一元二次方程导学案
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文档简介
第二十二章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
学习目标：
进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；
2、正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
学习过程：
（一）学生预习 教师导学
根据题意列方程：
（1）有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无 盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形
（2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 .
（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？
（二）学生探究 教师引领
（１）、问题：上述3个方程是不是一元一次方程？有何共同点？
①_______________________；②____________________；③________________________。
（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是________,只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程叫做一元二次方程。
（3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 _______________(a,b,c为常数）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。为 _______，为 ____，为 ____ 。
（三）学生展示 教师激励
1、下列方程中，哪些是关于 的一元二次方程？
（1） （2） （3）
（4） (5) (6)
2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) (2) (3)
3、完成课本27页练习1、2题
（四）学生归纳 教师提炼
(1)一元二次方程必须满足三个条件：1、 ______ ；2、 _____ ； 3、 ______ 。
(2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：
(3)二次项系数是一个重要条件，不能漏掉，为什么？
（4）确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？
（五）学生达标 教师测评
A组：
1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）（ ）（2） ( )
(3) （ ） (4) ( )
（5） （ ） （6） （ ）
2、方程的一次项是（ ）
A. B. C. D.
3、将方程化成一般形式为____________________________,它的二次项系数为_________，一次项系数为___________，常数项为__________________。
4、当a_______时，关于X的方程（a-1）x2+3x-5=0是一元一次方程。
当a_______时，关于X的方程（a-1）x2+3x-5=0是一元二次方程。
5、判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解；
（1） ±1；±2； （2） ±2，±4
B组：
1、把方程(化成一般形式为______________它的二次项系数是_______,一次项系数是_________,常数项是_______________
2、要使是一元二次方程，则k=_______.
3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。
拓展提高：1、已知关于x的方程。问
（1）当k为何值时，方程为一元一次方程？
（2）当k为何值时，方程为一元二次方程？
2、思考题：你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗？
22.2 降次-一解一元二次方程（5课时）
第1课时 直接开平方法和因式分解法
学习目标：
1、会用直接开平方法解形如=a(a≥0)或（mx+n）=a(a≥0)的方程； 会用因式分解法解特殊的一元二次方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想---降次，体会一元二次方程与一元一次方程的联系和两者之间相互转化的思想方法；
重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。
导学流程：
（一）学生预习 教师导学
1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；
（3）x2+px+_____=（x+______）2．
（4）36的平方根是________,的平方根是____________。
2、若，则=______________；若，则=__________。
3、请根据提示完成下面解题过程：
(1) 由方程 ， 得 (2) 由方程 ， 得
=_______ (_________)=2
即 ∴ ______________=_______
=____，=_____ 即 ____________, ____________
∴ =_______, =_____ ∴ =_______, =_____
（二）学生探究 教师引领
试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4； （2）x2－1＝0;
解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得
x=____ ______________＝0，
必有 x－1＝0，或______＝0,
得x1＝___，x2＝_____.
教师点拨：方程(1)的解法叫做直接开平方法. 方程(2)的解法叫做因式分解法.
思考：
1、方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？
2、方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首应将它化成什么形式？
练一练：
1.试用两种方法解方程x2－900＝0.
(1)直接开平方法 (2) 因式分解法
2.解下列方程：
（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.
解：（1）移项，得x2＝2. 解： 移项，得___________________.
直接开平方，得. 方程两边都除以16，得____________
所以原方程的解是 直接开平方，得x＝______________.
，. 所以原方程的解是x1＝___，x2＝___.
小结：方程（1）、（2）采用的解法是____________________
（3）3x2＋2x=0； （4）x2＝3x.
解:方程左边分解因式，得 解：原方程即_____________=0.
__________________ 方程左边分解因式，得__________＝0.
所以_______或____________ 所以_________或____________
∴原方程的解x1＝____,x2＝____ ∴原方程的解x1＝___，x2＝____
小结：方程（3）、（4）采用的解法是____________________
方法整理：
1、形如或的一元二次方程可利用平方根的
定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。
2、如果方程能化成或的形式，那么可得，
或。
如果一元二次方程能化成两个一次式的乘积等于0的形式，那么可得每个一次式都等于0，从而得解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
4、用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程
（三）学生展示 教师激励
1、解下列方程：
（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
分析：两个方程都可以转化为（ ）2＝a的形式，从而用直接开平方法求解.
解：（1）原方程可以变形为 （2）
（_____________）2＝____，
两边开平方，得_______________
∴__________=0或___________=0
∴原方程的解是x1＝____, x2＝____
完成课本第31页练习
（四）学生归纳 教师提炼
你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？它们之间有何联系与区别？
（五）学生达标 教师测评
1、解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0； （3）12y2－25＝0； （4）x2－2x＝0；
（5）（t－2）（t +1）=0； （6）x（x＋1）－5x＝0. (7) x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
2、小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么会少一个解？
拓展提高
1、解下列方程：
（1）+2x-3=0 (2) -50x+225=0
2、构造一个以2为根的关于x 的一元二次方程。
第 2 课时 配方法
学习目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难点：配方的过程。
导学流程
（一）学生预习 教师导学
1、复习引入：填上适当的数，使下列等式成立：
(1) +____ = (2) ____ = (___)
(3) ____ = (____) （4）－x＋_____＝（x－____）2
由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：
_____________________________________________________
2、探索新知：请阅读教材第第31-33页，解方程，完成下面框图：
教师点拨:上面，我们把方程变形为_____________，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.配方是为了降次，即把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。
（二）学生探究 教师引领
用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x＋1＝0.
解:移项，得x2－6x＝____. 解：移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得 方程左边配方，得
x2－2·x·3＋__2＝7＋___， x2＋3x＋（ ）2＝－1＋____
即 （______）2＝____. 即 ____________________
所以 x－3＝____. 所以 ______________
∴原方程的解是x1＝_____，x2＝_____. ∴原方程的解是x1＝___，x2＝____
（3） （4）
这两道题与前两题有何区别？自学课本第33页例1后，请与同伴讨论如何解决这个问题？并独自写出解提过程。
解： 解：
（三）学生展示 教师激励
1、解下列方程：（同桌相互查找问题，进行纠正）
(1) (2) (3)
2、完成课本第34页练习，学生黑板上展示
（四）学生归纳 教师提炼
1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2、配方是为了降次，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。
3、方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1。
4、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：
①、移项，把常数项移到方程右边；
②、配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
③、利用直接开平方法解之。
（五）学生达标 教师测评
1、填上适当的数，使下列等式成立：
(1) (2)
(3) (4)
（5）4x2－6x＋（ ）＝4（x－ ）2＝（2x－ ）2.
2、将方程配方后，原方程变形为（ ）
A. B. C. D.
3、解下列方程：
(1) (2) (3)
（4）（4）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
拓展提高
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
第3课时 公式法
学习目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；
3、进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；
难点：推导求根公式的过程。
导学流程
（一）学生预习 教师导学
复习提问：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗？请与同桌讨论一下.
（二）学生探究 教师引领
自学课本第35-36页后，师生共同推导公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得_____________________＝0.
移项，得 x2＋x＝________，
配方，得 x2＋x＋______＝______－,
即 (____________) 2＝___________
因为 a≠0，所以4a2＞0，当b2－4ac≥0时，直接开平方，得
_____________________________.
所以 x＝_______________________
即 x＝_________________________
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：
(
x
＝
(
b
2
－4
ac
≥
0
)
)
思考：b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
教师点拨
1、利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
2、式子b2－4 ac叫做方程ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用字母△表示它，即△=b2－4 ac
①当b2－4ac＞0时,方程有____个________的实数根；（填相等或不相等）
即x1＝______________________，x2＝__________________________
②当b2－4ac＝0时,方程有____个________的实数根;即x1＝x2＝______
③当b2－4ac＜0时，方程_______________实数根.
（三）学生展示 教师激励
自我学习课本第36页例2后，尝试练习
1、用公式法解下列方程:
(1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x.
解(1)∵a＝___，b＝___，c＝______， 解(2)将方程化为一般式，得
∴△=b2－4 ac＝__________ ＝______ _______________________＝0
方程有______________实数根 ∵a＝___，b＝___，c＝______，
x＝＝____________ ∴△=b2－4 ac＝_________ ＝______
即 x1＝__________，x2＝___________ 方程有______________实数根
x＝＝____________
即 x1＝__________，x2＝___________
(3) (4)
2、不解方程，判断下列方程实数根的情况：
(1) (2) (3)
解（1）∵a＝__,b=__,c=___ （2） （3）
∴△=b2－4 ac＝________
∴方程有____________实数根
（四）学生归纳 教师提炼
1、一元二次方程的求根公式是_________________________。
根的判别式是______________________
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
（五）学生达标 教师测评
1、用公式法解下列方程:
(1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6； (3)4x2－3x－1＝x－2；
(4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). （5）（x-2）（x+5）＝8； （6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
2、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m.
(1)养鸭场的面积能达到150m吗？能达到200 m吗？
(2)能达到250 m吗？
拓展提高
（1）当m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0有两个相等的实数根？
（2）m取什么值时，关于x的方程x2-(2m＋2)x＋m2-2m－2＝0没有实数根？
（3）说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实数根
第4课时（习题课）
学习目标
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。
重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
难点：理解四种解法的区别与联系。
复习提问
（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
精讲点拨
观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，其中，公式法和配方法适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。
练习一：分别用三种方法来解以下方程
（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0
用因式分解法： 用配方法：
用公式法： 用因式分解法：
用配方法： 用公式法：
练习二：你认为下列方程用什么方法来解更简便。
（1）12y2－25＝0； （你用_____________法）
（2）x2－2x＝0； （你用_____________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0； （你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1； （你用_____________法）
（6）3x2＝4x. （你用_____________法）
对应训练
1、解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0； （2）（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0； （4）3x2＝4x－1；
（5）x（3x－2）－6x2＝0； （6）（2x－3）2＝x2.
2、当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21； （2）3x2－6的值与x－2的值相等.
3、用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x； （2）（x＋3）2＝1；
（3）x2＋(＋1)x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝； （6）x（x＋8）＝16；
（7）（x＋2）（x－5）＝1； （8）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
4、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
课堂小结
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.
拓展提高
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
（A）3或-2 （B） -3或2 （C） 3 （D）-2
2、试求出下列方程的解：
（1）(x-x)-5(x-x)+6=0 （2）
3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？
第5课时 根与系数的关系
学习目标
掌握一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系解决相关待定系数的值。
通过对一元二次方程根与系数关系的探讨，经历和体验数学的发现过程，提高探究性学习的能力。
重点：运用根与系数的关系求相关待定系数的值。
难点：运用根与系数的关系解题必须是在b2-4ac不小于0的情况下。
导学流程
（一）学生复习 教师导学
1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、一元二次方程的解法有几种？
3、如何判断一元二次方程根的情况？
4、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？
（二）学生探究 教师引领
1、解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
（1）－2x＝0；（2） ＋3x－4＝0；（3） 2－5x-7＝0．
方程
－2x＝0
＋3x－4＝0
2－5x-7＝0
2、请根据以上表格中的观察、发现进一步猜想：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是、，则= ，= ，并加以证明。（学生分组交流、讨论后证明）
证明：
精讲点拨
（1）、应用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x=，可以分别求出与的值。
（2）、一般地，如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两个根x1、x2 ，那么：
=-， = .这就是一元二次方程根与系数的关系。
3、自学课本第41页例4后完成下列问题
（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？
①-3y+1=0 ② 3-2x=2 ③2+3x=0 ④4p(p-1)=3
（2）关于x的方程x2-4x+5=0,下列叙述正确的是（ ）。
A、两根的积是-5； B、两根的和是5；
C、两根的和是4； D、以上答案都不对
（3）若1和3是方程x2-px+q=0的两根，则p= ;q= .
思考：通过以上练习，可以发现利用一元二次方程根与系数的关系做题时，应注意哪些事项？
（三）学生展示 教师激励
1、已知、是方程2+3x-4=0的两个实数根，则的值是 。
2、已知反比例函数，当x＞0时,y随着x的增大而增大，则关于x的方程
a－2x＋b＝0的根的情况是（ ）。
A、有两个正根； B、有两个负根；
C、有一个正根，一个负根； D、没有实数根。
3、已知关于x的方程（k-1）+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根、.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在求出k的值；如果不存在，请说明理由。
（四）学生归纳 教师提炼
一元二次方程根与系数的关系是什么？
使用一元二次方程根与系数的关系应注意哪些事项？
（五）学生达标 教师测评
1、已知、是方程-x-3=0的两个实数根，则= ,
= .
2、若方程x2+px+2=0的一个根是2，则另一个根是 ，p= .
3、下列方程中两根之和是2的方程是（ ）
A、+2x+4=0 B、-2x-4=0 C、+2x-4=0 D、-2x+4=0
4、已知、是方程-2x-3=0的两个实数根，则= , 。
5、先阅读下列材料，然后按要求解答有关问题。
若关于x的一元二次方程+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和为2，求m的值。
解：设方程的两实根为x,x,那么=-（m+1）, =m+4,
所以 ，
即=9，解得m=3.
请指出上述解题过程中的错误和不完整之处，并写出正确解答过程。
6、已知是方程＋2x-5＝0的实数根，求的值。
22.3实际问题与一元二次方程
第1课时
学习目标：
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解
能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理
进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。
重点：一元二次方程在实际问题中的应用，列方程解应用题；
难点：会用含未知数的代数式表示等量关系，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理。
导学流程
学生预习 教师导学
复习巩固
1、解下列方程：
(1) (2)
2、列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)“设”，即设_____________，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(2)“列”，即根据题中________关系列方程；
(3)“解”，即求出所列方程的_________；
(4)“检验”，即验证是否符合题意；
(5)“答”，即回答题目中要解决的问题。
（二）学生探究 教师引领
探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感：2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
则：列方程 ，解得
即平均一个人传染了 个人。
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
探究2：自学课本第46页，与同桌交流学习体会，解题心得
（三）学生归纳 教师提炼
1、
2、计算公式： 其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长率（或降低率），n是增长（或降低）的次数，b是增长（或降低）后的实际数。
（四）学生展示 教师激励
某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
（五）学生达标 教师测评
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A. 720 B.
C. D.
3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
4、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
5、商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？
6、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
作业：课本第48页 习题22.3 第4-7题 第53页第7、9题
22.3实际问题与一元二次方程
第2课时
学习目标
1、继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。
2、会运用方程模型解决增长率问题，
3、了解增设辅助未知数的方法，明确辅助未知数的作用。
重点：运用一元二次方程知识解决增长率的问题。
难点：设辅助未知数。
导学流程
（一）学生预习 教师导学
（1）某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨，若二月份的产量增长率为x,则二月份产量为（ ）,若三月份的产量的增长率是二月份的两倍，则三月份的产量为（ ）。
（2）某林场现有的木材蓄积量为立方米，预计在今后两年内木材蓄积量的年平均增长率为,那么两年后该临场木材蓄积量为（ ）立方米。
（二）学生探究 教师引领
例1：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
设这两年的年平均增长率为x，则今年年底的图书数是__________万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的_______倍，即_________________________________万册.可列得方程
____________________＝7.2
请同学们自己整理出做题步骤，注意检验结果的合理性。
例2：武汉市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
精讲点拨
①财政净收入翻一番，意味着净收入增长到原来的两倍。
②财政净收入和平均年增长率都是未知数，其中财政净收入是一个辅助未知数，列出方程后，辅助未知数自动消去。
试一试写出完整的步骤。（请一名同学黑板演练）
（三）学生展示 教师激励
某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。
2、哈尔滨市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44，这两年平均每年面积的增长率是（ ）。
3、 请同学们认真阅读下面的题目，说出这道题与前面所做例题的区别与联系，然后根据相等关系列出方程。
和平中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到初三结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
（四）学生归纳 教师提炼
请说出你在本节课收获了什么？
（五）学生达标 教师测评
1、某工厂一月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？
2、某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月平均增长的百分率.
3、为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）
4、某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？
（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？
（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？
（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？
22.3实际问题与一元二次方程
第3课时
学习目标：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
重点：一元二次方程在实际问题中的应用，列方程解应用题；
难点：会用含未知数的代数式表示等量关系，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理。
导学流程
（一）学生预习 教师导学
复习巩固
1.直角三角形的面积=_________, 一般三角形的面积=________
2.正方形的面积=_____, 长方形的面积=____ 3.梯形的面积=_______
4．菱形的面积=____ 5.平行四边形的面积=_____ 6．圆的面积=_____
注意点：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程
（二）学生探究 教师引领
自学课本第47页探究3：如果设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，如何解决此题呢？
我的解法是：
（三）学生展示 教师激励
例题：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有一位学生各设计了一种方案(如图22-3-1),求图中道路的宽是多少时图中的草坪面积为540平方米。
图22-3-1
（四）学生归纳 教师提炼
我的收获是：
（五）学生达标 教师测评
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
2．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
3．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
(
22-3-2
)4．如图22-3-2，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，求此长方形鸡场的长、宽。
(
22-3-3
)5.如图22-3-3所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
6、一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？
一元二次方程全章复习
复习目标：
掌握一元二次方程的概念，会用合适的方法解一元二次方程。能用一元二次方程解决实际问题。
一、自主学习:
1、下列方程中，关于X的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2、解下列方程：
(1) (2) (3)
3、某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡56张，这个小组共有（ ）人
（A）7 （B）8 （C）14 （D）4
4、某辆汽车在公路上行驶，它的行驶路程s(km)和时间t(h)之间的关系式为.那么行驶5km所需的时间为 h.
二、归纳总结：
1、一元二次方程的定义及一般形式
定义 ⑴只含有一个未知数 ⑵整式方程
⑶都可化为的形式
2、一元二次方程的几种解法：直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
3、用配方法、因式分解法等解一元二次方程时，要通过适当的变形先使方程转化为一元一次方程，也就是使未知数从二次变为一次，即降次。一元二次方程的降次变形，是由一个二次方程得到两个一次方程，因此一个一元二次方程有两个根。
4、对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系 “翻译”为一元二次方程。
三、课堂检测
1、方程的解是____________________
2、方程的解是____________________
3、填上适当的数，使等式成立。
4、若X=1是一元二次方程的根，则a+b=______
5.在参加足球世界杯预选赛的球队中，每两个队都要进行一次比赛，共要比赛45场，若参赛队有支队，则可得方程 .
6、已知2是关于X的方程的一个根，则的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7、若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（ ）
A. B. C. D.
8、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番.在本世纪的头二十年（2001年－2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年国民生产总值的增长率都是，那么满足的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、 解下列方程：
（1） （2） （3）
10、某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件童装降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件童装应降价多少元？
《一元二次方程》课堂测试题
一、选择题(每小题3分，共24分)
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2、方程的解为（ ）
A. x＝2 B. x1＝，x2＝0 C. x1＝2，x2＝0 D. x＝0
3、解方程的适当方法是（ ）
A、直接开平方法 B、配方法 C、公式法 D、因式分解法
4、已知m方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A.—1 B.0 C.1 D.2
5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为 D.3y2-4y-2=0化为
6、下面是李明同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）．
A.若x2=4，则x＝2 B.方程x(2x－1)＝2x－1的解为x＝1
C.若x2-5xy-6y2=0（xy≠0）,则＝6或＝-1
D.若分式值为零，则x＝1，2
7、用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A、 B、
C、 D、
8、从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ）
A.9cm2 B.68cm2 C.8cm2 D.64cm2
二、填空题(每小题3分，共18分)
9、把方程（2x+1）（x—2）=5－3x整理成一般形式后，得 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
10、配方：x2 —3x+ __ = (x —__ )2； 4x2—12x+15 = 4( )2＋6
11、方程的解是________,方程的解是__________。
12、若方程mx2+3x-4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .
13、已知代数式x(x－5)+1与代数式9x-6的值互为相反数，则x= .
14、若一个等腰三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 .
三、解答题(每小题7分，共28分)
15、解方程： 16、解方程x2 —4x+1=0
17、解方程：3x2+5(2x+1)=0 18、解方程：3(x-5)2=2(5-x)
四、应用题
19、（10分）某校2005年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2007年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？
20.（10分）有一面积为150平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米。求鸡场的长和宽。
21、已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝０的根。求此三角形的周长。
30
22.1 一元二次方程
学习目标：
进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；
2、正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
学习过程：
（一）学生预习 教师导学
根据题意列方程：
（1）有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无 盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形
（2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 .
（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？
（二）学生探究 教师引领
（１）、问题：上述3个方程是不是一元一次方程？有何共同点？
①_______________________；②____________________；③________________________。
（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是________,只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程叫做一元二次方程。
（3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 _______________(a,b,c为常数）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。为 _______，为 ____，为 ____ 。
（三）学生展示 教师激励
1、下列方程中，哪些是关于 的一元二次方程？
（1） （2） （3）
（4） (5) (6)
2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) (2) (3)
3、完成课本27页练习1、2题
（四）学生归纳 教师提炼
(1)一元二次方程必须满足三个条件：1、 ______ ；2、 _____ ； 3、 ______ 。
(2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：
(3)二次项系数是一个重要条件，不能漏掉，为什么？
（4）确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？
（五）学生达标 教师测评
A组：
1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）（ ）（2） ( )
(3) （ ） (4) ( )
（5） （ ） （6） （ ）
2、方程的一次项是（ ）
A. B. C. D.
3、将方程化成一般形式为____________________________,它的二次项系数为_________，一次项系数为___________，常数项为__________________。
4、当a_______时，关于X的方程（a-1）x2+3x-5=0是一元一次方程。
当a_______时，关于X的方程（a-1）x2+3x-5=0是一元二次方程。
5、判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解；
（1） ±1；±2； （2） ±2，±4
B组：
1、把方程(化成一般形式为______________它的二次项系数是_______,一次项系数是_________,常数项是_______________
2、要使是一元二次方程，则k=_______.
3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。
拓展提高：1、已知关于x的方程。问
（1）当k为何值时，方程为一元一次方程？
（2）当k为何值时，方程为一元二次方程？
2、思考题：你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗？
22.2 降次-一解一元二次方程（5课时）
第1课时 直接开平方法和因式分解法
学习目标：
1、会用直接开平方法解形如=a(a≥0)或（mx+n）=a(a≥0)的方程； 会用因式分解法解特殊的一元二次方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想---降次，体会一元二次方程与一元一次方程的联系和两者之间相互转化的思想方法；
重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。
导学流程：
（一）学生预习 教师导学
1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；
（3）x2+px+_____=（x+______）2．
（4）36的平方根是________,的平方根是____________。
2、若，则=______________；若，则=__________。
3、请根据提示完成下面解题过程：
(1) 由方程 ， 得 (2) 由方程 ， 得
=_______ (_________)=2
即 ∴ ______________=_______
=____，=_____ 即 ____________, ____________
∴ =_______, =_____ ∴ =_______, =_____
（二）学生探究 教师引领
试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4； （2）x2－1＝0;
解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得
x=____ ______________＝0，
必有 x－1＝0，或______＝0,
得x1＝___，x2＝_____.
教师点拨：方程(1)的解法叫做直接开平方法. 方程(2)的解法叫做因式分解法.
思考：
1、方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？
2、方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首应将它化成什么形式？
练一练：
1.试用两种方法解方程x2－900＝0.
(1)直接开平方法 (2) 因式分解法
2.解下列方程：
（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.
解：（1）移项，得x2＝2. 解： 移项，得___________________.
直接开平方，得. 方程两边都除以16，得____________
所以原方程的解是 直接开平方，得x＝______________.
，. 所以原方程的解是x1＝___，x2＝___.
小结：方程（1）、（2）采用的解法是____________________
（3）3x2＋2x=0； （4）x2＝3x.
解:方程左边分解因式，得 解：原方程即_____________=0.
__________________ 方程左边分解因式，得__________＝0.
所以_______或____________ 所以_________或____________
∴原方程的解x1＝____,x2＝____ ∴原方程的解x1＝___，x2＝____
小结：方程（3）、（4）采用的解法是____________________
方法整理：
1、形如或的一元二次方程可利用平方根的
定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。
2、如果方程能化成或的形式，那么可得，
或。
如果一元二次方程能化成两个一次式的乘积等于0的形式，那么可得每个一次式都等于0，从而得解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
4、用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程
（三）学生展示 教师激励
1、解下列方程：
（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
分析：两个方程都可以转化为（ ）2＝a的形式，从而用直接开平方法求解.
解：（1）原方程可以变形为 （2）
（_____________）2＝____，
两边开平方，得_______________
∴__________=0或___________=0
∴原方程的解是x1＝____, x2＝____
完成课本第31页练习
（四）学生归纳 教师提炼
你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？它们之间有何联系与区别？
（五）学生达标 教师测评
1、解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0； （3）12y2－25＝0； （4）x2－2x＝0；
（5）（t－2）（t +1）=0； （6）x（x＋1）－5x＝0. (7) x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
2、小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么会少一个解？
拓展提高
1、解下列方程：
（1）+2x-3=0 (2) -50x+225=0
2、构造一个以2为根的关于x 的一元二次方程。
第 2 课时 配方法
学习目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难点：配方的过程。
导学流程
（一）学生预习 教师导学
1、复习引入：填上适当的数，使下列等式成立：
(1) +____ = (2) ____ = (___)
(3) ____ = (____) （4）－x＋_____＝（x－____）2
由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：
_____________________________________________________
2、探索新知：请阅读教材第第31-33页，解方程，完成下面框图：
教师点拨:上面，我们把方程变形为_____________，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.配方是为了降次，即把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。
（二）学生探究 教师引领
用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x＋1＝0.
解:移项，得x2－6x＝____. 解：移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得 方程左边配方，得
x2－2·x·3＋__2＝7＋___， x2＋3x＋（ ）2＝－1＋____
即 （______）2＝____. 即 ____________________
所以 x－3＝____. 所以 ______________
∴原方程的解是x1＝_____，x2＝_____. ∴原方程的解是x1＝___，x2＝____
（3） （4）
这两道题与前两题有何区别？自学课本第33页例1后，请与同伴讨论如何解决这个问题？并独自写出解提过程。
解： 解：
（三）学生展示 教师激励
1、解下列方程：（同桌相互查找问题，进行纠正）
(1) (2) (3)
2、完成课本第34页练习，学生黑板上展示
（四）学生归纳 教师提炼
1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2、配方是为了降次，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。
3、方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1。
4、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：
①、移项，把常数项移到方程右边；
②、配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
③、利用直接开平方法解之。
（五）学生达标 教师测评
1、填上适当的数，使下列等式成立：
(1) (2)
(3) (4)
（5）4x2－6x＋（ ）＝4（x－ ）2＝（2x－ ）2.
2、将方程配方后，原方程变形为（ ）
A. B. C. D.
3、解下列方程：
(1) (2) (3)
（4）（4）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
拓展提高
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
第3课时 公式法
学习目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；
3、进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；
难点：推导求根公式的过程。
导学流程
（一）学生预习 教师导学
复习提问：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗？请与同桌讨论一下.
（二）学生探究 教师引领
自学课本第35-36页后，师生共同推导公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得_____________________＝0.
移项，得 x2＋x＝________，
配方，得 x2＋x＋______＝______－,
即 (____________) 2＝___________
因为 a≠0，所以4a2＞0，当b2－4ac≥0时，直接开平方，得
_____________________________.
所以 x＝_______________________
即 x＝_________________________
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：
(
x
＝
(
b
2
－4
ac
≥
0
)
)
思考：b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
教师点拨
1、利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
2、式子b2－4 ac叫做方程ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用字母△表示它，即△=b2－4 ac
①当b2－4ac＞0时,方程有____个________的实数根；（填相等或不相等）
即x1＝______________________，x2＝__________________________
②当b2－4ac＝0时,方程有____个________的实数根;即x1＝x2＝______
③当b2－4ac＜0时，方程_______________实数根.
（三）学生展示 教师激励
自我学习课本第36页例2后，尝试练习
1、用公式法解下列方程:
(1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x.
解(1)∵a＝___，b＝___，c＝______， 解(2)将方程化为一般式，得
∴△=b2－4 ac＝__________ ＝______ _______________________＝0
方程有______________实数根 ∵a＝___，b＝___，c＝______，
x＝＝____________ ∴△=b2－4 ac＝_________ ＝______
即 x1＝__________，x2＝___________ 方程有______________实数根
x＝＝____________
即 x1＝__________，x2＝___________
(3) (4)
2、不解方程，判断下列方程实数根的情况：
(1) (2) (3)
解（1）∵a＝__,b=__,c=___ （2） （3）
∴△=b2－4 ac＝________
∴方程有____________实数根
（四）学生归纳 教师提炼
1、一元二次方程的求根公式是_________________________。
根的判别式是______________________
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
（五）学生达标 教师测评
1、用公式法解下列方程:
(1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6； (3)4x2－3x－1＝x－2；
(4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). （5）（x-2）（x+5）＝8； （6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
2、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m.
(1)养鸭场的面积能达到150m吗？能达到200 m吗？
(2)能达到250 m吗？
拓展提高
（1）当m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0有两个相等的实数根？
（2）m取什么值时，关于x的方程x2-(2m＋2)x＋m2-2m－2＝0没有实数根？
（3）说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实数根
第4课时（习题课）
学习目标
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。
重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
难点：理解四种解法的区别与联系。
复习提问
（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
精讲点拨
观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，其中，公式法和配方法适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。
练习一：分别用三种方法来解以下方程
（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0
用因式分解法： 用配方法：
用公式法： 用因式分解法：
用配方法： 用公式法：
练习二：你认为下列方程用什么方法来解更简便。
（1）12y2－25＝0； （你用_____________法）
（2）x2－2x＝0； （你用_____________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0； （你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1； （你用_____________法）
（6）3x2＝4x. （你用_____________法）
对应训练
1、解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0； （2）（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0； （4）3x2＝4x－1；
（5）x（3x－2）－6x2＝0； （6）（2x－3）2＝x2.
2、当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21； （2）3x2－6的值与x－2的值相等.
3、用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x； （2）（x＋3）2＝1；
（3）x2＋(＋1)x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝； （6）x（x＋8）＝16；
（7）（x＋2）（x－5）＝1； （8）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
4、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
课堂小结
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.
拓展提高
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
（A）3或-2 （B） -3或2 （C） 3 （D）-2
2、试求出下列方程的解：
（1）(x-x)-5(x-x)+6=0 （2）
3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？
第5课时 根与系数的关系
学习目标
掌握一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系解决相关待定系数的值。
通过对一元二次方程根与系数关系的探讨，经历和体验数学的发现过程，提高探究性学习的能力。
重点：运用根与系数的关系求相关待定系数的值。
难点：运用根与系数的关系解题必须是在b2-4ac不小于0的情况下。
导学流程
（一）学生复习 教师导学
1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、一元二次方程的解法有几种？
3、如何判断一元二次方程根的情况？
4、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？
（二）学生探究 教师引领
1、解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
（1）－2x＝0；（2） ＋3x－4＝0；（3） 2－5x-7＝0．
方程
－2x＝0
＋3x－4＝0
2－5x-7＝0
2、请根据以上表格中的观察、发现进一步猜想：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是、，则= ，= ，并加以证明。（学生分组交流、讨论后证明）
证明：
精讲点拨
（1）、应用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x=，可以分别求出与的值。
（2）、一般地，如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两个根x1、x2 ，那么：
=-， = .这就是一元二次方程根与系数的关系。
3、自学课本第41页例4后完成下列问题
（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？
①-3y+1=0 ② 3-2x=2 ③2+3x=0 ④4p(p-1)=3
（2）关于x的方程x2-4x+5=0,下列叙述正确的是（ ）。
A、两根的积是-5； B、两根的和是5；
C、两根的和是4； D、以上答案都不对
（3）若1和3是方程x2-px+q=0的两根，则p= ;q= .
思考：通过以上练习，可以发现利用一元二次方程根与系数的关系做题时，应注意哪些事项？
（三）学生展示 教师激励
1、已知、是方程2+3x-4=0的两个实数根，则的值是 。
2、已知反比例函数，当x＞0时,y随着x的增大而增大，则关于x的方程
a－2x＋b＝0的根的情况是（ ）。
A、有两个正根； B、有两个负根；
C、有一个正根，一个负根； D、没有实数根。
3、已知关于x的方程（k-1）+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根、.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在求出k的值；如果不存在，请说明理由。
（四）学生归纳 教师提炼
一元二次方程根与系数的关系是什么？
使用一元二次方程根与系数的关系应注意哪些事项？
（五）学生达标 教师测评
1、已知、是方程-x-3=0的两个实数根，则= ,
= .
2、若方程x2+px+2=0的一个根是2，则另一个根是 ，p= .
3、下列方程中两根之和是2的方程是（ ）
A、+2x+4=0 B、-2x-4=0 C、+2x-4=0 D、-2x+4=0
4、已知、是方程-2x-3=0的两个实数根，则= , 。
5、先阅读下列材料，然后按要求解答有关问题。
若关于x的一元二次方程+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和为2，求m的值。
解：设方程的两实根为x,x,那么=-（m+1）, =m+4,
所以 ，
即=9，解得m=3.
请指出上述解题过程中的错误和不完整之处，并写出正确解答过程。
6、已知是方程＋2x-5＝0的实数根，求的值。
22.3实际问题与一元二次方程
第1课时
学习目标：
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解
能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理
进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。
重点：一元二次方程在实际问题中的应用，列方程解应用题；
难点：会用含未知数的代数式表示等量关系，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理。
导学流程
学生预习 教师导学
复习巩固
1、解下列方程：
(1) (2)
2、列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)“设”，即设_____________，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(2)“列”，即根据题中________关系列方程；
(3)“解”，即求出所列方程的_________；
(4)“检验”，即验证是否符合题意；
(5)“答”，即回答题目中要解决的问题。
（二）学生探究 教师引领
探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感：2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
则：列方程 ，解得
即平均一个人传染了 个人。
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
探究2：自学课本第46页，与同桌交流学习体会，解题心得
（三）学生归纳 教师提炼
1、
2、计算公式： 其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长率（或降低率），n是增长（或降低）的次数，b是增长（或降低）后的实际数。
（四）学生展示 教师激励
某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
（五）学生达标 教师测评
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A. 720 B.
C. D.
3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
4、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
5、商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？
6、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
作业：课本第48页 习题22.3 第4-7题 第53页第7、9题
22.3实际问题与一元二次方程
第2课时
学习目标
1、继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。
2、会运用方程模型解决增长率问题，
3、了解增设辅助未知数的方法，明确辅助未知数的作用。
重点：运用一元二次方程知识解决增长率的问题。
难点：设辅助未知数。
导学流程
（一）学生预习 教师导学
（1）某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨，若二月份的产量增长率为x,则二月份产量为（ ）,若三月份的产量的增长率是二月份的两倍，则三月份的产量为（ ）。
（2）某林场现有的木材蓄积量为立方米，预计在今后两年内木材蓄积量的年平均增长率为,那么两年后该临场木材蓄积量为（ ）立方米。
（二）学生探究 教师引领
例1：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
设这两年的年平均增长率为x，则今年年底的图书数是__________万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的_______倍，即_________________________________万册.可列得方程
____________________＝7.2
请同学们自己整理出做题步骤，注意检验结果的合理性。
例2：武汉市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
精讲点拨
①财政净收入翻一番，意味着净收入增长到原来的两倍。
②财政净收入和平均年增长率都是未知数，其中财政净收入是一个辅助未知数，列出方程后，辅助未知数自动消去。
试一试写出完整的步骤。（请一名同学黑板演练）
（三）学生展示 教师激励
某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。
2、哈尔滨市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44，这两年平均每年面积的增长率是（ ）。
3、 请同学们认真阅读下面的题目，说出这道题与前面所做例题的区别与联系，然后根据相等关系列出方程。
和平中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到初三结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
（四）学生归纳 教师提炼
请说出你在本节课收获了什么？
（五）学生达标 教师测评
1、某工厂一月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？
2、某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月平均增长的百分率.
3、为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）
4、某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？
（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？
（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？
（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？
22.3实际问题与一元二次方程
第3课时
学习目标：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
重点：一元二次方程在实际问题中的应用，列方程解应用题；
难点：会用含未知数的代数式表示等量关系，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理。
导学流程
（一）学生预习 教师导学
复习巩固
1.直角三角形的面积=_________, 一般三角形的面积=________
2.正方形的面积=_____, 长方形的面积=____ 3.梯形的面积=_______
4．菱形的面积=____ 5.平行四边形的面积=_____ 6．圆的面积=_____
注意点：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程
（二）学生探究 教师引领
自学课本第47页探究3：如果设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，如何解决此题呢？
我的解法是：
（三）学生展示 教师激励
例题：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有一位学生各设计了一种方案(如图22-3-1),求图中道路的宽是多少时图中的草坪面积为540平方米。
图22-3-1
（四）学生归纳 教师提炼
我的收获是：
（五）学生达标 教师测评
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
2．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
3．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
(
22-3-2
)4．如图22-3-2，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，求此长方形鸡场的长、宽。
(
22-3-3
)5.如图22-3-3所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
6、一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？
一元二次方程全章复习
复习目标：
掌握一元二次方程的概念，会用合适的方法解一元二次方程。能用一元二次方程解决实际问题。
一、自主学习:
1、下列方程中，关于X的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2、解下列方程：
(1) (2) (3)
3、某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡56张，这个小组共有（ ）人
（A）7 （B）8 （C）14 （D）4
4、某辆汽车在公路上行驶，它的行驶路程s(km)和时间t(h)之间的关系式为.那么行驶5km所需的时间为 h.
二、归纳总结：
1、一元二次方程的定义及一般形式
定义 ⑴只含有一个未知数 ⑵整式方程
⑶都可化为的形式
2、一元二次方程的几种解法：直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
3、用配方法、因式分解法等解一元二次方程时，要通过适当的变形先使方程转化为一元一次方程，也就是使未知数从二次变为一次，即降次。一元二次方程的降次变形，是由一个二次方程得到两个一次方程，因此一个一元二次方程有两个根。
4、对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系 “翻译”为一元二次方程。
三、课堂检测
1、方程的解是____________________
2、方程的解是____________________
3、填上适当的数，使等式成立。
4、若X=1是一元二次方程的根，则a+b=______
5.在参加足球世界杯预选赛的球队中，每两个队都要进行一次比赛，共要比赛45场，若参赛队有支队，则可得方程 .
6、已知2是关于X的方程的一个根，则的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7、若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（ ）
A. B. C. D.
8、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番.在本世纪的头二十年（2001年－2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年国民生产总值的增长率都是，那么满足的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、 解下列方程：
（1） （2） （3）
10、某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件童装降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件童装应降价多少元？
《一元二次方程》课堂测试题
一、选择题(每小题3分，共24分)
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2、方程的解为（ ）
A. x＝2 B. x1＝，x2＝0 C. x1＝2，x2＝0 D. x＝0
3、解方程的适当方法是（ ）
A、直接开平方法 B、配方法 C、公式法 D、因式分解法
4、已知m方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A.—1 B.0 C.1 D.2
5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为 D.3y2-4y-2=0化为
6、下面是李明同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）．
A.若x2=4，则x＝2 B.方程x(2x－1)＝2x－1的解为x＝1
C.若x2-5xy-6y2=0（xy≠0）,则＝6或＝-1
D.若分式值为零，则x＝1，2
7、用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A、 B、
C、 D、
8、从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ）
A.9cm2 B.68cm2 C.8cm2 D.64cm2
二、填空题(每小题3分，共18分)
9、把方程（2x+1）（x—2）=5－3x整理成一般形式后，得 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
10、配方：x2 —3x+ __ = (x —__ )2； 4x2—12x+15 = 4( )2＋6
11、方程的解是________,方程的解是__________。
12、若方程mx2+3x-4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .
13、已知代数式x(x－5)+1与代数式9x-6的值互为相反数，则x= .
14、若一个等腰三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 .
三、解答题(每小题7分，共28分)
15、解方程： 16、解方程x2 —4x+1=0
17、解方程：3x2+5(2x+1)=0 18、解方程：3(x-5)2=2(5-x)
四、应用题
19、（10分）某校2005年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2007年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？
20.（10分）有一面积为150平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米。求鸡场的长和宽。
21、已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝０的根。求此三角形的周长。
30
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