2.2.2基本不等式的应用(共34张PPT)

(共34张PPT)
第二章
第二课时　基本不等式的应用
1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.
2.能够利用基本不等式解决实际问题.
课标要求
素养要求
通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.
课前预习
知识探究
1
基本不等式与最大(小)值
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当________时，积xy
有最大值_________.
(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当________时，和x＋y有最小值______.
x＝y
x＝y
点睛
(1)利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.
①一正：各项必须为正.
②二定：各项之和或各项之积为定值.
③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.
(2)应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.　　　
1.思考辨析，判断正误
×
提示　a，b为正实数.
(2)对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.( )
提示　a，b为正实数.
×
×
2.(多选题)下列不等式正确的是(　　)
BC
3.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.
50
4.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.
解析　由m2＋n2≥2mn，
课堂互动
题型剖析
2
题型一　基本不等式的简单应用
解　∵x>2，∴x－2>0，
利用基本不等式求最值的策略
思维升华
解　因为x<0，
(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.
解　法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
即x＝12时，等号成立.∴x＋y的最小值是18.
【例2】　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
题型二　基本不等式的实际应用
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
思维升华
解　设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.
由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y1元，
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
题型三　基本不等式的灵活应用
解析　法一(1的代换)
16
解①②可得x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时取等号，
所以x＋y的最小值是16.
解析　正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
角度3　利用基本不等式解决恒成立问题
解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，
B
当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
思维升华
C
D
即a2＝c2＝2b2时，等号成立.
(3)求x(m－x)(0解　∵00，m－x>0.
1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行，若具备这些条件，则可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当变形.
2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和待求的式子，运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积.
其中通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，常见的变形方法有拆、并、配.
课堂小结
(1)拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创设条件.
(2)并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值.
(3)配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后的和式中各部分相乘后为定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
注意　①基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到；②分式形函数及含有两个变量的函数或代数式，适合用基本不等式求最值.