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第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题讲解
课堂小结
知识回顾
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A ′
“ 两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．
现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”.
获取新知
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知识点一：将军饮马问题
你能用自己的语言说明这个故事的意思，并把它抽象为数学问题吗？
C
抽象成
A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
如图，将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连接AB,与直线l相交于一点C.
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
A
B
l
B ′
C
C ′
例题讲解
例1 [教材“问题1”针对训练]如图13－4－1，在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA，OB上确定两点C，D，使△PCD的周长最短．
图13－4－1
分析：△PCD的周长等于PC＋CD＋PD，要使△PCD的周长最短，根据“两点之间，线段最短”，只需使得PC＋CD＋PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于射线OA和OB的对称点E，F，则△PCD的最短周长等于线段EF的长．
作法：如图，①作点P关于射线OA的对称点E；
②作点P关于射线OB的对称点F；
③连接EF，与OA，OB分别交于点C，D，则C，D就是所要求作点．
证明：连接PC，PD，则PC＝EC，PD＝FD.
在OA上任取异于点C的一点H，连接HE，HP，HD，则HE＝HP.
∵△PHD的周长＝HP＋HD＋PD＝
HE＋HD＋DF>ED＋DF＝EF，
而△PCD的周长＝PC＋CD＋PD＝
EC＋CD＋DF＝EF，∴△PCD的周长最短．
知识点二：造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
B
A
A
B
N
M
B
A
●
●
N
M
N
M
N
M
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
B
A
Ｍ
Ｎ
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为AA１＋A１B，而AM１＋M１N１＋BN１转化为AA１＋A１N１＋BN１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此AM１＋M１N１＋BN１＞ AM+MN+BN.
A·
B
M
N
E
C
D
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
随堂演练
C
1．龟兔赛跑新规则：参赛者从点A出发到达直线a上任意一点C后，再回到直线a同侧的终点B，最先到达终点者胜，图D－25－1中的四个图是为它们设计的路线，其中路程最短的是( )
图D－25－1
2.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
B
3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，
GF最小.
A
D ′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
课堂小结
原理
线段公理和垂线段最短
将军饮马问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”平移
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
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