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24.3 正多边形和圆
【基础训练】
一、单选题
1．正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【答案】B
【分析】
正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．
【详解】
正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°
故选：B
【点睛】
本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角．
2．如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于（ ）21cnjy.com
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A．72° B．54° C．36° D．64°
【答案】B
【分析】
根据正五边形内接于，可得，再根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可得，再根据三角形内角和定理即可得．
【详解】
解：∵正五边形内接于，
∴
∵与所对的弧相同
∴
∴=
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆内接正多边形的性质及同弧所对的圆周角和圆心角的性质，解题的关键是求出所对的圆心角．www.21-cn-jy.com
3．如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
综合圆的内接四边形的性质及圆周角定理即可求解．
【详解】
根据圆周角定理可得，∠BCD=∠BOD=50°，
又由圆的内接四边形性质可知，∠C+∠A=180°，
∴∠DAB=180°-50°=130°，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角定理和圆的内接四边形性质，熟记性质并灵活运用是解题关键．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠DCE＝50°，则∠A等于（ ）
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A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】B
【分析】
根据圆内接四边形的性质可直接得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠DCE＝50°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE＝50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆的内接四边形的性质，熟练掌握基本性质并运用求解是解题关键．
5．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝125°，
∴∠C＝180° ∠A＝55°，
∴∠BOD＝2∠C＝110°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD是园内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=110°，则∠DCE的大小是（ ）
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A．70° B．105° C．110° D．120°
【答案】C
【分析】
由 ，便可计算∠DCE的大小了．
【详解】
解：四边形ABCD是圆内接四边形
故选C
【点睛】
本题考查圆内接四边形对角互补的性质，理解是关键．
7．如图，是正六边形的外接圆，是弧上一点，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接OC，OD，构造圆心角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．
【详解】
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解：连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD= =60°，
∴∠CPD= ∠COD=30°.
故选A．
【点睛】
本题考查正多边形和圆以及圆周角定理，解题的关键是构造圆心角．
8．如图，在中，四边形测得，连接，若的半径为4，则的长为（ ）
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A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
连接OA，OC，利用内接四边形的性质得出∠D＝30°，进而得出∠AOC＝60°，利用等边三角形性质解答即可．
【详解】
解：连接OA，OC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠D＝180°，
解得：∠D＝30°，
∴∠AOC＝60°，
又OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
又AC=4，
∴半径OC=OA=4.
故选：C．
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【点睛】
此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠D＝30°．
9．如图，在由边长相同的7个正六边形组成 ( http: / / www.21cnjy.com )的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( )
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
确定AB的长度后即可确定点C的位置．
【详解】
AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，
据此可以确定共有2个点C，位置如图，
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故选：B．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆以及等腰三角形的判定，解题的关键是确定AB的长，难度不大．
10．圆的内接四边形的四个内角之比的可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解．
【详解】
解：圆的内接四边形对角互补，
，
的可能的值是．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆的内接多边形的性质，此题比较简单，注意圆的内接四边形的对角互补定理的应用是解此题的关键．
11．在圆内接四边形中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据可设，则，然后利用圆内接四边形对角互补可得，解得x，从而求出各角度数．
【详解】
解：设，因为，
则，
根据圆内接四边形对角互补可得，
所以，
解得，
所以∠B=90°，∠D=180°-∠B=90°．
故选A．
【点睛】
本题主要考查圆内接四边形对角互补的性质．熟练掌握圆内接四边形对角的性质是解答本题的关键．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，若∠D＝110°，则∠ABE的度数是（ ）
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A．30° B．35° C．50° D．55°
【答案】B
【分析】
根据圆内接四边形的性质得到，根据角平分线的定义计算即可．
【详解】
解：四边形是的内接四边形，
，
平分，
，
故选：．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13．如图，四边形是圆内接四边形，是延长线上一点，若，则的大小是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．21·cn·jy·com
【详解】
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD．
∵∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
14．将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的，点D是边上一点，沿线段剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据折叠的性质易得∠BAC=45°，然后由正多边形的性质可进行排除选项．
【详解】
解：由题意得：∠BAC=45°，
∴沿线段BD剪开，展开图即为八边形，
若使展开后得到的是一个正八边形，则需满足以点A为圆心，AD、AB为半径即可，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质，熟练掌握正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质是解题的关键．
15．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则的比值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，分别表示出黑色部分面积和正方形的面积，进而即可求得的比值．
【详解】
设正方形的边长为2a，则圆的半径为a
∴，圆的面积为
∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称
∴黑色部分面积为圆面积的一半
∴
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了阴影部分面积的求解， ( http: / / www.21cnjy.com )准确运用字母表示正方形面积和圆形面积并结合多边形内切圆性质、中心对称图形性质等相关知识点是解决本题的关键．
16．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形的中心重合，且与边、相交于、（如图）．图中阴影部分的面积记为，三条线段、、的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．变化，不变 B．不变，变化
C．变化，变化 D．与均不变
【答案】D
【分析】
如解析图，利用全等三角形的判定与性质，证明△AOG≌△COH，从而得到AG=CH，最终将所求问题转换到四边形OABC中进行判断即可．
【详解】
如图所示，连接OA，OC，
由正六边形的性质可知，
OA=OC，∠AOC=∠GOH=120°，∠OAG=∠OCH=60°，
∴∠AOG=∠COH，
在△AOG与△COH中，
∴△AOG≌△COH(ASA)，
∴，AG=CH，
∴，
，
∵正六边形ABCDEF的边长为定值，
∴l不改变，四边形OABC的面积不改变，即S不改变，
故选：D．
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【点睛】
本题考查正多边形的性质以及全等三角形的判定与性质，理解正六边形的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
17．如图，正五边形内接于，点P为（点P与点D，点E不重合），连接，DG⊥PC，垂足为G，则等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接OC，OD．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论．
【详解】
解：连接OC，OD．
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在正五边形ABCDE中，∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD=90°，
∴∠PDG=90°-36°=54°，
故选：B．
【点睛】
本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．如图①，直六棱柱的底面是正六 ( http: / / www.21cnjy.com )边形，侧面ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，现用一块矩形纸板EFGH制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF的长是（ ）21*cnjy*com
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A．（20+10）cm B．（30+10）cm C．（20+20）cm D．40cm
【答案】C
【分析】
直接利用正六边形的性质结合六棱柱侧面展开图的性质分析得出答案．
【详解】
如图所示：
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可得MN＝BC＝20cm，
△OWM是等边三角形，边长为10cm，
则它的高为：＝5（cm），
故FG＝20+4×5＝（20+20）cm．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正多边形，正确掌握正六边形的性质是解题的关键．
19．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等 ( http: / / www.21cnjy.com )的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的周长为12，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（ ）
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A．24 B．20 C．8 D．16
【答案】B
【分析】
由题可知，求解剩余部分拼成的五边形 ( http: / / www.21cnjy.com )的面积，需要利用Rt△OBC，求解正六边形面积和两个直角三角形面积；最后正六边形面积减去两倍Rt△OBC的面积即可．
【详解】
依题意，如图，
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根据题意得：∠BOC＝30°，设BC＝x，则OB＝2x，，
∴2（x+2x）＝12，
解得x＝2，
∴OC＝，
∴ ；
∴ 正六边形的面积＝；
∵ 拼成一个四边形的面积为：；
∴纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为：；
故选：B．
【点睛】
本题考查正六边形的性质及面积求法，重点在于利用正六边形分解成12个全等直角三角形的方法．
20．如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（ ）
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A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】
连接OB，OC，OA，根据圆内接正三角形，正方形可求出，的度数，进而可求的度数，利用，即可求得答案．
【详解】
如图：连接OB，OC，OA，
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为圆内接正三角形
四边形ACDF为圆内接正方形
若以BC为边的圆内接正边形，则有
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆内接正多边形中心角的求法，熟练掌握圆内接正多边形的中心角等于（为正多边形的边数）是解题关键．
21．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，己知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（ ）
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A．6 B．12 C．12 D．24
【答案】C
【分析】
如图，先求解正六边形的中心角，再证明是等边三角形，从而可得答案．
【详解】
解：如图，为正六边形的中心，为正六边形的半径，
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为等边三角形，
正六边形ABCDEF的周长为
故选：
【点睛】
本题考查的是正多边形与圆，正多边形的半径，中心角，周长，掌握以上知识是解题的关键．
22．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
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A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
连接AC、BD、OF，由角平分线性质解得∠OAF＝30°，再根据等边对等角性质，解得∠OFA＝∠OAF＝30°，继而得到∠COF＝60°，再根据60°的正弦值解得FI的值，从而得到EI的值，继而得到，再解得GH的值即可解题．
【详解】
如图，连接AC、BD、OF，
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设⊙O的半径是r，
则OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF＝60°÷2＝30°，
∵OA＝OF，
∴∠OFA＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°+30°＝60°，
∴FI＝r sin60°＝r ，
∴EF＝，
∵AO＝2OI，
∴OI＝，CI＝r﹣＝，
∴，
∴，
∴，
即则的值是．
故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形与外接圆的综合，涉及角平分线的性质、正方形的性质、正弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2-1-c-n-j-y
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ）
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A．50° B．65° C．115° D．130°
【答案】C
【分析】
先根据圆周角定理求出的度数，再根据圆的内接四边形对角互补的性质求出结果．
【详解】
解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质．
24．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ）
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A．70° B．90° C．100° D．110°
【答案】C
【分析】
先根据圆内接四边形内对角的和为180度，解得的度数，再根据同圆中，同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半解题即可．
【详解】
四边形是的内接四边形，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，则∠CAD 与∠B的关系是( )
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A．∠CAD=2∠B B．∠CAD+∠B =120°
C．∠CAD+∠B =180° D．无法确定
【答案】C
【分析】
还原点A折叠前的位置，然后利用圆的内接四边形对角互补的性质得到结论．
【详解】
解：如图，点为点A折叠前的位置，
∵折叠，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故选：C．
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【点睛】
本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质．
26．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，C是⊙O上的点，D是上的点，若∠D＝120°，则∠BOC的大小为（ ）
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A．60° B．55° C．58° D．40°
【答案】A
【分析】
利用圆内接四边形对角互补可得∠B的度数，然后再判定△COB是等边三角形，进而可得答案．
【详解】
解：∵∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵CO＝BO，
∴△COB是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆内接四边形对角互补．
27．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
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A．60° B．36° C．76° D．72°
【答案】D
【分析】
根据圆内接正多边形的性质及题意可直接进行求解．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查圆内接正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键．
28．如图，已知点，是以为直径的半圆上的两个点，且，下列结论中不一定成立的是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据圆的性质，内接四边形和平行线的性质对选项逐一判定即可．
【详解】
A、∵，
∴AC=BD，故本选项成立；
B、要使，则，即AC=CD，根据题意无法得出这个条件，故本选项不成立；
C、∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴，故本选项成立；
D、∵，
∴∠CBA=∠DCB，
∴；
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的性质，内接四边形和平行线的性质，掌握这些知识点是解题关键．
29．如图，正五边形内接于，则的度数是（ ）
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A．36° B．26° C．30° D．45°
【答案】A
【分析】
连接OD，OE，求出∠DOE=72°，再根据圆周角定理即可求出的值.
【详解】
解：如图所示，连接OD，OE，
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∵ABCDE是正五边形，
∴∠DOE==72°，
∴=∠DOE=36°，
故选：A．
【点睛】
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
30．如图AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，∠AEC＝25°，∠BDC＝（ ）
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A．100° B．110° C．120° D．115°
【答案】D
【分析】
连接BE，由题意易得∠AEB=90°，则有∠CEB=65°，然后根据圆内接四边形可求解．
【详解】
解：连接BE，如图所示：
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∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠AEC＝25°，
∴∠CEB=65°，
∵四边形ECDB是圆内接四边形，
∴∠CEB+∠BDC=180°，
∴∠BDC=115°；
故选D．
【点睛】
本题主要考查圆周角及圆内接四边形，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键．
二、填空题
31．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为_____°．
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【答案】132
【分析】
根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，根据周角的定义即可得到结论．
【详解】
由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，
∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，
故答案为：132．
【点睛】
本题考查的是正多边形的内角计算，圆周角概念，正确的理解题意，通过图形分析求解是解题的关键．
32．六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．21世纪教育网版权所有
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【答案】．
【分析】
由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，
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在正六边形ABCDEF中，
∵直角三角板的最短边为1，
∴正六边形ABCDEF为1，
∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，
∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120 ，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，
∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30 ，
∴BG=DI= FH=，
∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =，
∴AC =AE = CE =，
∴由勾股定理得：AI=，
∴S=，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了含30 度角的直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．【来源：21·世纪·教育·网】
33．已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为________．
【答案】
【分析】
画出符合题意的图形，先求解正六边形的中心角 证明是等边三角形，求解 从而可得答案．
【详解】
解：如图，由题意得：
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正六边形
是等边三角形，
正六边形的周长是
故答案为：
【点睛】
本题考查的是正多边形与圆的关系，正多边形的中心角，正多边形的半径，等边三角形的判定与性质，掌握正多边形中的基本概念的含义是解题的关键．
34．如图，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为_________．
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【答案】12
【分析】
连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算即可得到n的值．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：连接OA、OD、OF，如图，
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∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆：把一 ( http: / / www.21cnjy.com )个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
35．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R，圆内接正n边形的边长、面积分别为an，Sn，圆内接正2n边形边长、面积分别为a2n，S2n．刘徽用以下公式求出a2n和S2n．，．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为________．21·世纪*教育网
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【答案】
【分析】
求出正四边形的边长，利用公式求出面积即可．
【详解】
解：连接AC，四边形ABCD是圆内接正四边形，∠ADC=90°，
∴AC是圆的直径，AC=2，
∵，
∴，
，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了圆内接正多边形，解题关键是利用圆内接正多边形的性质求出正方形边长．
三、解答题
36．如图，已知圆O内接正六边形的边长为，求这个正六边形的边心距n，面积S．
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【答案】，
【分析】
连接OA、OB，过点O作 ( http: / / www.21cnjy.com )OH⊥AB于点H，由题意易得△OAB是等边三角形，则有OA=6cm，然后根据勾股定理可求解边心距OH=n，然后利用三角形面积求解六边形的面积即可．
【详解】
解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
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∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
37．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．
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（1）如图1，当点在上时，求证：；
（2）如图2，当点在上时，求证：；
（3）如图2，已知的半径为，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=10
【分析】
（1）根据同圆中等弦所对的圆周角相等可求证；
（2）根据题意易得∠ADB+∠ACB=180°，∠ACB=∠ADC，进而问题可证；
（3）连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，由题意易得圆心O在线段AE上，然后可得BE=EC=6，然后根据勾股定理可求解．
【详解】
（1）证明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC
∴∠ADB=∠ADC；
（2）证明：∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ACB=∠ADC，
∴；
（3）解：连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，如图所示：
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∵AB=AC，BC=12，
∴BE=EC=6，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∵△ABC是⊙O的内接三角形，
∴圆心O在线段AE上，
∵OB=OA=，
∴在Rt△BEO中，，
∴，
∴在Rt△AEB中，．
【点睛】
本题主要考查圆内接四边形、垂径定理及圆周角，熟练掌握圆内接四边形、垂径定理及圆周角是解题的关键．
38．如图，是的内接正五边形．求证：.
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【答案】证明见解析
【分析】
根据正五边形的性质求出，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．2·1·c·n·j·y
【详解】
证明：∵是正五边形，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，熟知正五边形的性质是解答此题的关键．
39．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知．
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（1）求证：；
（2）若是四边形外接圆的直径，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据圆内接四边形对角互补证得∠B＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠C，从而利用等角对等边证得AB＝AC；
（2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现．
【详解】
（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADE=180°
又∵∠EDC+∠ADE=180°
∴∠EDC=∠B
又∵∠EDC=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（2）连接AE
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∵AB是圆的直径
∴∠AEB=90°
又∵AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAD
∴
【点睛】
本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及圆的有关性质．
40．如图，四边形内接于圆，，的延长线交于点，是延长线上任意一点，．
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（1）求证：平分；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE=∠ABC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据三角形外角的性质和图形得到∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC，得到∠E=∠ABD，根据圆周角定理证明即可．
【详解】
（1）∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CDE=∠ABC．
由圆周角定理得：∠ACB=∠ADB，又∠ADB=∠FDE，
∴∠ACB=∠FDE．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠FDE=∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB=∠ABC，∠ACB=∠CAE+∠E，∠ABC=∠ABD+∠DBC，
∴∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC．
又∵∠CAE=∠DBC，
∴∠E=∠ABD，
∴∠ACD=∠AEB．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解答本题的关键．
41．如下图，在△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．求证：（1）∠A＝∠GEF；（2）△BDF≌FEC．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由CD是⊙O的直径，所以∠DFC＝∠ACB＝90°，则DF∥AC，由平行线的性质可得∠A＝∠BDF，再由圆周角定理得∠BDF=∠GEF，即可得∠A=∠GEF；
（2）连接DE，可证出四边形DECF是矩形，根据矩形的性质得DF＝EC，EF＝CD，再由直角三角形斜边上的中线得EF＝CD=AB＝DB，根据HL即可得Rt△BDF≌Rt△FEC．
【详解】
证明：（1）∵CD是⊙O直径，
∴∠DFC＝90°又∠ACB＝90°，
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠BDF=∠GEF（圆周角定理），
∴∠A＝∠GEF；
（2）连接DE，
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∵四边形DECF内接于⊙O，
∠ACB＝90°，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF＝EC，EF＝CD，又D是AB的中点，
∴EF＝CD=AB＝DB，
∴Rt△BDF≌Rt△FEC．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握定理及性质是解题的关键．
42．如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
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（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）AF+BC＝DF，理由见解析
【分析】
（1）由CD平分∠ACB，根据圆周角定理，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ABD；
（2）过点E作EM⊥AD于点M，求出AD长，则AB＝AD，可求出AB,则答案得出；
（3）过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，可证明△DAF≌△DBN，则AF＝BN，DF＝CF则结论AF+BC＝DF可得出．【出处：21教育名师】
【详解】
（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCD；
（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M，
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∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AE＝17，
∴ME＝AM＝17×＝，
∵DE＝13，
∴DM＝
∴AD＝AM+DM＝，
∴AB＝AD＝
∴AO＝＝12；
（3）AF+BC＝DF．理由如下：
如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，
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∵四边形DACB内接于圆，
∴∠DBN＝∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN，
∴△DAF≌△DBN（AAS），
∴AF＝BN，CF＝CN，
∵∠FCD＝45°，
∴DF＝CF，
∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF．
即AF+BC＝DF．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形，全等三角形的判定及性质，掌握圆的有关性质，学会对知识融会贯通是解题的关键.
43．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC、BC分别交⊙O于E、D，求证：DC＝DE．
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【答案】见解析
【分析】
根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
证明：∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠CED＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠CED，
∴DC＝DE．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
44．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点 D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．
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【答案】见解析
【分析】
根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质解答即可；
【详解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠CDE=∠B，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE.
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，以及等腰三角形的性质，解题的关键是由圆内接四边形性质得到∠CDE=∠B.
45．如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G
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求证：∠FGD＝∠ADC．
【答案】详见解析
【分析】
利用内接四边形的性质可得：∠ ( http: / / www.21cnjy.com )FGD=∠ACD，再利用垂径定理，可得AB垂直平分CD，故AC=AD，即可得∠ADC=∠ACD，所以∠FGD=∠ADC.
【详解】
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD=∠ACD．
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠FGD=∠ADC．
【点睛】
此题考查的是圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角、垂径定理及垂直平分线的性质.
46．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上 ( http: / / www.21cnjy.com )位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
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（1）证明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）110°．
【分析】
（1）连接AD，利用直径所对的圆周角为直角 ( http: / / www.21cnjy.com )，可得AD⊥BC，再根据CD＝BD，故AD垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得：AB＝AC，再根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等即可得到∠E＝∠C；
（2）根据内接四边形的性质：四边形的外角等于它的内对角，可得∠CFD＝∠E＝55°，再利用外角的性质即可求出∠BDF.
【详解】
（1）证明：连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°﹣∠E，
∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°，
由（1）得：∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝55°+55°＝110°．
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【点睛】
此题考查的是(1)直径所对的圆周角是直角、垂直平分线的性质和同弧所对的圆周角相等；（2）内接四边形的性质.【版权所有：21教育】
47．如图，已知在正五边形中，是的中点．求证：.
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【答案】证明见解析.
【分析】
连接、，根据正五边形的性质可证，得到，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得结论.
【详解】
证明：连接、，
∵五边形为正五边形，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，为中点，
∴.
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【点睛】
本题考查了正五边形的性质、三角形全等的判定和性质以及等腰三角形三线合一的性质，熟知正五边形的性质是解答此题的关键．
48．如图,是的边的中点,过延长线上的点作的垂线,为垂足,与的延长线相交于点,点在上,,∥．
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（1）证明：；
（2）证明：点是的外接圆的圆心；
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）由BC∥EF，AD⊥EF， ( http: / / www.21cnjy.com )可证得AD⊥BC，又由D是△ABC的边BC的中点，即可得AD是线段BC的垂直平分线，则可证得AB=AC；（2）由AD是线段BC的垂直平分线，可证得OB=OC，又由AO=CO，则可得AO=BO=CO，则问题得证；
【详解】
（1）证明：∵D是△ABC的边BC的中点
∴BD=CD，
∵BC∥EF，AD⊥EF
∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC，
∴AB=AC；
（2）证明：连接BO，
由（1）知AD垂直平分BC
∴OB=OC
∵OA=OC
∴AO=BO=CO
∴点O是△ABC的外接圆的圆心.
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【点睛】
此题是对三角形外接圆的考查，熟练掌握线段垂直平分线性质和三角形外接圆性质是解决本题的关键，难度不大.
49．已知：过⊙O外一点C作⊙O的切线BC，B为切点，AB是直径，AC与⊙O交于D．
（1）若∠AOD=120°，求∠C的度数；
（2）若AD=8，sinC=，求AB的长．
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【答案】（1）60°；（2）10．
【解析】
【分析】
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再根据切线的性质得到，然后利用互余可计算出；
连接BD，如图，利用圆周角定理得到，根据等角的余角相等得到，然后利用正弦的定义可计算出AB．
【详解】
解：（1）∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=（180°-∠AOD）=（180°-120°）=30°，
∵BC为⊙O的切线，AB是直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠C=90°-∠A=90°-30°=60°；
（2）连接BD，如图，
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∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠C+∠A=90°，∠ABD+∠A=90°，
∴∠ABD=∠C，
在Rt△ABD中，sin∠ABD==，
∴AB=×8=10．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理和解直角三角形．
50．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点M，延长AB，DC相交于点N，∠M=40°，∠N=20°，求∠A的度数.
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【答案】∠A=60°.
【分析】
根据圆内接四边形的性质可得∠1=∠2=∠A，由圆周角定理可得答案.
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠1=∠2=∠A.
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC=∠M+∠2，∠ABC=∠1+∠N，
∴∠M+∠1+∠2+∠N=180°
∵∠M=40°，∠N=20°，∠1=∠2=∠A
∴∠A=60°.
【点睛】
本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
51．如图，点A（0，6），B（2，0）．C（4，8），D（2，4），将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE．
（1）画出线段CE，并计算线段CD所扫过的图形面积；
（2）将线段AB平移得到线段CF，使点A与点C重合，写出点F的坐标，并证明CF平分∠DCE．
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【答案】（1）画图见解析，5π；（2）F（6，2），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）画出线段CE，利用扇形的面积公式计算即可．
（2）画出线段CF，利用SSS证明△CFD≌△CFE即可．
【详解】
解：（1）线段CE如图所示．
线段CD所扫过的图形面积＝＝5π．
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（2）线段CF如图所示，F（6，2）．
连接DF，EF，
由题意：DF＝EF，CD＝CE，CF＝CF，
∴△CFD≌△CFE（SSS），
∴∠FCD＝∠FCE，
∴CF平分∠DCE．
【点睛】
本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，扇形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21*cnjy*com
52．如图，半圆O的直径，将半圆O绕点B顺针旋转得到半圆，与AB交于点P．
求AP的长；
求图中阴影部分的面积结果保留．
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【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
先根据题意判断出是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；
根据直接进行计算即可．
【详解】
解：，，
是等腰直角三角形，
，
；
阴影部分面积为：
．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质得出．
53．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．
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【答案】⊙O的半径长为2．
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可得△AOC是等腰直角三角形，AC＝4，易得OA.
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠D＝90°，
∵OA＝OC，且AC＝4，
∴OA＝OC＝AC＝2，
即⊙O的半径长为2．
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形和圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题关键.
54．如图.将圆心角相等的但半径不等的两个扇形用与叠合在一起，弧、、弧、合成了一个曲边梯形，若弧、弧的长为，，.21教育网
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（1）试说明；曲边梯形的面积
（2）某班兴趣小组进行了一次纸杯制作与探究活动.如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图不允许有拼接.请你求侧面展开图中弧所在的圆的半径长度；
（3）若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁（2）中纸杯的侧面，求这个矩形纸片的长与宽.
【答案】（1）见解析；（2）弧BC所在圆的半径为；（3）长： ，宽：.
【解析】
【分析】
（1）利用扇形的面积公式计算即可；
（2）根据弧长公式构建方程组即可解决问题；
（3）利用弧长公式求出圆心角，推出△OBC和△OAD都为等边三角形即可解决问题；
【详解】
（1）证明：设：
，，
；
（2）解：设弧所在的圆的半径长度为.
，，
.
解得，即所在圆的半径为；
（3）解：
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由得，.
∵OB=OC，OA=OD，
∴△OBC和△OAD都为等边三角形.
所以长：ZX=AD=OA=OB+OA=12+6=18cm，
宽：.
故答案为：（1）见解析；（2）弧BC所在圆的半径为；（3）长： ，宽：.
【点睛】
本题考查作图及应用设计，重点考查了弧长的计算及扇形的面积的计算方法，解题的关键是设出扇形的半径并利用两个扇形的弧长之间的关系列出关系式求出半径.
55．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若AB＝10，求BD的长．
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【答案】BD＝5．
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角 ( http: / / www.21cnjy.com )可得∠ACB＝∠ADB＝90°，再根据角平分线的定义可得∠DCA＝∠BCD，然后求出AD＝BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可．
【详解】
如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝BD，
∴在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝×10＝5，
即BD＝5．
【点睛】
本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是得出△ABD是等腰直角三角形．
56．在平面直角坐标系xOy中，点A（x，0），B（x，y），若线段AB上存在一点Q满足，则称点Q是线段AB的“倍分点”．
（1）若点A（1，0），AB＝3，点Q是线段AB的“倍分点”．
①求点Q的坐标；
②若点A关于直线y＝x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求；
（2）⊙T的圆心T（0，t），半径为2，点Q在直线y＝ x上，⊙T上存在点B，使点Q是线段AB的“倍分点”，直接写出t的取值范围．
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【答案】（1）①Q（1，1）或Q'（1，﹣1），②；（2）t的取值范围为﹣4≤t≤4
【解析】
【分析】
(1) ①根据 “倍分点”的定义及A（ ( http: / / www.21cnjy.com )1，0），AB＝3，可得Q的坐标；②点A（1，0）关于直线y＝x的对称点为A′（0，1），可得QA＝QA′，可得答案；
(2)分①当A，B都在⊙T1上时，可得t ( http: / / www.21cnjy.com )的值，②当⊙T2上只有一个点Q是线段AB的“倍分点”时，过点T2作T2Q⊥图象L于点Q，交⊙T2于点N，过点Q作QD⊥x轴于点D，可得t的取值范围.
【详解】
解：（1）如图1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵A（1，0），AB＝3
∴B（1，3）或B'（1，﹣3）
∵
∴Q（1，1）或Q'（1，﹣1）
（2）点A（1，0）关于直线y＝x的对称点为A′（0，1），如图1，
∴QA＝QA′
∴，
（3）①当A，B都在⊙T1上时，⊙T1与L没有交点，
∵⊙T1的半径为2，
∴此时点T1的坐标为（0，﹣4）；
②当⊙T2上只有一个点Q是线段AB的“倍分点”时，过点T2作T2Q⊥图象L于点Q，交⊙T2于点N，过点Q作QD⊥x轴于点D， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵图象L的解析式为y＝x（x＞0），
∴∠QOT＝60°，∠OT2Q＝30°．
∵点T2的坐标为（0，t），
∴OQ＝t，DQ＝OQ＝t，T2O＝t．
由“倍分点”的定义可知：OB＝2DQ，即t﹣2＝t，
解得：t＝4，
综上所述：t的取值范围为﹣4≤t≤4．
【点睛】
本题主要考查圆与一次函数的综合，需灵活运用所学知识求解.
57．如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．
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【答案】∠BCD=100°．
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BAD= ∠BOD=80°，根据圆内接四边形的对角互补即可得出答案.
【详解】
∵∠BOD=160°∴∠BAD=
∵A、B、C、D 四点共圆，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BCD=100°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补；解题的关键是求出∠BAD的度数和得出∠BCD+∠BAD=180°.
58．如图，已知．
（1）用尺规作正六边形，使得是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹；
（2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．
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【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】
（1）利用正六边形的性质外接圆边长等于外接圆半径；
（2）连接对角线以及利用正六边形性质．
【详解】
解：（1）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / ),
（2）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题主要考查了复杂作图以及全等三角形和正六边形的性质，根据正六边形性质得出作法是解题关键.
59．如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．
（1）求证：AB=EF；
（2）若BF=2，求正五边形ABCDE的边长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）证明见解析；（2）1+.
【解析】
【分析】
（1）根据正多边形的性质解答即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】
（1）∵正五边形ABCDE，∴AB=AE，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAE=108°，∴∠ABE=∠AEB=36°，同理：∠BAF=∠BCA=36°，∴∠FAE=∠AFE=72°，∴AE=EF，∴AB=EF；21教育名师原创作品
（2）设AB=x，由（1）知；∠BAF=∠AEB．
∵∠ABF=∠ABE，∴△ABF ( http: / / www.21cnjy.com )∽△EBA，∴，即，解得：（舍去），∴五边形ABCDE的边长为1+．
【点睛】
本题考查了正多边形的问题，关键是根据正多边形的性质解答．
60．如图：已知AB是⊙O的直径，P为AB的延长线上一点.且BP=AB，C、D是半圆AB的两个三等分点，连接PD．
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（1）PD与⊙O有怎样的位置关系？并证明你的结论；
（2）连接PC，若AB=10cm，求由PC，弧CD、PD所围成的图形的面积（结果保留π）．
【答案】（1）相切；（2）
【解析】
试题分析：（1）连结OD、BD，由BP=AB ，OB=AB可证得BP=OB，再根据C、D是半圆AB的两个三等分点可得∠DOB=∠COD="60°" ，即可BD=OB=BP，从而证得结论；
（2）连接CO，由∠COD="60°" ，CO=OD可得CO=OD=CD，即可证得CD∥AB，根据平行线的性质及三角形的面积公式可得，从而可以求得结果.
（1）PD与⊙O相切，理由如下
连结OD、BD
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∵BP=AB ，OB=AB
∴BP=OB
∵C、D是半圆AB的两个三等分点
∴∠DOB=∠COD="60°"
∵OD=OB
∴BD=OB=BP
∴∠ODP=90°
∴PD与⊙O相切；
（2）连接CO
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∵∠COD="60°" ，CO=OD
∴CO=OD=CD
∴∠DOB=∠CDO=60°
∴CD∥AB
∴
∴.
考点：圆的综合题
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
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24.3 正多边形和圆
【基础训练】
一、单选题
1．正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
2．如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于（ ）21世纪教育网版权所有
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A．72° B．54° C．36° D．64°
3．如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠DCE＝50°，则∠A等于（ ）
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A．40° B．50° C．70° D．80°
5．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD是园内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=110°，则∠DCE的大小是（ ）
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A．70° B．105° C．110° D．120°
7．如图，是正六边形的外接圆，是弧上一点，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
8．如图，在中，四边形测得，连接，若的半径为4，则的长为（ ）
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A．2 B． C．4 D．
9．如图，在由边长相同的7个正六边 ( http: / / www.21cnjy.com )形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( )21教育网
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A．1 B．2 C．3 D．4
10．圆的内接四边形的四个内角之比的可能的值是（ ）
A． B． C． D．
11．在圆内接四边形中，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，若∠D＝110°，则∠ABE的度数是（ ）
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A．30° B．35° C．50° D．55°
13．如图，四边形是圆内接四边形，是延长线上一点，若，则的大小是（ ）
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A． B． C． D．
14．将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的，点D是边上一点，沿线段剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（ ）21cnjy.com
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A． B． C． D．
15．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则的比值为（ ）
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A． B． C． D．
16．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形的中心重合，且与边、相交于、（如图）．图中阴影部分的面积记为，三条线段、、的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，下列说法正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．变化，不变 B．不变，变化
C．变化，变化 D．与均不变
17．如图，正五边形内接于，点P为（点P与点D，点E不重合），连接，DG⊥PC，垂足为G，则等于（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
18．如图①，直六棱柱的底面是正六边形 ( http: / / www.21cnjy.com )，侧面ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，现用一块矩形纸板EFGH制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF的长是（ ）21*cnjy*com
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A．（20+10）cm B．（30+10）cm C．（20+20）cm D．40cm
19．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等 ( http: / / www.21cnjy.com )的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的周长为12，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．24 B．20 C．8 D．16
20．如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（ ）【出处：21教育名师】
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A．8 B．10 C．12 D．14
21．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，己知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（ ）
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A．6 B．12 C．12 D．24
22．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
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A． B． C． D．2
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ）
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A．50° B．65° C．115° D．130°
24．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ）
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A．70° B．90° C．100° D．110°
25．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，则∠CAD 与∠B的关系是( )2-1-c-n-j-y
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A．∠CAD=2∠B B．∠CAD+∠B =120°
C．∠CAD+∠B =180° D．无法确定
26．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，C是⊙O上的点，D是上的点，若∠D＝120°，则∠BOC的大小为（ ）【版权所有：21教育】
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A．60° B．55° C．58° D．40°
27．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
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A．60° B．36° C．76° D．72°
28．如图，已知点，是以为直径的半圆上的两个点，且，下列结论中不一定成立的是（ ）
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A． B．
C． D．
29．如图，正五边形内接于，则的度数是（ ）
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A．36° B．26° C．30° D．45°
30．如图AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，∠AEC＝25°，∠BDC＝（ ）
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A．100° B．110° C．120° D．115°
二、填空题
31．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为_____°．
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32．六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．21教育名师原创作品
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33．已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为________．
34．如图，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为_________．21*cnjy*com
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35．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R，圆内接正n边形的边长、面积分别为an，Sn，圆内接正2n边形边长、面积分别为a2n，S2n．刘徽用以下公式求出a2n和S2n．，．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为________．
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三、解答题
36．如图，已知圆O内接正六边形的边长为，求这个正六边形的边心距n，面积S．
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37．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．
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（1）如图1，当点在上时，求证：；
（2）如图2，当点在上时，求证：；
（3）如图2，已知的半径为，，求的长．
38．如图，是的内接正五边形．求证：.
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39．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知．
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（1）求证：；
（2）若是四边形外接圆的直径，求证：．
40．如图，四边形内接于圆，，的延长线交于点，是延长线上任意一点，．
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（1）求证：平分；
（2）求证：．
41．如下图，在△ABC中，∠ACB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．求证：（1）∠A＝∠GEF；（2）△BDF≌FEC．www-2-1-cnjy-com
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42．如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
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（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．
43．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC、BC分别交⊙O于E、D，求证：DC＝DE．
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44．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点 D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．
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45．如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G
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求证：∠FGD＝∠ADC．
46．如图，AB是⊙O的直径， ( http: / / www.21cnjy.com )D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．21·世纪*教育网
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（1）证明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
47．如图，已知在正五边形中，是的中点．求证：.
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48．如图,是的边的中点,过延长线上的点作的垂线,为垂足,与的延长线相交于点,点在上,,∥．
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（1）证明：；
（2）证明：点是的外接圆的圆心；
49．已知：过⊙O外一点C作⊙O的切线BC，B为切点，AB是直径，AC与⊙O交于D．
（1）若∠AOD=120°，求∠C的度数；
（2）若AD=8，sinC=，求AB的长．
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50．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点M，延长AB，DC相交于点N，∠M=40°，∠N=20°，求∠A的度数.
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51．如图，点A（0，6），B（2，0）．C（4，8），D（2，4），将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE．www.21-cn-jy.com
（1）画出线段CE，并计算线段CD所扫过的图形面积；
（2）将线段AB平移得到线段CF，使点A与点C重合，写出点F的坐标，并证明CF平分∠DCE．
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52．如图，半圆O的直径，将半圆O绕点B顺针旋转得到半圆，与AB交于点P．
求AP的长；
求图中阴影部分的面积结果保留．
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53．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．
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54．如图.将圆心角相等的但半径不等的两个扇形用与叠合在一起，弧、、弧、合成了一个曲边梯形，若弧、弧的长为，，.2·1·c·n·j·y
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（1）试说明；曲边梯形的面积
（2）某班兴趣小组进行了一次纸杯制作与探究活动.如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图不允许有拼接.请你求侧面展开图中弧所在的圆的半径长度；
（3）若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁（2）中纸杯的侧面，求这个矩形纸片的长与宽.
55．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若AB＝10，求BD的长．
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56．在平面直角坐标系xOy中，点A（x，0），B（x，y），若线段AB上存在一点Q满足，则称点Q是线段AB的“倍分点”．
（1）若点A（1，0），AB＝3，点Q是线段AB的“倍分点”．
①求点Q的坐标；
②若点A关于直线y＝x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求；
（2）⊙T的圆心T（0，t），半径为2，点Q在直线y＝ x上，⊙T上存在点B，使点Q是线段AB的“倍分点”，直接写出t的取值范围．
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57．如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．
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58．如图，已知．
（1）用尺规作正六边形，使得是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹；
（2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．
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59．如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．
（1）求证：AB=EF；
（2）若BF=2，求正五边形ABCDE的边长．
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60．如图：已知AB是⊙O的直径，P为AB的延长线上一点.且BP=AB，C、D是半圆AB的两个三等分点，连接PD．
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（1）PD与⊙O有怎样的位置关系？并证明你的结论；
（2）连接PC，若AB=10cm，求由PC，弧CD、PD所围成的图形的面积（结果保留π）．
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