般的情形，an= ， d=
四.课堂小结：
1. {an}为等差数列
2. a、b、c成等差数列
an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d
an= kn + b
（k、b为数）
am+(n - m) d
b为a、c 的等差中项AA
2b= a+c
4.在等差数列{an}中，m+n=p+q
am+an=ap+aq
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；





1.若在 1与11之间插入若干个数，使它们组成一个等差数列，试分别就下列情况求出所插入的数：
（1）插入1个数；（2）插入2个数；
（3）插入3个数呢？
2.梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110，中间还有10级，各级的宽度成等差数列.计算中间各级的宽.
五.作业