黑龙江省齐市第24中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题（Word版含答案）

齐齐哈尔市第二十四中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
数学卷
考试范围：第一、二章考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
3．2015年孝感高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为
A．7 B．8 C．10 D．12
4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得，”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知实数a，b，c，若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．a2＞b2 C． D．a|c|＞b|c|
6．若，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．{a|a＞1} D．
7．设是关于的一元二次方程的两个实根，则的最小值是（ ）
A． B．18 C．8 D．-6
8．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
二、多选题
9．下列命题中假命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．若关于的不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的解集是
C． D．的解集是
11．若x∈A，则，称A为“影子关系”集合．下列对集合的所有非空子集中是“影子关系”的集合叙述正确的是（ ）
A．集合个数为7 B．集合个数为8
C．含有1的集合个数为4 D．元素个数为2的集合有2个
12．已知正实数a，b，c满足a2-ab＋4b2-c＝0，当取最小值时，下列说法正确的是（ ）
A．a＝2b B．c＝4b2 C．a＋b-c的最大值为 D．a＋b-c的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．已知a＞0，b＞0，ab＝16，则3a＋b的最小值是________．
14．已知集合，，，若，则实数a的取值范围为__________.
15．若实数满足，，则的取值范围为________．
16．在上定义运算：．若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为________．
四、解答题
17．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若9∈A∩B，求a的值．
18．已知，集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围．
19．某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：m2）．
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）求S的最大值，并求出此时x的值．
20．已知二次函数，对任意实数，不等式恒成立.
（1）求的值；
（2）若该二次函数有两个不同零点、.
①求a的取值范围；
②证明：为定值.
21．已知不等式>0()．
（1）解这个关于 的不等式；
（2）若当 时不等式成立，求 的取值范围．
22．已知正实数x，y满足．
（1）是否存在正实数x，y，使得？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．
（2）求证：，并说明等号成立的条件．
参考答案
C2．A3．B4．A5．C6．D7．C8．B9．ABC10．AB11．ACD12．AD
13． 14．15．16．
17．a＝5或a＝－3.
18．（1）；（2）．
19．（1）；（2）当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676m2．
20．（1）2；（2）①；②证明见解析.
21．（1）答案见解析；（2） ．
17．a＝5或a＝－3.
【分析】
根据题意可得，据此列出等式求得参数，验证元素互异性是否满足，则参数可求.
【详解】
∵9∈A∩B且9∈B，∴9∈A，
∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.
而当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，故舍去．
∴a＝5或a＝－3.
【点睛】
本题考查由元素与集合之间的关系求参数值，涉及互异性的应用，属基础题.
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）时，结合一元二次不等式的解法化简集合，，由此能求出．
（2）由可得，分类讨论与，列出不等式，求解即可；
【详解】
（1）当时，
，
故；
（2）由知
当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，实数的取值范围为
【点睛】
易错点睛：本题主要考查了不等式，求集合的交集、集合的子集，属于容易题，在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.
19．（1）；（2）当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676m2．
【分析】
（1）三块种植植物的矩形区域的总面积可看做一个矩形面积：，根据边长为正得其定义域为
（2）利用基本不等式求最值即可．
【详解】
（1）由题设，得．
（2）因为，所以，
当且仅当时等号成立，从而．
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为m2．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
20．（1）2；（2）①；②证明见解析.
【分析】
（1）根据题意，令，代入不等式即可解得；
（2）①根据，可知，由可以判定a,c之间的关系，进而根据函数有两个零点，通过即可解出a的范围；
②由根与系数的关系即可证明.
【详解】
（1）因为，满足，令，
令，得，故；
（2）①因为，所以恒成立，由（1），所以，
所以.
因为函数有两个不同的零点，所以，因为，
所以.
②由根与系数的关系可得，，即为定值.
21．（1）答案见解析；（2） ．
【分析】
（1）根据同号得正异号得负，转化为 ，讨论二次项系数，解出不等式的解集；
（2）根据不等式成立，得到关于 的不等式，求出 的范围.
【详解】
解（1）原不等式等价于．
①当 时，由 ，得．
②当 时，不等式可化为 ，
解得 或 ．
③当 时，不等式可化为．
若 ，即 ，则 ；
若，即a＝－1，则不等式的解集为空集；
若，即a<－1，则．
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为 ．
（2）∵当 时不等式成立，
∴ ，则 ，
∴ ，即 的取值范围为 ．
22．（1）不存在；理由见解析；（2）证明见解析；时，等号成立．
【分析】
（1）利用基本不等式直接判断；
（2）由，利用“1”的代换即可证得结论.
【详解】
（1）因为，当且仅当时，等号成立，所以，故不存在正实数，使得；
（2）由，故
，
当且仅当，即时，等号成立．
22．（1）不存在；理由见解析；（2）证明见解析；时，等号成立．