(共16张PPT)
23.2 相似三角形的判定
第23章 图形的相似
第一课时 相似三角形的判定定理1
学习目标
1.掌握相似三角形的判定定理1；（重点）
2.经历相似三角形的判定定理1的探究过程.（难点）
回顾与思考
我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应边是否成比例，对应角是否相等.那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？
我们在判断两个三角形全等时，使用了哪些方法？判定三角形相似是否有类似的方法？
一、两角对应相等判断两三角形相似
让我们先从最常见的三角尺开始.
观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（30°与 60°，或45°与45°)的三角尺看起来是相似的.这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实是这样吗？
一、两角对应相等判断两三角形相似
如图23. 3. 6,任意画两个三角形（可以画在教科书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等.用刻 度尺量一量两个三角形的对应边，看看这两个三角形的边是否对应成比例.你能得出什么结论？
和其他同学比较一下，你们的结论都相同吗？
探 索
一、两角对应相等判断两三角形相似
1、（1）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
（2）已知:如图，在△ABC和△ A 1 B1C1中，
∠ A= ∠ A 1, ∠ B = ∠ B 1.
求证： △ABC ∽△ A 1 B1C1.
一、两角对应相等判断两三角形相似
证明： 在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1，
过点D作BC的平行线交AC于点E,则
△ADE∽△ABC
∵DE∥BC
∴ ∠ADE= ∠B.
在△ADE与△A1B1C1 中，
∵∠A=∠A1， ∠ADE= ∠B=∠B1，AD=A1B1,
∴ △ADE≌△A1B1C1.
∴△ABC∽△A1B1C1 .
一、两角对应相等判断两三角形相似
符号语言：
在△ABC与△A′B′C′中，
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的判定定理1
两个角分别相等的两个三角形相似
C
A
A'
B
B'
C'
二、常见类型
2、常见的相似三角形类型：
(1) 平行线型：如图(1)，若DE∥BC，则，△ADE∽△ABC.
(2) 相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC.
二、常见类型
(3)“子母”型：如图 (3)，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.
(4) “K”型：如图 (4)，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则
△ACB∽△DEC，整体像一个横放的字母K，可以称为“K”型相似．
练习
1.判断题：
⑴所有的直角三角形都相似.（ ）
⑵所有的等边三角形都相似.（ ）
⑶所有的等腰直角三角形都相似.（ ）
⑷有一个角相等的两等腰三角形相似.（ ）
×
√
√
×
拓展
2.已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，
∵ ∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE.
又∵ ∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
在△ABC和△ ADE中 ∠BAC=∠DAE，∠C= ∠E
∴ △ABC∽△ADE
练习
3.已知：如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的
延长线交CA的延长线于点F. 求证：AC·CF＝BC·DF.
证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，
∴CE＝EB＝DE.∴∠B＝∠BDE＝∠FDA.
∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD.∴∠FDA＝∠ACD.
又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD.∴
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD.
即AC·CF＝BC·DF.
导引：将待证的等积式化为比例式：
横看：比例式的两个分子有A，C，D，F四点，
不能构成三角形；
竖看：比例式的左端构成△ABC，比例式的右端
构成△DCF，很明显看出这两个三角形不相似，故
需要找一个中间比来联系
练习
4.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F.求证：△ABF∽△CAF.
证明：∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠3.
∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，
∠1＝∠2，
∴∠B＝∠4.
又∵∠BFA＝∠AFC，
∴△ABF∽△CAF.
课堂小结
相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）.
证明两个三角形相似，目前来说可以有如下三种方法：
定义法：三组对应边成比例，三组对应角分别相等的两个三角形叫做相似三角形.
常用结论：平行于三角形的一边，截其他两边或两边的延长线，所得的三角形与原三角形相似.
完毕·感谢
The user can perform the presentation on a projector or computer, and the powerpoint can be printed out and made into film.(共18张PPT)
23.2 相似三角形的判定
第23章 图形的相似
第二课时 相似三角形的判定定理2
学习目标
1.掌握相似三角形的判定定理2与判定定理3；（重点）
2.经历相似三角形的判定定理2与判定定理3的推导过程.（难点）
回顾与思考
问题1 两个三角形全等有哪些判定方法？
问题2 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
如下图画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
E
解：相等，因而相似.
利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似
一
如图，在△ABC和△A′B′C′中,∠A＝∠A′ , A′B′:AB=A′C′:AC.
求证:△ABC∽△A′B′C′.
A′
B′`
C′
B
C
E
D
A
B
C
E
D
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线)
上分别截取AD=A′B′,AE=A′C′,连结DE.
∠A=∠A′, 这样,△ADE≌△A′B′C′.
∵A′B′:AB=A′C′:AC
∴ AD:AB=AE:AC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC ∴△A′B′C′∽△ABC
如果一个三角形的两边长与另一个三角形的两边长对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 .
(两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)
A
B
C
A′
B′
C′
∵A′B′:AB=A′C′:AC,∠A=∠A′
∴△A′B′C′∽△ABC
归纳：
符号语言
如果两个三角形两边成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量.
A
B
C
D
E
F
不相似
探究归纳
注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角才会相似.
练习
例1.判断图中△AEB 和△FEC是否相似？
解：∵
∴△AEB∽△FEC.
∵∠1＝∠2，
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
∴
练习
例2.如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
△ABC∽△ADE.
证明：
练习
△ABC∽△DCA
例3.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长．
A
B
C
D
当堂练习
1．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( )
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
C
当堂练习
D
当堂练习
当堂练习
4．如图，P是正方形ABCD边BC上一点，且BP＝3PC，Q是DC的中点，则AQ∶QP＝_______．
2∶1
当堂练习
5．如图，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.
求证：△ABC∽△AED.
课堂练习：实践探究丛书49页
例1 如图，在ABC 中， = 90°, AB =4, BC = 2, 以AC 为边作 ACE , =90°,AC=CE,延长BC至点D，使CD=5,连结DE. 求证： ABC
课堂小结
相似三角形的判定定理：
相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理2： 如果两个三角形两边对应成比例，两条对应边的夹角相等，那么两个三角形相似.
注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角.
完毕·感谢
The user can perform the presentation on a projector or computer, and the powerpoint can be printed out and made into film.
