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第十三章 轴对称
13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题讲解
课堂小结
知识回顾
在一个三角形中，如果有两条边 ，那么这个三角形叫做等腰三角形.
腰
腰
相等
C
B
A
顶角
底边
底角
底角
获取新知
探究等腰三角形的性质
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
A
B
C
D
仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形有什么特征吗？
上述过程中，剪刀剪过的两边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形
（1）把你们准备的顶角分别为锐角、直角和钝角的等腰三角形拿出来；
（2）把三角形的顶角顶点记为A，底角顶点记为B，C。
（3）把三角形对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD。
观察后你发现了什么现象？
B
A
C
D
A
B
C
D
做一做
重合的线段 重合的角
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC= 90°
由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
猜想: 等腰三角形的两个底角相等.
如何证明这个结论呢？
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
A
B
C
验证结论
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，
则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
A
B
C
D
证明：
作BC的高AD，
则∠BDA=∠CDA= 90°.
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边),
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三：作底边的高线
在Rt△BAD和Rt△CAD中
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
知识要点
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
几何语言：如图,在△ABC中,
在等腰三角形中
由任意两个条件
可以推出第三个
条件
例题讲解
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
∴∠A=36°∠ABC=∠C=72°
例2 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图②
图①
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
图①
G
证明：(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
随堂演练
(1).等腰三角形的顶角一定是锐角.
(2).等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.
(3).钝角三角形不可能是等腰三角形.
(4).等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
(5).等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
(6).等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
1.判断正误
（√）
(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____ __；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ ___ _ _.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
2.填空
（4）在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
A
B
C
70°或20°
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
A
B
C
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
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