11.1.2 三角形的高、中线与 角平分线、稳定性-初中数学人教版八年级上册同步试题精编（Word版 含答案）

11.1.2三角形的高线中线角平分线
知识点1 三角形的高线
例1．下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（　　）
A． B．
C． D．
变式2．下列图形中，△ABC的高画法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图所示，△ABC为钝角三角形，则边AC上的高是（　　）
A．AD B．AE C．BF D．CH
知识点2 三角形的中线
例4．三角形的三条中线的交点的位置为（　　）
A．一定在三角形内
B．一定在三角形外
C．可能在三角形内，也可能在三角形外
D．可能在三角形的一条边上
变式5．在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分成6和12两部分，求三角形三边的长．
6．如图所示，已知AD，AE分别是ΔABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则ΔABD与ΔACD的周长之差为多少，ΔABD与ΔACD的面积有什么关系.
知识点3 三角形的角平分线
例7．如图，、分别是的高和角平分线，已知，，则__________．
变式8．如图BO、CO分别平分和，DE过点D且，，，求的周长．
9．如图，，平分，平分，则______°.
知识点4 三角形的稳定性
例10．不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三脚架 D．学校的栅栏门
变式11．如图所示，具有稳定性的有（ ）
A．只有（1），（2） B．只有（3），（4） C．只有（2），（3） D．（1），（2），（3）
12．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点， 为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( )
A．G，H两点处 B．A，C两点处 C．E，G两点处 D．B，F两点处
课堂练习
13．下列说法：
①钝角三角形有两条高在三角形内部；②三角形的三条高都在三角形内部； ③三角形的三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部；④锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，若AB＝6 cm， BC＝5 cm，请你求出△ABD与△BDC的周长之差．
15．如图，已知，按要求作图．
（1）过点作的垂线段；
（2）过作、的垂线分别交于点、；
（3），，，，求点到线段的距离．
参考答案
1．C
【分析】
根据三角形的高的定义，即可判断，从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高．
【详解】
A选项不是三角形的高，不符合题意；
B选项是边上的高，不符合题意；
C选项是边上的高，符合题意；
D选项不是三角形的高，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的高的定义，理解定义是解题的关键．
2．B
【分析】
根据三角形的高的概念：三角形的高是从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，判断即可．
【详解】
解：由三角形高的概念可知，
选项B是错误的，符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形高的作法，明确三角形高的概念即三角形的高是从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高是解题的关键．
3．C
【分析】
根据三角形高线的定义，过点B作BF⊥AC交CA的延长线于点F，则BF为AC边上的高．
【详解】
解：∵△ABC为钝角三角形，
∴边AC上的高是BF，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的高线，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
4．A
【解析】
【分析】
根据三角形的中线的定义解答．
【详解】
解：根据三角形的中线的定义,三角形的三条中线的交点一定在三角形内．
故选A．
【点睛】
考核知识点：三角形的中线的定义.理解定义是关键.
5．三角形的三边长分别为8，8，2．它们都能构成三角形．
【分析】
结合题意画出图形，利用三角形的中线的定义，以及三角形的周长和三角形的三边关系求三角形三边的长.
【详解】
解：如图，
设AB=AC=a，BC=b，
则有a+a=6且a+b=12；或a+a=12且a+b=6，
得到a=4，b=10或a=8，b=2，
∵4+4<10不满足三角形两边之和大于第三边，应舍去．
故三角形的三边长分别为8，8，2．它们都能构成三角形．
【点睛】
三角形的中线即三角形一个顶点与对边中点所连接的线段.
6．（1）2；（2）详见解析.
【分析】
（1）与的周长的差；
（2）三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形,据此答题即可.
【详解】
解： (1)ΔABD与ΔACD的周长之差＝(AB＋BD＋AD)－(AD＋CD＋AC)，而BD＝CD.所以上式＝AB－AC＝5－3＝2.
(2)SΔABD＝BD·AE，SΔACD＝CD·AE
而BD＝CD，所以SΔABD＝SΔACD
【点睛】
本题考查了三角形的中线概念和性质.
7．20°
【解析】
∵，，
∴，
∴在中，
．
在中，
．
∵平分，
∴，
∴．
8．周长为23cm.
【分析】
根据已知可以推出OD=DB,OE=EC,那么△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=23.
【详解】
∵BO、CO分别平分和，
，，
又．
，，
，，
，，
∴周长
【点睛】
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及定理是解题关键.
9．90
【分析】
先根据平行线性质得出，再根据角平分线定义进行求解即可.
【详解】
∵
∴
∵平分，平分
∴
∴
故填：90.
【点睛】
本题考查平行线性质和角平分线定义，熟练掌握性质是关键.
10．D
【分析】
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用三角形的稳定性进行解答．
【详解】
因为三角形具有稳定性，而学校的栅栏门是可以伸缩的，是利用了四边形的不稳定性，故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
11．C
【分析】
根据三角形具有稳定性而四边形不具有稳定性判断即可．
【详解】
由于四边形不具有稳定性，故（1）不具有稳定性；根据三角形的稳定性，图中具有稳定性的有（2），（3），而（4）虽然含有三角形，但右侧的四边形不具稳定性，所以整体也就不具稳定性．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性性质，四边形的不稳定性，无论是三角形的稳定性还是四边形的不稳定性，它们在生产生活中都有着广泛的应用．
12．C
【分析】
根据三角形的稳定性进行判断．
【详解】
A选项：若钉在G、H两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
B选项：若钉在A、C两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
C选项：若钉在E、G两点处则构成了两个四边形，不能固定窗框，故符合题意；
D选项：若钉在B、F两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
故选C.
【点睛】
考查三角形稳定性的实际应用．解题关键是利用了三角形的稳定性，判断是否稳定则看能否构成三角形．
13．A
【解析】
【分析】
根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高是三角形的两条直角边，另一条在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．
【详解】
解；钝角三角形有一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部；锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形三条高的交点在直角顶点上；锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部；
所以①②③错误，只有④是正确的．
故选A．
【点睛】
此题主要考查学生对三角形的高的概念的理解和掌握，解答此题的关键是根据三角形的高的概念，通过具体作高对4个结论逐一分析，特别向学生强调的是直角三角形高的情况．
14．1cm.
【分析】
根据三角形中线的定义可得AD=CD,再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、BC的差, 然后计算即可.
【详解】
解：因为△ABD的周长为AB＋AD＋BD，
△BCD的周长为BC＋CD＋BD，
所以△ABD与△BDC的周长之差为(AB＋AD＋BD)－(BC＋CD＋BD)．
因为BD是AC边上的中线，所以AD＝CD，
所以△ABD与△BDC的周长之差为AB－BC.
因为AB＝6 cm，BC＝5 cm，
所以△ABD与△BDC的周长之差为6－5＝1(cm)．
【点睛】
本题主要考查了三角形的中线的定义,将三角形的周长的差转化为已知两边AB、 AC的长度的差是解题的关键，解答此类问题学生要认真审题, 仔细作答.
15．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点到线段的距离为．
【解析】
【分析】
（1）、（2）根据几何语言作图；
（3）利用三角形面积公式得到，然后把，，代入计算可求出．
【详解】
解：（1）如图，为所作；
（2）如图，、为所作；
（3），
，
即点到线段的距离为．
【点睛】
本题考查了作图以及三角形高线的定义，熟练掌握面积法求高线是解题关键.