2021-2022学年人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质 同步能力达标测评（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质 同步能力达标测评（word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 542.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-13 14:23:32 | ||
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文档简介
2021-2022年人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共14小题，满分42分）
1．如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．30 C．24 D．27
2．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，BD＝5，AD＝3，若点P是BC上的动点，则线段DP的最小值是（ ）
A．3 B．2.4 C．4 D．5
4．如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝10，点D到AB的距离为4，则DB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．4
6．如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
7．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，BD是∠ABC的角平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．：5 D．1：
9．如图所示，已知∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于点E，且OE＝3cm，则点O到AB，CD的距离之和是（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
10．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC＝10cm，那么AE+DE等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
12．如图，已知AB+AC＝16，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝4，则四边形ABOC的面积是（ ）
A．36 B．32 C．30 D．64
13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作OD⊥AB于点D，则AD的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
14．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共4小题，满分16分）
15．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的角平分线，BD，CE交于点O．过点O作OF⊥BC，垂足为F，若∠BAC＝120°，OD OE＝12，BC﹣BE﹣CD＝5，则OF＝ ．
16．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足为D，∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是 ．
17．如图，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
19．△ABC（∠C＞90°）的三条角平分线相交于点D，延长AD交BC于点E．作AF⊥BC，交BC延长线于点F．
（1）若∠BAC＝40°，则∠BDC＝ °；
（2）判断∠CDE与∠ABD的数量关系，并说明理由；
（3）求证∠ACD＝∠EAF+∠ABD．
20．已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，且∠AEP+∠CFP＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图3，若∠AEP：∠CFP＝2：1，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时旋转t秒，问t为多少时，射线EP1∥FP2，直接写出t的值t＝ 秒．
21．如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
22．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
23．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
24．我们把从一个角的顶点引出把这个角分成两个完全相同的角的射线叫做这个角的平分线．如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD或BE叫做∠ABC的“三等分线”．
【基础运用】
（1）已知△ABC，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，若∠BAC＝α，则BM、CN所在直线的夹角的度数为 ．（用含α的代数式表示）
【概念提升】
（2）在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三等分线与∠C的外角的三等分线交于点D，则∠BDC的度数为 ．
【问题解决】
∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠B＝α、∠C＝β．
（3）如图②，∠ADC和∠EAB的三等分线DN、AN相交于点N（∠CDN＝∠ADC，∠BAN＝∠EAB），求证：∠N＝（α+β）﹣120°；
（4）如图③，∠ADC和∠EAB的n等分线分别相交于点P1、P2、P3、…、Pn﹣1，则∠P1+∠P2+∠P3+…+∠Pn﹣1＝ （用含α、β、n的代数式表示）．
25．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
26．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
参考答案
一．选择题（共14小题，满分42分）
1．解：如图，过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC，
∴ID＝IE，ID＝IE，
∴ID＝IE＝IF＝3，
∵△ABC的周长为18，
∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×3＝×18×3＝27．
故选：D．
2．解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
3．解：当DP⊥BC时，DP的值最小，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°
当DP⊥BC时，
DP＝AD，
∵AD＝3，
∴DP的最小值是3，
故选：A．
4．解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD＝OE＝OF，
在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，
∴AC＝15，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝
，
故选：C．
5．解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6，
故选：A．
6．解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
∵∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点H，
∴∠HAC+∠ACH＝（∠BAC+∠ACD）＝90°，
∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°，
∴△AHC是直角三角形．
∵E为AC的中点，EH＝4，
∴AC＝2EH＝8．
故选：A．
7．解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥BA，
∴DH＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×5×4+×9×4＝28．
故选：B．
8．解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，
∴BC＝＝，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA，
∴＝＝＝．
故选：D．
9．解：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
如图所示，AB∥CD，
∴MN⊥CD．
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，
∴OM＝OE＝3cm．
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON＝OE＝3cm，
∴MN＝OM+ON＝6cm，
即AB与CD之间的距离是6cm．
故选：B．
10．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵S1＝ AB OD，S2+S3＝ BC OE+ AC OF＝OD （BC+AC），
而AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
11．解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
又∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CE＝DE，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC，
∵AC＝10cm，
∴AE+DE＝AC＝10cm，
故选：C．
12．解：如图所示，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于D，OD＝4，
∴OE＝OD＝4，OF＝OD＝4，
∵AB+AC＝16，
∴四边形ABOC的面积S＝S△ABO+S△ACO
＝×AB×OE+×AC×OF
＝×AB×4+×AC×4
＝×（AB+AC）
＝2×16
＝32，
故选：B．
13．解：过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴OD＝OF，OE＝OF，
即OE＝OF＝OD，
∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝5，
∵S△OAB+S△OAC+S△OBC＝S△ABC，
∴×3×OD+×4×OE+×5×OF＝×4×3，
∴OD＝1，
∵∠DAE＝∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE为矩形，
∵OD＝OE，
∴四边形ADOE为正方形，
∴AD＝OD＝1．
故选：D．
14．解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PE＝AP，
同理可得：PE＝PD，
∴PE＝AD，
∵AD＝8，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4，
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分16分）
15．解：在BC上取点G和H，使BG＝BE，CH＝DC，
∵BD，CE 是△ABC 的用平分线，
∴∠EBO＝∠GBO，∠DCO＝∠HCO，
又∵BO＝BO，CO＝CO，
∴△BEO≌△BGO（SAS），△ODC≌△OHC（SAS），
∴∠BOG＝∠BOE，∠HOC＝∠DOC，
∵∠A＝120°，
∴，
∴∠BOE＝30°，∠BOC＝150°，
∴∠GOH＝∠BOC﹣∠BOG﹣∠HOC
＝150°﹣30°﹣30°
＝90°，
∴
＝
＝6，
∵BC﹣BE﹣CD＝5，
∴BC﹣BG﹣CH＝5，
即 GH＝5，
∴，
故答案为．
16．解：由垂线段最短可得DP⊥BC时，DP有最小值，
∵∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠DBC＝180°，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴DP＝AD，
∵AD＝3，
∴DP的最小值为3．
故答案为3．
17．解：过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EP，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°，
∵CE平分外角∠ACD，
∴EH＝EP，
∴EF＝EH，
∴AE平分∠FAC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠FAC＝180°﹣80°＝100°，
∴∠FAE＝∠FAC＝50°，
∵∠FAC＝∠ABE+∠AEB，
∴∠AEB＝50°﹣20°＝30°．
故答案为30°．
18．解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2EM＝2PM，
∵S△ABC＝ BC AC＝（AC+BC+AB） PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4．
三．解答题（共8小题，满分62分）
19．（1）解：如图，∵△ABC（∠C＞90°）的三条角平分线相交于点D，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BDC＝180°﹣∠2﹣∠3，
∴∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠BDC＝180°﹣×140°＝110°；
故答案为110；
（2）解：∠CDE＝90°﹣∠ABD；
理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠4+∠CAE＝90°，
∵∠CDE＝∠CAD+∠4，
∴∠1+∠4+∠CDE﹣∠4＝90°，
∴∠1+∠CDE＝90°，
即∠CDE＝90°﹣∠ABD；
（3）证明：∵∠5+∠3+∠CDE＝180°，∠CDE＝90°﹣∠1；
∴∠5+∠3+90°﹣∠1＝180°，
∵AF⊥BC，
∴∠5＝90°﹣∠EAF，
∴90°﹣∠EAF+∠3+90°﹣∠1＝180°，
而∠3＝∠4，
∴90°﹣∠EAF+∠4+90°﹣∠1＝180°，
∴∠4＝∠EAF+∠1，
即∠ACD＝∠EAF+∠ABD．
20．解：（1）∵∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，
∴∠AEP＝∠PEF，∠PFC＝∠CFP，
∵∠AEP+∠CFP＝90°，
∴∠AEF+∠PFC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）设∠PEQ＝α，
∵PE平分∠AEF，
∴∠AEP＝2α，
∵EQ平分∠PEF，
∴∠QEF＝∠PEQ＝α，
∵∠EPF＝90°，
∴∠PFE＝90°﹣2α，
∴∠PFM＝180°﹣（90°﹣2α）＝90°+2α，
∵FQ平分∠PFM，
∴∠PFQ＝45°+α，
∴∠Q＝180°﹣∠QEF﹣∠EFQ＝180°﹣α﹣（90°﹣2α）﹣（45°+α）＝45°；
（3）如图1，EP1∥FP2时，
∵∠AEP：∠CFP＝2：1，∠AEP+∠CFP＝90°，
∴∠AEP＝60°，∠CFP＝30°，
∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠P2FE＝30°﹣3°t，
∵EP1∥FP2，
∴∠P1EF＝∠P2FE，
∴15°t﹣60°＝30°﹣3°t，
∴t＝5；
如图2，EP1∥FP2时，
∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠EFP2＝3°t﹣30°，
∵EP1∥FP2，
∴∠P1EF+∠EFP2＝180°，
∴15°t﹣60°+3°t﹣30°＝180°，
∴t＝15；
综上所述：当t＝5或15时，射线EP1∥FP2，
故答案为5或15．
21．证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，
∴＝，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
∴点D在∠BAC的平分线上，
又∵A点也在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．
22．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
23．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM＝DN＝DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）解：△ABC是等腰三角形，
证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠GAD＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB，
∵AD平分∠GAC，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
24．解：（1）如下图所示，设∠ABC＝β，∠ACB＝γ，直线BM与直线CN相交于点F，
由题意可得，β+γ＝180°﹣α，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴，，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，
∴，，
∴，，
∴∠F＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣＝180°﹣＝，
故答案为：；
（2）如下图所示，∠ABC的三等分线与∠ACB的外角的三等分线的交点为D1、D2、D3和D4，
∵∠A＝70°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝115°，
∴∠BD1C＝180°﹣15°﹣65°﹣＝，
∴∠BD2C＝∠BD1C﹣15°＝，∠BD3C＝∠BD1C﹣，
∴∠BD4C＝∠BD3C﹣15°＝，
故答案为：或或或；
（3）证明：如下图所示，
∵∠1＝∠2+∠N，
∴∠N＝∠1﹣∠2，
∵，，
∴﹣＝120°﹣（∠BAD+∠ADC），
∵∠BAD+∠ADC+α+β＝360°，
∴∠BAD+∠ADC＝360°﹣（α+β），
∴∠N＝120°﹣（∠BAD+∠ADC）＝120°﹣＝（α+β）﹣120°；
（4）∵∠P1AE＝∠P1+∠P1DA，
∴∠P1＝∠P1AE﹣∠P1DA
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
同理可得，，，……，
∴∠P1+∠P2+∠P3+…+∠Pn﹣1
＝（+……++）（α+β﹣180°）
＝（α+β﹣180°）
＝，
故答案为：．
25．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
26．解：图象如图所示，
∵∠EAC＝∠ACB，
∴AD∥CB，
∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，
∴△ACD≌△CAB（SAS），
∴∠ACD＝∠CAB，
∴AB∥CD．
一．选择题（共14小题，满分42分）
1．如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．30 C．24 D．27
2．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，BD＝5，AD＝3，若点P是BC上的动点，则线段DP的最小值是（ ）
A．3 B．2.4 C．4 D．5
4．如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝10，点D到AB的距离为4，则DB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．4
6．如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
7．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，BD是∠ABC的角平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．：5 D．1：
9．如图所示，已知∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于点E，且OE＝3cm，则点O到AB，CD的距离之和是（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
10．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC＝10cm，那么AE+DE等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
12．如图，已知AB+AC＝16，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝4，则四边形ABOC的面积是（ ）
A．36 B．32 C．30 D．64
13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作OD⊥AB于点D，则AD的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
14．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共4小题，满分16分）
15．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的角平分线，BD，CE交于点O．过点O作OF⊥BC，垂足为F，若∠BAC＝120°，OD OE＝12，BC﹣BE﹣CD＝5，则OF＝ ．
16．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足为D，∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是 ．
17．如图，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
19．△ABC（∠C＞90°）的三条角平分线相交于点D，延长AD交BC于点E．作AF⊥BC，交BC延长线于点F．
（1）若∠BAC＝40°，则∠BDC＝ °；
（2）判断∠CDE与∠ABD的数量关系，并说明理由；
（3）求证∠ACD＝∠EAF+∠ABD．
20．已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，且∠AEP+∠CFP＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图3，若∠AEP：∠CFP＝2：1，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时旋转t秒，问t为多少时，射线EP1∥FP2，直接写出t的值t＝ 秒．
21．如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
22．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
23．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
24．我们把从一个角的顶点引出把这个角分成两个完全相同的角的射线叫做这个角的平分线．如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD或BE叫做∠ABC的“三等分线”．
【基础运用】
（1）已知△ABC，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，若∠BAC＝α，则BM、CN所在直线的夹角的度数为 ．（用含α的代数式表示）
【概念提升】
（2）在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三等分线与∠C的外角的三等分线交于点D，则∠BDC的度数为 ．
【问题解决】
∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠B＝α、∠C＝β．
（3）如图②，∠ADC和∠EAB的三等分线DN、AN相交于点N（∠CDN＝∠ADC，∠BAN＝∠EAB），求证：∠N＝（α+β）﹣120°；
（4）如图③，∠ADC和∠EAB的n等分线分别相交于点P1、P2、P3、…、Pn﹣1，则∠P1+∠P2+∠P3+…+∠Pn﹣1＝ （用含α、β、n的代数式表示）．
25．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
26．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
参考答案
一．选择题（共14小题，满分42分）
1．解：如图，过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC，
∴ID＝IE，ID＝IE，
∴ID＝IE＝IF＝3，
∵△ABC的周长为18，
∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×3＝×18×3＝27．
故选：D．
2．解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
3．解：当DP⊥BC时，DP的值最小，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°
当DP⊥BC时，
DP＝AD，
∵AD＝3，
∴DP的最小值是3，
故选：A．
4．解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD＝OE＝OF，
在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，
∴AC＝15，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝
，
故选：C．
5．解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6，
故选：A．
6．解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
∵∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点H，
∴∠HAC+∠ACH＝（∠BAC+∠ACD）＝90°，
∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°，
∴△AHC是直角三角形．
∵E为AC的中点，EH＝4，
∴AC＝2EH＝8．
故选：A．
7．解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥BA，
∴DH＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×5×4+×9×4＝28．
故选：B．
8．解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，
∴BC＝＝，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA，
∴＝＝＝．
故选：D．
9．解：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
如图所示，AB∥CD，
∴MN⊥CD．
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，
∴OM＝OE＝3cm．
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON＝OE＝3cm，
∴MN＝OM+ON＝6cm，
即AB与CD之间的距离是6cm．
故选：B．
10．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵S1＝ AB OD，S2+S3＝ BC OE+ AC OF＝OD （BC+AC），
而AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
11．解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
又∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CE＝DE，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC，
∵AC＝10cm，
∴AE+DE＝AC＝10cm，
故选：C．
12．解：如图所示，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于D，OD＝4，
∴OE＝OD＝4，OF＝OD＝4，
∵AB+AC＝16，
∴四边形ABOC的面积S＝S△ABO+S△ACO
＝×AB×OE+×AC×OF
＝×AB×4+×AC×4
＝×（AB+AC）
＝2×16
＝32，
故选：B．
13．解：过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴OD＝OF，OE＝OF，
即OE＝OF＝OD，
∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝5，
∵S△OAB+S△OAC+S△OBC＝S△ABC，
∴×3×OD+×4×OE+×5×OF＝×4×3，
∴OD＝1，
∵∠DAE＝∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE为矩形，
∵OD＝OE，
∴四边形ADOE为正方形，
∴AD＝OD＝1．
故选：D．
14．解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PE＝AP，
同理可得：PE＝PD，
∴PE＝AD，
∵AD＝8，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4，
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分16分）
15．解：在BC上取点G和H，使BG＝BE，CH＝DC，
∵BD，CE 是△ABC 的用平分线，
∴∠EBO＝∠GBO，∠DCO＝∠HCO，
又∵BO＝BO，CO＝CO，
∴△BEO≌△BGO（SAS），△ODC≌△OHC（SAS），
∴∠BOG＝∠BOE，∠HOC＝∠DOC，
∵∠A＝120°，
∴，
∴∠BOE＝30°，∠BOC＝150°，
∴∠GOH＝∠BOC﹣∠BOG﹣∠HOC
＝150°﹣30°﹣30°
＝90°，
∴
＝
＝6，
∵BC﹣BE﹣CD＝5，
∴BC﹣BG﹣CH＝5，
即 GH＝5，
∴，
故答案为．
16．解：由垂线段最短可得DP⊥BC时，DP有最小值，
∵∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠DBC＝180°，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴DP＝AD，
∵AD＝3，
∴DP的最小值为3．
故答案为3．
17．解：过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EP，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°，
∵CE平分外角∠ACD，
∴EH＝EP，
∴EF＝EH，
∴AE平分∠FAC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠FAC＝180°﹣80°＝100°，
∴∠FAE＝∠FAC＝50°，
∵∠FAC＝∠ABE+∠AEB，
∴∠AEB＝50°﹣20°＝30°．
故答案为30°．
18．解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2EM＝2PM，
∵S△ABC＝ BC AC＝（AC+BC+AB） PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4．
三．解答题（共8小题，满分62分）
19．（1）解：如图，∵△ABC（∠C＞90°）的三条角平分线相交于点D，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BDC＝180°﹣∠2﹣∠3，
∴∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠BDC＝180°﹣×140°＝110°；
故答案为110；
（2）解：∠CDE＝90°﹣∠ABD；
理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠4+∠CAE＝90°，
∵∠CDE＝∠CAD+∠4，
∴∠1+∠4+∠CDE﹣∠4＝90°，
∴∠1+∠CDE＝90°，
即∠CDE＝90°﹣∠ABD；
（3）证明：∵∠5+∠3+∠CDE＝180°，∠CDE＝90°﹣∠1；
∴∠5+∠3+90°﹣∠1＝180°，
∵AF⊥BC，
∴∠5＝90°﹣∠EAF，
∴90°﹣∠EAF+∠3+90°﹣∠1＝180°，
而∠3＝∠4，
∴90°﹣∠EAF+∠4+90°﹣∠1＝180°，
∴∠4＝∠EAF+∠1，
即∠ACD＝∠EAF+∠ABD．
20．解：（1）∵∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，
∴∠AEP＝∠PEF，∠PFC＝∠CFP，
∵∠AEP+∠CFP＝90°，
∴∠AEF+∠PFC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）设∠PEQ＝α，
∵PE平分∠AEF，
∴∠AEP＝2α，
∵EQ平分∠PEF，
∴∠QEF＝∠PEQ＝α，
∵∠EPF＝90°，
∴∠PFE＝90°﹣2α，
∴∠PFM＝180°﹣（90°﹣2α）＝90°+2α，
∵FQ平分∠PFM，
∴∠PFQ＝45°+α，
∴∠Q＝180°﹣∠QEF﹣∠EFQ＝180°﹣α﹣（90°﹣2α）﹣（45°+α）＝45°；
（3）如图1，EP1∥FP2时，
∵∠AEP：∠CFP＝2：1，∠AEP+∠CFP＝90°，
∴∠AEP＝60°，∠CFP＝30°，
∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠P2FE＝30°﹣3°t，
∵EP1∥FP2，
∴∠P1EF＝∠P2FE，
∴15°t﹣60°＝30°﹣3°t，
∴t＝5；
如图2，EP1∥FP2时，
∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠EFP2＝3°t﹣30°，
∵EP1∥FP2，
∴∠P1EF+∠EFP2＝180°，
∴15°t﹣60°+3°t﹣30°＝180°，
∴t＝15；
综上所述：当t＝5或15时，射线EP1∥FP2，
故答案为5或15．
21．证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，
∴＝，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
∴点D在∠BAC的平分线上，
又∵A点也在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．
22．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
23．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM＝DN＝DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）解：△ABC是等腰三角形，
证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠GAD＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB，
∵AD平分∠GAC，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
24．解：（1）如下图所示，设∠ABC＝β，∠ACB＝γ，直线BM与直线CN相交于点F，
由题意可得，β+γ＝180°﹣α，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴，，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，
∴，，
∴，，
∴∠F＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣＝180°﹣＝，
故答案为：；
（2）如下图所示，∠ABC的三等分线与∠ACB的外角的三等分线的交点为D1、D2、D3和D4，
∵∠A＝70°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝115°，
∴∠BD1C＝180°﹣15°﹣65°﹣＝，
∴∠BD2C＝∠BD1C﹣15°＝，∠BD3C＝∠BD1C﹣，
∴∠BD4C＝∠BD3C﹣15°＝，
故答案为：或或或；
（3）证明：如下图所示，
∵∠1＝∠2+∠N，
∴∠N＝∠1﹣∠2，
∵，，
∴﹣＝120°﹣（∠BAD+∠ADC），
∵∠BAD+∠ADC+α+β＝360°，
∴∠BAD+∠ADC＝360°﹣（α+β），
∴∠N＝120°﹣（∠BAD+∠ADC）＝120°﹣＝（α+β）﹣120°；
（4）∵∠P1AE＝∠P1+∠P1DA，
∴∠P1＝∠P1AE﹣∠P1DA
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
同理可得，，，……，
∴∠P1+∠P2+∠P3+…+∠Pn﹣1
＝（+……++）（α+β﹣180°）
＝（α+β﹣180°）
＝，
故答案为：．
25．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
26．解：图象如图所示，
∵∠EAC＝∠ACB，
∴AD∥CB，
∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，
∴△ACD≌△CAB（SAS），
∴∠ACD＝∠CAB，
∴AB∥CD．