武强中学 2021—2022 学年度上学期第一次月考
高二数学试题
出题人:刘宽新
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．若 z(1 i) 2i，则 z （ ）
A． 1 i B． 1+i C．1 i D．1+i
2．已知直线 x my 6 0和 m 2 x 3y 2m 0互相平行，则实数m的取值为（ ）
A． 1 B． 1或 3 C． 3 D．1 或 3
3．已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m / / ,n / / ,则m // n B．若m ，n ，则m n
C．若m ，m n，则 n / / D．若m / / ，m n，则 n
4．在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC 1， AA1 3，则异面直线 AD1与DB1所成
角的余弦值为（ ）
1
A B 5 5 2． ． C． D．
5 6 5 2
5．如图,在四面体OABC中,D是 BC的中点,G是 AD的中点,
则OG等于（ ）
1 1 1 OA OB OC 1OA 1OB 1
A． B． OC
3 3 3 2 3 4
1 1 1 1 1 1
C． OA OB OC D． OA OB OC
2 4 4 4 4 6
6．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从
这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为 （ ）。 （第 5 题）
2 3 2 1
A． B． C． D．
3 5 5 5
7．已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O的球面上， ABC是边长为1的正三角形，SC
为球O的直径，且 SC 2，则此棱锥的体积为（ ）
A 2 3 2 2． B． C． D．
2 6 3 6
1
8．已知⊙M：x2 y2 2x 2y 2 0，直线 l：2x y 2 0，P为 l上的动点，过点 P作
⊙M 的切线 PA,PB，切点为 A,B，则 | PM | | AB |的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
二 选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．在 ABC中， a 2， c 3， A=45o，则角C可能是（ ）
A．30o B．150° C． 60o D．120o
10．已知复数 z x yi x, y R ，则（ ）
A． z 2 0 B． z x2 y2
C．若 z 1 2i，则 x 1， y 2 D． z的虚部是 yi
11．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，
E是DD1的中点，则（ ）
A．直线 B1C //平面 A1BD
B． B1C BD1
1
C．三棱锥C1 B1CE的体积为 3
D．异面直线 B1C与 BD所成的角为60 （第 11 题）
12．甲罐中有 3 个红球、2 个白球，乙罐中有 4 个红球、1 个白球，先从甲罐中随机取出
1 个球放入乙罐，分别以 A1， A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐
中随机取出 1 个球，以 B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）
P(B) 23A． B．事件 B 与事件 A
30 1
相互独立
C． A1， A2互斥 D．事件 B 与事件 A2相互独立
2
三 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知直线 l经过点P 4,3 ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 l的方程______．
r
14．已知平面向量 a 2,1 ，b 3,k ， c 5,4 ，若 a b，则 a b c ______．
15．已知圆 C 的圆心在直线 y 2x上，且与直线 x y 1=0相切于点 P(3, 2)．则圆 C 的
方程为___________
16．如图,已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4,
点 E、F 分别是线段 AB、C1D1上的动点,
点 P 是上底面 A1B1C1D1内一动点,且满足点 P
到点 F 的距离等于点 P 到平面 ABB1A1的距离,
则当点 P 运动时,PE 的最小值是__________. （第 16 题）
四 解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.在① ac 3，② sinC 3 sin B这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问
题中的三角形存在，求 c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ABC ，它的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，
且 sin A= 3 sin B，C ，________
6
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，
点 E在棱 AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面 EB1C1；
（2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 E BB1C1C
的体积． （第 18 题）
3
19．已知点M (3,3)，圆C : (x 1)2 (y 2)2 4 .
（1）求过点M 且与圆C相切的直线方程；
（2）若直线 ax y 4 0(a R)与圆C相交于A，B两点，且弦 AB的长为2 3，求实数
a的值.
20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务
情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对
该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，
其中样本数据分组区间为
[40,50),[50,60), ,[80,90),[90,100]
（1）求频率分布直方图中 a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分
不低于 80 的概率； （第 20 题）
（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在[50,60)的概率.
21．如图，四棱锥 P ABCD中， PA 底面 ABCD，
ABC AD 1//BC， ， AB BC AD 2，
2 2
且 PA a， E， F 分别为PC， PB的中点.
（1）若 a 2，求证： PB 平面 ADEF ；
（2）若四棱锥 P ABCD的体积为 2，求二面角
A PD C的正弦值。
22．已知点M x , y 在圆O : x2 y 20 0 4上运动， （第 21 题）
且存在一定点 N 6,0 ，点 P x, y 为线段MN的中点.
（1）求点 P的轨迹C的方程；
（2）过 A 0,1 且斜率为 k的直线 l与点 P的轨迹C交于不同的两点 E,F，是否存在实数 k
使得OE OF 12，并说明理由。
4高二数学试题参考答案
一、选择题：DABC CBDA
二 选择题：CD; BC; ABD; AC
5 2 10 2 32
y x 7 y
3
x (x ) (y )
三 填空题： 或 4 23 3 3 9 2 5
四 解答题：
a
3
17．解：由 sin A= 3 sin B可得： b ，
a 3m,b m m 0
不妨设 ，
c2 a2 3 b2 2abcosC 3m2 m2 2 3m m m2
则： 2 ，即 c m .
选择条件①的解析：
据此可得： ac 3m m 3m
2 3， m 1，此时 c m 1 .
则问题中的三角形存在.
选择条件②的解析：
c m
1
可得 b m ， c b，所以 sinC sin B。
与条件 sinC 3 sin B矛盾，则问题中的三角形不存在.
18．解：（1）因为在长方体 ABCD A1B1C1D1中，B1C1 平面 AA1B1B；
BE 平面 AA1B1B，所以 B1C1 BE，
又 BE EC1， B1C1 EC1 C1，且 EC1 平面 EB1C1，
B1C1 平面 EB1C1，
所以BE 平面 EB1C1；
（2）设长方体侧棱长为 2a，则 AE A1E a，
1 EB BE EB 2 BE 2 BB 2 2BE 2 BB 2由（ ）可得 1 ；所以 1 1 ，即 1 ，
AB 3 2AE 2 2 2又 ，所以 2AB BB ，即 2a21 18 4a2，解得 a 3；
1
取 BB1中点 F ，连结 EF，因为 AE A1E，则 EF∥AB；
所以 EF 平面 BB1C1C，
所以四棱锥 E BB1C1C的体积为
V 1 1 1E BB C C S矩形BB C C EF BC BB1 EF 3 6 3 18 .1 1 3 1 1 3 3
19．解：（1）由圆的方程得到圆心 (1,2)，半径 r= 2 .
当直线斜率不存在时，直线 x 3与圆C显然相切；
当直线斜率存在时，设所求直线方程为 y 3 k(x 3)，即 kx y 3 3k 0，
| k 2 3 3k |
由题意得： 2，解得 k
3
2 ，k 1 4
3
∴ 方程为 y 3 (x 3)，即3x 4y 21 0 .
4
故过点M 且与圆C相切的直线方程为 x 3或3x 4y 21 0 .
（2）∵ 弦长 AB为 2 3，半径为 2.
d | a 2 |圆心到直线 ax y 4 0的距离 ，
a2 1
2 2
| a 2 | 2 3 3
∴ 4，解得a . a2 1 2 4
20．解：（1）因为 0.004 a 0.018 0.022 2 0.028 10 1，所以 a 0.006
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于 80的频率为
(0.022 0.018) 10 0.4，
所以该企业职工对该部门评分不低于 80的概率的估计值为 0.4
（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为 A1, A2 , A3；
受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为 B1,B2 .
从这 5名受访职工中随机抽取 2人，所有可能的结果共有 10种，它们是
A1, A2 , A1, A3 , A1,B1 , A1,B2
2
A2 , A3 , A2 ,B1 , A2 ,B2 , A3,B1 , A3,B2 , B1,B2
又因为所抽取 2人的评分都在[50，60)的结果有 3种，即 A1, A2 , A1, A3 , A2 ,A3 ，
3
故所求的概率为 P
10
21．解：（1）当 a 2时， AP AB，点 F 是 BP的中点，
AF BP，
又 AP 平面 ABCD， AD AP，且 AD AB， AP AB A，
AD 平面 PAB， BP 平面 PAB， AD BP，
又 AF AD A，
BP 平面 ADEF ；
1 1 1
（2VP ABCD SABCD AP 2 4 2 AP 23 3 2
解得： AP 1，
如图，以A为原点，AB,AD,AP，为 x, y, z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
A 0,0,0 ， P 0,0,1 ，C 2,2,0 ，D 0, 4,0 ，
PC 2,2, 1 ， PD 0,4, 1 ，
设平面 PCD的法向量m x, y, z ，
m PC 0 2x 2y z 0
则 ，即 ，令 y 1，则 x 1, z 4，
m PD 0 4y z 0
m 1,1,4 ，
显然 AB 平面 PAD，设平面 PAD的法向量 n 1,0,0 ，
cos m ,n m
n 1 2
sin m ，m n 2 6 ,n
1 ( 2 )2 34
1 1 4 6 6
二面角 A PD C是锐二面角，
3
二面角 A PD C 34的正弦值是 .
6
x0 6
x
22 2．解：（1）由中点坐标公式，得 即 x0 2x 6， y0 2yy . y 0
2
∵点M x0 , y0 在圆 x2 y2 4 2上运动，∴ x0 y2 20 4，即 2x 6 2y 2 4，
整理，得 x 3 2 y2 1.
∴点 P的轨迹C的方程为 x 3 2 y2 1.
（2）设 E x1, y1 ，F x2 , y2 ，直线 l的方程是 y kx 1，代入圆 x 3 2 y2 1.
可得 1 k 2 x2 2 3 k x 9 0，
3
由 32k 2 24k 0，得 k 0，
4
2 3 k 9
且 x1 x
2 ， x x 1 k 2 1 2 1 k 2
，
∴ y1y2 kx1 1 kx 1 k 22 x1x2 k x1 x2 1
9k 2 2k 3 k 1 8k
2 6k 1
2 1 k 1 k 2
.
1 k 2
8k 2OE OF x x y y 6k 10 1 2 1 2 12 .1 k 2
1
解得 k 或 1，不满足 0 .∴不存在实数 k使得
2 OE OF 12
.
4
