(共20张PPT)
27.2 相似三角形
第3课时 用平行线判定
三角形相似
第二十七章 相 似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平行线截三角形相似
相似三角形性质的应用
知识点
平行线截三角形相似
知1－讲
感悟新知
1
如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？
知1－讲
感悟新知
解析：直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似，我们通过相似
的定义证明它，即证明∠A=∠A, ∠ADE=∠B,
∠AED=∠C, 由前面的结论可得，
而 中的DE不在△ABC的边BC上，不
能直接利用前面的结论.但从要证的 可以看
出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的边上，因
此只需将DE平移到BC边上去，使得BF=DE，再证明
就可以了(如图).只要过点E作EF//AB，交
BC于点F，BF就是平移DE所得的线段.
知1－讲
感悟新知
先证明两个三角形的角分别相等.
如图，在△ADE 与△ABC 中，∠A=∠A.
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
再证明两个三角形的边成比例.
过点E作EF//AB，交BC于点F.
∵DE//BC，EF//AB，
知1－讲
感悟新知
∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF.
这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，
边成比例，所以 △ADE∽△ABC.因此，我们有如下判定
三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似.
特别提醒
书写两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对
应的位置上.
根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有BC∥DE，
图27.2-9①②很像大写字母A, 故我们称之为“A”型相似；图
27.2-9③很像大写字母X，故
我们称之为“X”型相似(也
像阿拉伯数字“8”).
知1－讲
感悟新知
如图，在 ABCD中，F是AD边上的任意一点，
连接BF并延长交CD的延长线于点E，则图中与△DEF相似的三角形共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
导引：由于四边形ABCD是平行四边形，因此FD∥BC，
DE∥AB.于是可从图中找出符合“A”型相似的△DEF与△CEB，符合“X”型相似的△DEF与△ABF.故选B.
感悟新知
知1－练
例 1
B
知1－讲
总 结
感悟新知
利用平行线寻找相似三角形的方法：
在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有
线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A”
型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，
也是今后解本类题目的首要之选．
知1－讲
感悟新知
用平行线判定三角形相似的定理：平行于三角形一
边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三
角形相似．
数学表达式：如图，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
感悟新知
知1－练
如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比.
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴其相似比为
知识点
相似三角形性质的应用
知2－讲
感悟新知
2
如图所示，要测量一个池塘的长是多少，不能直接测量距离，小明做了△ABC，取
池塘的两个点D，E，使DE∥BC，
测出BC，AD，AB的长就可以算出
DE的长，你知道为什么吗？
原来由DE∥BC可以得到△ABC∽△ADE，所以
AD∶AB=DE∶BC.
知2－讲
归 纳
感悟新知
通过建立相似三角形数学模型可以解决实际
问题.
知2－练
感悟新知
如图，在 ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于________．
导引：有平行四边形，就提供了平行线，就有三角形相似，
就有对应边的比相等，就能求出FC的长．
在 ABCD中，∵AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEF∽△CDF.
∵AE＝EB，∴AE＝ AB＝ CD.
∴CF＝2AF＝4.
4
例2
知2－讲
归 纳
感悟新知
利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角
形被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，并
且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通
过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边的比相
等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段
的长．
“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，
从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，
则井深为( )
A．1.25尺 B．57.5尺
C．6.25尺 D．56.5尺
知2－讲
感悟新知
1
B
要点解读
1.一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；
2. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段,与这组平行线上的线段无关；
3.利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意
对应线段写在对应的位置上.
知2－讲
感悟新知
课堂小结
相似三角形
确定相似三角形的对应边和对应角的方法：
(1)有公共角的，公共角一般是对应角；
(2)有对顶角的，对顶角一般是对应角；
(3)相似三角形对应角所对的边是对应边，两个对
应角所夹的边是对应边；
课堂小结
相似三角形
(4)相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对
应边所夹的角是对应角．
课堂小结
相似三角形
如图所示，△AOB∽△COD，下列各式中正确的有( )
A
易错点：对相似三角形的对应关系理解模糊而出错.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(共15张PPT)
27.2 相似三角形
第4课时 用三边关系判
定三角形相似
第二十七章 相 似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
用三边关系判定三角形相似定理
网格中相似三角形的判定
知识点
用三边关系判定三角形相似定理
知1－讲
感悟新知
1
任意画一个三角形，再画另一个三角形，使它的各边长都是原来各边长的2倍，度量这两个三角形的对应角，他们对应相等吗？这两个三角形全等吗？
问 题
知1－讲
感悟新知
如图，在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC与
△A′B′C′相似吗？为什么？
分析：这时可在A′B′上截取A′D=AB，再过D作DE//
B′C′，由△A′DE∽△A′B′C′，再证明△ABC
≌△A′DE，则可得到△ABC∽△A′B′C′.
思 考
知1－讲
感悟新知
如图，在△ABC和△A'B'C'中，
求证： △ABC∽△A'B'C'.
知1－讲
感悟新知
证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB，
过点D作 DE//B′C′，交A′C′于点E.根据前面的定理，可得
△A′DE∽△A'B'C'.
∴DE=BC，A′E=AC.
∴ △A′DE≌△ABC.
∴△ABC ∽△A'B'C'.
△A′DE是证明的中介，它把△ABC与△A′B′C′联系起来.
知1－讲
总 结
感悟新知
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理
（如图）：
三边成比例的两个三角形相似.
△ABC ∽△A'B'C'
特别提醒
由三边成比例判定两三角形相似与由三边对应相等判定两三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可.
应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分
母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况，用大边
对大边，小边对小边的思路找对应边.
知1－讲
感悟新知
感悟新知
知1－练
例 1
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8 cm，
A′B′= 12 cm，B′C′= 18 cm，A′C′=24 cm.
解：
∴△ABC ∽△A'B'C'.
感悟新知
知1－练
根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由:
AB= 10 cm，BC = 8 cm，AC = 16 cm,
A′B′= 16 cm，B′C′= 12. 8 cm，A′C′= 25. 6 cm.
1
解：相似
∴△ABC∽△A′B′C′.
知识点
网格上相似三角形的判定
知2－练
感悟新知
2
图1，图2中小正方形的边长均为1，则图2中的哪一个三角形(阴影部分)与图1中的△ABC相似？
导引：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出
各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相
等来判断哪两个三角形相似．
图1
图2
例2
知2－练
感悟新知
解：由勾股定理知AC＝ ，BC＝2，AB＝
图2(1)中，三角形的三边长分别为1，
图2 (2)中，三角形的三边长分别为1，
图2 (3)中，三角形的三边长分别为
图2 (4)中，三角形的三边长分别为2，
∴图2 (2)中的三角形与△ABC相似．
知2－讲
总 结
感悟新知
利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似
的方法：首先把两个三角形的边分别按照从小到大的
顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、
中、大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，则
两个三角形相似，否则不相似．
特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等．
知2－练
感悟新知
如图，4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
D
课堂小结
相似三角形
利用三边成比例判定三角形相似的“三步骤”：
(1)排序：将三角形的边按大小顺序排列；
(2)计算：分别计算它们对应边的比值；
(3)判断：通过比值是否相等判断两个三角形是否
相似．(共29张PPT)
27.2 相似三角形
第7课时 相似三角形
的性质
第二十七章 相 似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
相似三角形对应线段的比
相似三角形周长和面积的比
知识点
相似三角形对应线段的比
知1－讲
感悟新知
1
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长
度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，
以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们
的这些几何量之间有什么关系呢？
问 题
知1－讲
感悟新知
探究：
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、
对应中线、对应角平分线的比各是多少？
如图，分别作△ABC和 △A′B′C′的对应高AD和A′ D′ .
知1－讲
感悟新知
∵ △ ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠B= ∠B′ .
又△ ABD和△A′B′D′都是直角三角形，
∴△ ABD ∽ △A′B′D′.
∴
类似地，可以证明相似三角形对应中 线的比、
对应角平分线的比也等于 k.
知1－讲
总 结
感悟新知
这样，我们得到：
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应
角平分线的比都等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
感悟新知
知1－练
例 1
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，矩
形相邻两边的比为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝
10 cm，求矩形EFGH的周长．
知1－讲
感悟新知
导引：由四边形EFGH为矩形，得EH∥BC，所以△AEH
与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相
似比可求出HG的长，进而求出EH的长，即可求得
矩形EFGH的周长．
解：设HG＝x cm，则EH＝2x cm. 易得AP⊥EH.
∵AD＝10 cm，∴AP＝(10－x) cm.
∵四边形EFGH为矩形，∴EH∥BC，
∴△AEH ∽ △ABC．∴
解得x=6．∴HG＝6 cm，EH＝12 cm.
∴矩形EFGH的周长为36 cm.
知1－讲
总 结
感悟新知
相似三角形中对应线段的比等于相似比，其中
“对应线段”除对应边外，还有对应边上的高、中
线，对应角的平分线．
感悟新知
知1－练
如图，△ABC 与△A′B′C′相似，AD，BE 是 △ABC 的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证
∵△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的高，
∴
又BE，B′E′分别是△ABC，
△A′B′C′的高，
∴ ∴
证明：
知识点
相似三角形周长和面积的比
知2－讲
感悟新知
2
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿地被削
去了一个角，变成了一个梯形，
原绿化地一边AB的长由原来的
30米缩短成18米(如图)．现在的
问题是：它的周长是多少？
问 题
知2－讲
感悟新知
解答：将上面生活中的问题转化为数学问题是：
如图，已知DE∥BC，AB=30 m，BD=18 m，
△ABC 的周长为80 m，求△ADE的周长.
知2－讲
感悟新知
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，∴
由比例的性质可得，
而△ADE 的周长=AD＋AE＋DE,
△ABC的周长=AB＋AC＋BC，
∴
∴△ADE 的周长=32 m.
知2－讲
总 结
感悟新知
从以上解答过程中可以看出：相似三角形的周
长比等于相似比.
活学巧记
两个相似三角形，各角对应都相等，各边对应成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
知2－讲
感悟新知
知2－练
感悟新知
例2
已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和
6 cm. 若它们的周长之和为60 cm，则这两个
三角形的周长分别是多少？
导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边，
由此可确定相似比，进而根据已知条件，解
以一个三角形周长为未知数的方程即可．
知2－练
感悟新知
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边
AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm.
则
∴△ABC和△A1B1C1的相似比为
设△ABC的周长为x cm，
则△A1B1C1的周长为(60－x)cm.
∴
∴△ABC的周长为36 cm，△A1B1C1的周长为24 cm.
解得x＝36，60－x＝24.
知2－讲
总 结
感悟新知
相似三角形周长的比等于相似比．在解题时，如
果是相似图形，求周长就常用到周长比等于相似比.
知2－练
感悟新知
1 △ABC与△DEF的相似比为1∶4，则
△ABC与△DEF的周长比为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶16
C
知2－讲
感悟新知
相似三角形面积的比与相似比有什么关系？
如图，由前面的结论，我们有
问 题
知2－讲
总 结
感悟新知
这样，我们得到：
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
知2－练
感悟新知
如图，在△ABC和△DEF 中，AB = 2DE，AC =
2DF，∠A=∠D． 若△ABC的边BC上的高为6，
面积为 ，求△DEF的边EF 上的高和面积．
例 3
知2－练
感悟新知
解： 在△ABC和△DEF中，
∵ AB = 2DE，AC = 2DF,
∴
又 ∠D=∠A，
∴ △DEF∽△ABC，△DEF 与△ABC 的相似比为
∵△ABC的边BC上的高为6，面积为
∴△DEF的边EF上的高为
面积为
知2－讲
总 结
感悟新知
利用相似比求周长和面积时，先判定两个三角形
相似，然后找准相似比，利用“相似三角形周长的比
等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”
解题．警示：不要误认为面积的比等于相似比．
知2－练
感悟新知
1 判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）.
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三
角形的角平分线也扩大为原来的5倍； （ ）
(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三
角形的面积也扩大为原来的9倍. （ ）
√
×
课堂小结
相似三角形
1、相似三角形对应边成_______，对应角______.
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
对应角平分线的比都等于________.
3、相似三角形周长的比等于________，
相似三角形面积的比等于______________.
相似比的平方
相似三角形的性质：
比例
相等
相似比
相似比
课堂小结
相似三角形
如图，在△ABC中，DE与BC平行，S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，求AD∶DB.
课堂小结
相似三角形
解：
因为S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶5.
因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
所以
所以
课堂小结
相似三角形
易错点：忽略相似三角形性质的适用条件.
跳出误区：此题易错计算为AD∶DB＝1∶2，要求AD∶DB，关键是求S△ADE∶S△ABC，根据三角形的面积比得出线段的比，从而得出AD与DB的比．(共19张PPT)
27.2 相似三角形
第5课时 用边角关系判定
三角形相似
第二十七章 相 似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
用边角关系判定三角形相似定理
边角关系判定相似三角形的应用
知识点
用边角关系判定三角形相似定理
知1－讲
感悟新知
1
问 题
利用刻度尺和量角器画△ABC与△A1B1C1，使∠A=∠A1， 和 都等于给定的值k，量出
它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于
k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否
相等？
知1－讲
感悟新知
A
B
C
A1
B1
C1
如图△ABC和△A1B1C1中， ∠A=∠A1
求证： △ABC∽△A1B1C1
知1－讲
感悟新知
在线段A1B1(或它的延长线)上截
取A1D=AB，过点D作DE//B1C1，
交A1C1于点E，
∴△A1DE∽△A1B1C1
证明：
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
知1－讲
感悟新知
∵∠A=∠A1,
∴△A1DE≌△ABC
∴△ABC∽△A1B1C1
知1－讲
感悟新知
结论：
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
可以简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
特别提醒
由三边成比例判定两三角形相似与由三边对应相等判定两三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可.
应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分
母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况，用大边
对大边，小边对小边的思路找对应边.
知1－讲
感悟新知
感悟新知
知1－练
例 1
根据下列条件,判断 是否相似,并说
明理由.∠A=120°,AB=7cm, AC=14cm. ∠A ′=120°,
A′B′=3cm, A′C′=6cm.
解：
知1－讲
总 结
感悟新知
利用三角形两边成比例且夹角相等证两三角形相似
的方法：
首先找出两个三角形中相等的那个角；再分别
找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列
找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若成
比例则两个三角形相似，否则不相似.
感悟新知
知1－练
1
根据下列条件，判断 是否相似，并说明理由.
∠A=40°, AB=8cm, AC=15cm.
∠A′=40°，A′B′=16cm, A′C′=30cm.
解：相似
又∵∠A＝∠A′＝40°， ∴△ABC∽△A′B′C′.
特别提醒
由三边成比例判定两三角形相似与由三边对应相等判定两三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可.
应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分
母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况，用大边
对大边，小边对小边的思路找对应边.
知1－讲
感悟新知
知识点
网格上相似三角形的判定
知2－练
感悟新知
2
例2
如图，在△ABC中，AB＝16，AC＝8，在AC上
取一点D，使AD＝3，如果在AB上取点E，使
△ADE和△ABC相似，求AE的长．
错解：设AE的长为x.∠A是公共角，
要使△ADE和△ABC相似，
则有
解得x＝6.所以AE的长为6.
知2－练
感悟新知
错解分析：已知有一对角相等，要使这两个三角形相似，夹
这对角的两边对应成比例．但两边的对应关系无
法确定，所以应分两种情况考虑．
知2－练
感悟新知
正解：设AE的长为x.∠A是公共角，
要使△ADE和△ABC相似，
则有
即
解得x＝6或x＝1.5.
所以AE的长为6或1.5.
知2－讲
总 结
感悟新知
判定两个三角形相似，当已知有两边成比例，
可证明第三边也与这两边成比例，也可证明夹角
相等；若已知有一对角相等，则可证明夹这对角
的两边对应成比例．当无法确定对应关系时，必
须进行分类讨论．
知2－练
感悟新知
如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，那么AE＝
______________．
1
课堂小结
相似三角形
（1）要识别两个三角形相似，要找到这两个三角形有
两边成比例，再找到上述两边的夹角相等，即可
判定这两个三角形相似．
课堂小结
相似三角形
（2）当题目中告诉两个三角形某些边的长度，又有对
顶角或公共角或告诉了某个角的度数时，我们要
首先考虑这个判定方法．(共30张PPT)
27.2 相似三角形
第8课时 相似三角形应
用举例
第二十七章 相 似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
用相似三角形测量高度
用相似三角形测量宽度
知识点
用相似三角形测量高度
知1－讲
感悟新知
1
对于学校里旗杆的高度，我
们是无法直接进行测量的．但是
我们可以根据相似三角形的知识，
测出旗杆的高度．结合右面的图
形，大家思考如何求出高度.
知1－讲
感悟新知
利用阳光下的影子测高：
(1)构造相似三角形，如图.
(2)测量数据：AB(身高)，BC(人影长)，BE
(旗杆影长)；待求数据：DE(旗杆高)．
(3)计算理由：
因为AC∥DB(平行光)，所以∠ACB＝∠DBE.
因为∠ABC＝∠DEB＝90°(直立即为垂直)，
所以△ABC∽△DEB，有
特别提醒
运用此测量方法时，要符合下列两个条件：
1.被测物体的底部能够到达；
2.由于影长可能着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
总 结
感悟新知
测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，
常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与
影长)来解决．常见的测量方式有四种，如图所示.
知1－讲
感悟新知
(1)由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的
移动而发生变化．因此，度量影子的长一定要在
同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性．
(2)太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看
成平行光线．
(3)此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不
到被测物体的影长，从而计算不出物体的高．
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利
用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木 杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测
得OA为201 m， 求金字塔的高度BO.
感悟新知
知1－练
例 1
怎样测出OA的长？
知1－练
感悟新知
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF.
又∠AOB=∠DFE=90°，
∴ △ ABO∽ △DEF.
∴
∴
因此金字塔的高度为134 m.
知1－讲
总 结
感悟新知
利用影长测量不能直接测量的物高的方法：利用
同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似
三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、
人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人影
来计算出物高．
感悟新知
知1－练
在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为
3 m，同时测得一栋楼的影长为90 m，这栋楼的高
度是多少？
解：设这栋楼的高度是x m．
由题意得
解得x＝54.
因此这栋楼的高度是54 m.
感悟新知
知1－讲
小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高l.2 m，
又测得地面部分的影长2.7 m，他求
得的树高是多少
问 题
感悟新知
知1－讲
解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，
因此BE=CD=1.2 m，CE=BD=2.7 m，
由
所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2 (m).
答：这棵树的高为4.2 m．
知1－讲
归 纳
感悟新知
1.与测量有关的概念：
(1)视点：观察物体时人的眼睛称为视点．
(2)仰角：测量物体的高度时，水平视线与观察物
体的视线间的夹角称为仰角．
(3)盲区：人的视线看不到的区域称为盲区．
2.测量原理：用标杆或直尺作为三角形的边，利用视
点和盲区的知识构造相似三角形．
知1－讲
归 纳
感悟新知
3.测量方法：如图，观测者的眼睛C必须与标杆的顶
端D和物体的顶端A“三点共线”，标杆与地面要
垂直，测量出标杆的高度DF， 人眼离地面的高度
CE，人与标杆的距离EF，标杆与物体的
距离FG. 利用相似三角形“对应边的比
相等”的性质求物体的高度AG.
知1－讲
归 纳
感悟新知
利用标杆或直尺测量物体的高度也叫目测，在
日常生活中有着广泛的应用，必要时可以用自己的
身高和臂长等作为测量工具．
如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB = 8 m和
CD = 12 m，两树底部的距离BD = 5 m，一个人估计
自己眼睛距地面1. 6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水
平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小
于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
知1－练
感悟新知
例2
知1－练
感悟新知
分析：如图 ，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水
平视线FG，分别交AB，CD于点H，K．视线FA与FG
的夹角∠AFH是观察点A时的仰角．类似地，∠CFK
是观察点C时的仰角．由于树的遮挡， 区域Ⅰ和Ⅱ ，
观察者都看不到.
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位
置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.
∵AB⊥l，CD ⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH ∽△CEK. ∴
即
解得EH=8(m).
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距
离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的
顶端C.
知1－练
感悟新知
知1－讲
总 结
感悟新知
解实际问题关键是找出相似的三角形，然后根
据对应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型
来解决问题．
知1－练
感悟新知
1 如图，测得BD = 120 m，DC=60m，EC=50 m，
求河宽AB.
∵∠B＝∠C＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD.
∴
解得AB＝100 m.
因此河宽AB为100 m．
解：
知识点
用相似三角形测量高度
知2－讲
感悟新知
2
若在一个阴天，没有太阳光，还能测量金字塔的高度吗
用镜面反射(如图，点A是一面小镜子，根据光的反射定
律：由入射角等于反射角构造相似三角形)．
分析：根据光的反射定律由入射
角等于反射角构造△AOB
与△AFE相似，即可利用
对应边的比相等求出BO．
问 题
特别提醒
利用标杆测量物体的高度是生活中经常采用的方法，使用
这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时被测物体底部必须可到达.
知2－讲
感悟新知
知2－讲
总 结
感悟新知
利用相似三角形测量的一般步骤：
利用相似三角形的知识对未知量(高度、宽度等)进行测量，
一般要经历以下几个步骤：
(1)利用平行线、标杆等构造相似三角形；
(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外任
意一组对应边的长度；
(3)画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括
未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；
(4)检验并得出答案．
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选
定一个目标点P，在近岸取点Q和 S，使点P，Q，S共 线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS 垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与
过点Q且垂直PS的直线b的交
点R．已 测得QS = 45 m，
ST = 90 m，QR = 60 m，请
根据这些数据，计算河宽PQ.
知2－练
感悟新知
例 3
知2－练
感悟新知
解： ∵ ∠PQR= ∠PST=90°, ∠P= ∠P,
∴ △PQR ∽ △PST.
∴
即
PQ×90=(PQ+45) ×60.
解得 PQ = 90(m).
因此，河宽大约为90 m.
知2－讲
总 结
感悟新知
测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构
造两个相似三角形，利用能测量的三角形的边长及
相似三角形的性质求此距离．
知2－练
感悟新知
1 如图是一位同学设计的用手电筒来测
量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平
面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古
城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，
测得AB＝2 m，BP＝3 m，
PD＝12 m，那么该古城墙
的高度CD是________．
8 m
课堂小结
相似三角形
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面：
1 . 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；
2 . 测距(不能直接测量的两点间的距离).
、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决 .
课堂小结
相似三角形
、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.(共24张PPT)
27.2 相似三角形
第6课时 用角的关系判定
三角形相似
第二十七章 相 似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
用角的关系判定三角形相似定理
直角三角形相似的判定
知识点
用角的关系判定三角形相似定理
知1－讲
感悟新知
1
这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？
三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
三个内角对应相等.
观察你与老师的直角三角尺 , 相似吗？
知1－讲
感悟新知
画一个三角形，使三个角分别为60°，45°, 75° .
①分别量出两个三角形三边的长度；
②这两个三角形相似吗
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．
相似
一定需三个角对应相等吗？
知1－讲
感悟新知
相似三角形的判别方法1：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似吗？
知1－讲
感悟新知
C
A
A'
B
B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
用数学符号表示：
相似三角形的判定
(两个角分别对应相等的两个三角形相似.)
感悟新知
知1－练
例 1
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是
AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D,求AD的长.
解：∵ ED⊥AB，
∴ ∠EDA=90°.
又∠C=90 °， ∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC.
知1－讲
总 结
感悟新知
当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，
往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，
再找夹等角的两边对应成比例.找角相等时应注意
挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等.
感悟新知
知1－练
底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论.
1
底角相等的两个等腰三角形相似．已知：在△ABC中，AB＝AC，在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′，且∠B＝∠B′. 求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，同理∠B′＝∠C′.又∵∠B＝∠B′，∴∠C＝∠C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 顶角相等的两个等腰三角形相似．已知：在△ABC中，AB＝AC，在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′，且∠A＝∠A′.求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，同理∠B′＝∠C′.又∵∠B＝ ∠B′＝
∠A＝∠A′，∴∠B＝∠B′.又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.
解：
知识点
直角三角形相似的判定
知2－讲
感悟新知
2
思考：
我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.
那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
吗？
事实上，这两个直角三角形相似.下面我们给出证明.
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C＝90°，
∠C′＝90°，
求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ .
知2－讲
感悟新知
分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ，可设法证
知2－练
感悟新知
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
知2－讲
总 结
感悟新知
直角三角形相似的判定定理：
(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；
(2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似．
知2－讲
总 结
感悟新知
数学表达式：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
(1)∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′；
(2)∵∠C＝∠C′＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
知2－讲
总 结
感悟新知
直角三角形相似的判定方法：
有一锐角对应相等 两直角三角形相似
有两组直角边对应成比例 两直角三角形相似
有斜边与一直角边对应成比例 两直角三角形相似
知2－练
感悟新知
例2
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条
件中不能判定这两个三角形相似的是( )
A．∠A＝55°，∠D＝35°
B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
C
知2－练
感悟新知
导引：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．
A．∵∠A＝55°，∴∠B＝90°－55°＝35°.
∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D.
又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△EDF；
知2－练
感悟新知
B．∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，
∴
又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△DEF；
C．由题目中知∠C＝∠F＝90°，但已知条件中不能得出两
组对应边成比例，故不能判定两三角形相似．
D．∵AB＝10，AC＝8，∴由勾股定理可得BC＝6.
又DE＝15，EF＝9，∴
又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△DEF.
知2－讲
总 结
感悟新知
判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应相
等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应
成比例．
特别提醒
由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角.一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.
知2－讲
感悟新知
知2－练
感悟新知
如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.
求证：(1)△ACD∽△ABC； (2)△CBD∽△ABC.
1
A
B
D
知2－练
感悟新知
(1)∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB.
又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.
(2)∵CD是斜边AB上的高，
∴∠CDB＝90°.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠CDB＝∠ACB.
又∵∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC.
证明：
课堂小结
相似三角形
判定两三角形相似的思路：
(1)平行于三角形一边的直线，找两个三角形；
(2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成
比例；
(3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例；
课堂小结
相似三角形
(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成
比例．
(5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两直角边对应成比例，
或斜边、一直角边对应成比例．(共18张PPT)
27.2 相似三角形
第1课时 平行线分线段成比例
第二十七章 相 似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平行线分线段成比例的基本事实
平行线分线段成比例基本事实的推论
知识点
相似三角形
知1－讲
感悟新知
1
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形
叫相似多边形
2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三
角形叫相似三角形
相似三角形对应边的比，叫做相似比.
特别提醒
1.相似三角形的定义可以作为相似三角形的判定方法，
也是相似三角形最重要的性质.
2.相似三角形具有传递性，即若△ ABC ∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△ A″ B″ C″ .
3.相似三角形的相似比具有顺序性，即如果△ABC与△A′B′C′的相似比为k，那么△A′B′C′与△ABC的相似比为 .
4.全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为1的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形.
知1－讲
感悟新知
知识点
平行线分线段成比例的基本事实
知1－讲
感悟新知
1
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其他直线上截得的线段也相等.
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l3
l2
符号语言
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1
？
？
知1－讲
感悟新知
几何语言
∵ l1//l2//l3
(平行线分线段成比例)
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
D
E
F
A
B
C
l1
l2
l3
l4
l5
∴
要点解读
1.一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；
2. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段,与这组平行线上的线段无关；
3.利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意
对应线段写在对应的位置上.
知1－讲
感悟新知
感悟新知
知1－练
例 1
如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，
下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
导引：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实
的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形
中找出比例线段即可判断．
C
知1－练
感悟新知
解析：根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比
例的基本事实可得解．
∵AB∥CD∥EF，
故选项A，B，D正确．
∵CD∥EF，∴ 故选项C错误．
知1－讲
总 结
感悟新知
在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可
从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位
角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之
间的关系，即平行线分线段成比例．
知1－讲
感悟新知
如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相
交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么
＝______．
1
知识点
平行于三角形一边的直线的性质
知2－讲
感悟新知
2
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边
的延长线），所得的对应线段成比例.
数学表达式：
如图，∵DE∥BC，
如图，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证：
解析: 先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥
CD，再根据平行于三角形一边的直线的性质
得出对应边成比例即可得出结论．
感悟新知
知2－练
例4
感悟新知
知2－练
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC.
（平行于三角形一边的直线截其他两
边，所得的对应线段成比例）.
同理可得
知2－讲
总 结
感悟新知
本题是证明等积式的典型题.要证明 经
常要把它转化为两个等式： 我们通常
把 叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过
找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它
的推论来构造比例式.
感悟新知
知2－讲
如图，在△ABC中，FG∥DE∥BC，已知DF＝3，
AG＝EC＝2，则下列四个等式中一定正确的是( )
A．FG·DE＝6
B．DB·GE＝6
C．FG:DE＝2:3
D．CE:DB＝3:2
1
B
课堂小结
相似三角形
平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的
功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线得线
段成比例的基本思路是：
(1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：
“ 型”或“ 型”，得到相应的比例式；
课堂小结
相似三角形
(2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，
一般从分点或中点出发作平行线．
