(共26张PPT)
26.1 反比例函数
第2课时 反比例函数的图象
和性质
第二十六章 反比例函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
反比例函数的图象
反比例函数的性质
课时导入
1.什么是反比例函数？
一般地，形如 （k是常数， ）的函数
叫做反比例函数.
2.反比例函数的定义中需要什么？
（1）k是非零实数.
（2）xy=k.
知识点
反比例函数的图象
知1－讲
感悟新知
1
如何画函数的图象？
函数图象画法
描点法
列表
连线
描点
提问：反比例函数的图像与性质又如何呢？
这节课开始我们来一起探究吧.
知1－讲
感悟新知
利用以前所学的方法画出反比例函数
的函数图象.
知1－讲
感悟新知
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
O
-6
-5
5
6
x
y
-1
-6
x
x
-2
-3
-3
-1.5
-2
-4
-5
-1.2
-6
-1
…
…
1
6
2
3
3
2
4
1.5
5
1.2
…
1
6
…
列表
描点
连线
注意：列表
时自变量取
值要均匀和
对称
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
知1－讲
感悟新知
-1
x
x
-2
-3
-4
-5
-6
…
1
-6
2
-3
3
-2
4
-1.5
5
-1.2
…
-1
6
…
6
3
1.5
2
1.2
1
…
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
O
-6
-5
5
6
y
x
知1－讲
感悟新知
函数图象在第一、三象限内
函数图象在第二、四象限内
当k＞0时
当k＜0时
反比例函数图象的特点：
知1－讲
感悟新知
特别提醒
由于反比例函数图象的两个分支关于原点对称，所以只要画出它在一个象限内的分支，就可以对称地画出另一个分支.
画实际问题中的反比例函数的图象时，要考虑自变量取值范围的限制，一般地，实际问题的图象是反比例函数图象在第一象限内的一支或其中一部分.
感悟新知
知1－练
例 1
画出反比例函数 的图象.
导引：按照画函数图象的步骤进行．
解：列表:
x -8 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 8
1 2 4 8 -8 -4 -2 -1
知1－练
感悟新知
(2)描点;
(3)连线.
5
1
2
3
4
6
-4
-1
-2
．
-3
-5
-6
1
2
4
5
6
3
-6
-5
-1
-3
-4
-2
0
．
．
．
y
x
.
.
.
.
-7
-7
-8
7 8
.
7
8
.
．
．
-8
.
．
．
知1－讲
总 结
感悟新知
列表时，自变量的值可以以0为中心，在0的两边选
择绝对值相等而符号相反的值，既可简化运算又便
于描点；在列表、描点时要尽量多取一些数据，多
描一些点，方便连线．
知1－讲
感悟新知
1 下列图像中是反比例函数图象的是( )
C
知识点
反比例函数的性质
知2－讲
感悟新知
2
思考
观察反比例函数 与 的图象，回答下面的问题：
(1) 每个函数的图象分别位于哪些象限？
在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们
的解析式说明理由吗？
感悟新知
知2－讲
反比例函数 的图象在哪两个象限，由什么确定？
当k>0时,两支曲线分别位于第一，三象限内；
当k<0时,两支曲线分别位于第二，四象限内.
答：由k的符号决定．
感悟新知
知2－讲
函数图象在第一、三象限内，在每一个 象限内，y随x的增大而减小；
函数图象在第二、四象限内，在每一个 象限内，y随x的增大而增大；
当k＞0时
当k＜0时
反比例函数的性质：
知1－讲
感悟新知
特别提醒
在描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每一个象限内”.因为当k ＞ 0(k ＜ 0) 时，整个函数不是y随x的增大而减小(增大)，而是函数在每一个象限内，y随 x 的增大而减小( 增大)，所以笼统地说“对于函数y= ，
y随x的增大而减小”是错误的.
感悟新知
知2－练
例2
已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象位于哪些象限？ y随x的增大如何
变化？
(2)点B(3，4)，C ，D(2，5)是否在这个
函数的图象上？
感悟新知
知2－练
解：(1)因为点A (2, 6)在第一象限，所以这个函数的图象
位于第一、 第三象限，在每一个象限内，y随x的
增大而减小.
(2)设这个反比例函数的解析式为 因为点A
(2, 6)在其图象上，所以点A的坐标满足
即
解得k=12.
感悟新知
知2－练
所以，这个反比例函数的解析式为
因为点B，C的坐标都 点D的坐标不满足
所以点B，C在函数 的图象上，点D不在这个
函数的图象上
如图26. 1-4,它是反比例函数
图象的一支.根据图象，回答下列问题：
(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的 取值范围是
什么？
(2)在这个函数图象的某一支上
任取点A (x1,y1)和点B(x2，y2).
如果x1＞x2，那么y1和y2
有怎样的大小关系？
感悟新知
知2－练
例 3
感悟新知
知2－练
解：(1)反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、
第三象限，或者位 于第二、第四象限.因为这个函数
的图象的一支位于第一象限，所以另一支必 位于
第三象限.
因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以
m-5＞0，解得 m>5.
(2)因为m — 5>0,所以在这个函数图象的任一支上，
y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＜y2.
知2－讲
总 结
感悟新知
反比例函数的增减性由比例系数的正负性决定，
反之亦成立，但一定要注意在同一象限，本题“x＞
0”就是阐明在同一象限．
填空：
(1)反比例函数 的图象在________象限.
(2)反比例函数 的图象如图所示，则k_____0；
在图象的每一支上，y随x的增大而________.
感悟新知
知2－练
一、三
＜
增大
课堂小结
反比例函数
反比例函数的图象和性质
1.形状
反比例函数的图象是由两支曲线组成的，
因此称反比例函数的图象为双曲线.
课堂小结
反比例函数
2.位置
当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；
当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.(共17张PPT)
26.1 反比例函数
第3课时 反比例函数的几何
性质
第二十六章 反比例函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
反比例函数图象上点的坐标
反比例函数中k的几何性质
反比例函数图象的对称性
课时导入
复习回顾
反比例函数解析式 图象 位置 增减性
(k＞0) 第一、三象限 在每个象限内，y随x的增大而减小
(k＜0) 第二、四象限 在每个象限内，y随x的增大而增大
知识点
反比例函数中k的几何性质
知1－练
感悟新知
1
已知反比例函数 的图象经过点（2,3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）
A.（－6，1） B.（1，6）
C.（2，－3） D.（3，－2）
B
例 1
知1－练
感悟新知
导引：根据图象上点的坐标与解析式之间的关系，先求解析式，再确定点的坐标。将（2,3）带入解析式，的k＝6.分别将A,B,C,D中点的坐标带入解析式，发现B中的点再图象上.
知识点
反比例函数中k的几何性质
知2－讲
感悟新知
2
双曲线的几何特性：过双曲线 上的任意一点
向两坐标轴作垂线，与两坐
标轴围成的矩形面积等于
|k|，连接该点与原点，还
可得出两个直角三角形，
这两个直角三角形的面积
都等于 .
感悟新知
知2－练
例 1
如图，两个反比例函数 和
在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1
上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面
积为________．
导引：根据反比例函数中k的几
何意义，得△POA和△BOA的
面积分别为2和1，于是阴影部
分的面积为1.
1
知2－讲
总 结
感悟新知
求阴影部分面积的方法：
当它无法直接求出时，一般都采用“转化”的
方法，将它转化为易求图形面积的和或差来进行计
算．如本例就是将阴影部分面积转化为两个与比例
系数相关的特殊三角形的面积的差来求，要注意转
化思想的运用．
知2－练
感悟新知
如图，点A为反比例函数
图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则
△ABO的面积为( )
A．－4
B．4
C．－2
D．2
D
知识点
反比例函数图象的对称性
知3－讲
感悟新知
3
反比例函数的图象关于原点成中心对称，也就
是把它的图象旋转180°与原图形重合，这是反比例
函数的一个重要性质，就常用来求点的坐标和图形
的面积等
如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与
双曲线 相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x
轴，垂足为C，△AOC的面积是1.
(1)求m，n的值；
(2)求直线AC对应的函数解析式．
感悟新知
知3－练
例2
感悟新知
知3－练
导引：(1)由题意，根据对称性得到点B的横坐标为1，确定
出点C的坐标，根据△AOC的面积求出点A的纵坐标，
确定出点A的坐标，将点A的坐标代入正比例函数与
反比例函数解析式，即可求出m与n的值；
(2)设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b，将A，C
两点坐标分别代入求出k与b的值，即可确定出直线
AC对应的函数解析式．
感悟新知
知3－练
解：(1)∵直线y＝mx与双曲线 相交于A(－1，a)，
B两点，
∴B点横坐标为1.∴C(1，0)．
∵△AOC的面积为1，
∴ ×a×1＝1，∴a＝2，
∴A(－1，2)．
将A(－1，2)的坐标代入y＝mx，
可得m＝－2，n＝－2.
感悟新知
知3－练
(2)设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b，
∵直线y＝kx＋b经过点A(－1，2)，C(1，0)，
∴ 解得
∴直线AC对应的函数解析式为y＝－x＋1.
知3－讲
总 结
感悟新知
反比例函数与正比例函数的图象都是中心对称
图形，所以在同一坐标系中，两个函数图象的两个交
点关于原点对称．
感悟新知
知3－练
下列给出的函数中，其图象是中心对
称图形的是( )
①函数y＝x；②函数y＝x2；③函数
A．①② B．②③
C．①③ D．都不是
C
课堂小结
反比例函数
1.反比例函数中k的几何性质：过双曲线 (k≠0)
上任一点向两坐标轴作垂线所得的矩形面积等于|k|；
向一坐标轴作垂线且与原点连线所得的三角形面积等
于 |k|.
2.双曲线关于直线y＝x和直线y＝－x成轴对称．(共26张PPT)
26.1 反比例函数
第1课时 反比例函数
第二十六章 反比例函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
反比例函数的定义
求反比例函数解析式
建立反比例函数的模型
课时导入
让我们一起回顾上学期学习的二次函数内容吧！
变量，常量的概念；
自变量，函数，函数值；
函数的表达法；
二次函数的解析式，图象特征，a，b，c的意义；
自变量的取值范围 .
知识点
反比例函数的定义
知1－讲
感悟新知
1
问 题
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？
(1)京沪线铁路全程为1 463 km，某次列车的平均速度
v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t (单位：h)
的变化而变化；
知1－讲
感悟新知
某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪的长y (单位：m)随宽x (单位：m)的变化而变化；
已知北京市的总面积为 km2,人均占有面积S (单位：km2/人）随全市总人口 n (单位：人）的变化而变化 .
知1－讲
感悟新知
一般地，形如y＝ (k为常数，k≠0)的函数叫
做反比例函数，其中x是自变量，y是函数．
（k ≠ 0）
自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数．
知2－讲
感悟新知
特别提醒
反比例函数的解析式y= 中无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数.若k=0，则y= =0恒成立，失去了x，y成反比例的意义.所以k≠0.
知1－讲
感悟新知
等价形式：（k≠0）
y=kx－1
xy=k
y是x的反比例函数
记住这三种形式
知道
感悟新知
知1－讲
你还能举出生活中反比例函数的例子吗
每位同学找一个,与同桌交流 .
感悟新知
知1－练
例 1
导引：
①②③⑦⑧
知1－讲
总 结
感悟新知
判断一个函数是不是反比例函数的方法：
1. 按照反比例函数的定义判断；
2. 看两个变量的关系式是否符合反比例函数的三种形
式中的一种 .
感悟新知
知1－练
1 下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？
y=4x, = 3, y =
， xy = 123.
解：
知识点
求反比例函数的解析式
知2－讲
感悟新知
2
1. 求反比例函数的解析式，就是确定反比例函数解析式
y ＝ (k≠0)中常数k的值，它一般需经历：
“设→代→求→还原”这四步．
即：(1)设：设出反比例函数解析式y＝ ；
(2)代：将所给的数据代入函数解析式；
(3)求：求出k的值；
(4)还原：写出反比例函数的解析式．
知2－讲
感悟新知
特别解读
用待定系数法求反比例函数的解析式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程.
当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数的解析式为y=
(k为常数，k ≠ 0).
感悟新知
知2－讲
2．由于反比例函数的解析式中只有一个待定系数k，
因此求反比例函数的解析式只需一组对应值或一
个条件即可．
感悟新知
知2－练
例2
知2－讲
总 结
感悟新知
确定反比例函数解析式的方法：在明确两个变量
为反比例函数关系的前提下，先设出反比例函数的解
析式，然后把满足反比例函数关系的一组对应值代入
设出的解析式中构造方程，解方程求出待定系数，从
而确定反比例函数的解析式．
感悟新知
知2－练
已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4.
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当x = 1.5时，求y的值；
(3)当y = 6时，求x的值.
解：
知识点
建立反比例函数的模型
知3－讲
感悟新知
3
确定实际问题中的反比例函数表达式类似于列二
元一次方程，两个变量就是两个未知数，关键是认真
审题，找到两个变量间的等量关系．比如面积s一定时，
矩形的长x和宽y的关系式为y= (s为定值)．这里只
有一个待定系数s，因此只需知道一组x，y的值即可求
出这个反比例函数的关系式．
用反比例函数解析式表示下列问题中两个变
量间的对应关系：
(1)小明完成100 m赛跑时，所用时间t(s)随他跑步
的平均速度v(m/s)的变化而变化；
(2)一个密闭容器内有气体0.5 kg，气体的密度
ρ(kg/m3)随容器体积V(m3)的变化而变化；
(3)压力为600 N时，压强p随受力面积S的变化而变化；
(4)三角形的面积为20，它的底边a上的高h随底边
a的变化而变化．
感悟新知
知3－练
例 3
感悟新知
知3－练
导引：先根据每个问题中两个变量与已知量之间的等量
关系列出等式，然后通过变形得到函数解析式．
解：(1)∵vt＝100，∴t＝ (v＞0)；
(2)∵0.5＝ρV，∴ρ＝ (V＞0)；
(3)∵pS＝600，∴p＝ (S＞0)；
(4)∵ ah＝20，∴h＝ (a＞0)．
知3－讲
总 结
感悟新知
建立反比例函数的模型，首先要找出题目中的
等量关系，然后把未知量用未知数表示，列出等式，
转化为反比例函数的一般式即可.同时注意未知数的
取值范围.
1 用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：
(1)一个游泳池的容积为2 000 m3，游泳池注满水所用时间t
(单位：h)随注 水速度v (单位：m3/h)的变化而变化；
(2)某长方体的体积为1000 cm3，长方体的高h(单位：cm)随
底面积S (单 位：cm2)的变化而变化；
(3) 一个物体重100 N，物体对地面的压强p (单位:Pa)随物体
与地面的接触 面积S (单位：m2)的变化而变化.
感悟新知
知3－练
解：
课堂小结
反比例函数
用待定系数法确定反比例函数解析式的“四步骤”：
(1)设：设反比例函数的解析式为y＝ ；
(2)列：把已知的x与y的一对对应值代入y＝ ，
得到关于k的方程；
(3)解：解方程，求出k的值；
课堂小结
反比例函数
(4)代：将求出的k的值代入所设解析式中，即得到所求
反比例函数的解析式．
课堂小结
反比例函数
用20元钱买钢笔，写出钢笔的单价y(元)与支数x(支)之间的
关系式：________，x的取值范围为________________．
易错点：忽视了自变量的实际意义造成错误.
x为正整数
