高二数学参考答案及评分标准
一、单选题
B B A D D C A C
二、多选题
9.ABD 10.AC 11.ABD 12.BC
三、填空题
5 7
13. 7或13 14. 15. 16.
5 3 4
四、解答题
17. 解：（1）因为b (2,0,3)，c (0,0,2)，
所以b c (2,0,5)， …………………………………………………2分
所以a b c 2 2 ( 3) 0 1 5 9， ……………………………………………4分
（2）因为d pa qb rc ，所以 (6, 3, 1) p(2, 3,1) q(2,0,3) r(0,0,2) ，
6 2p 2q
所以 3 3p ，
1 p 3q 2r
解得 p 1,q 2,r 4， …………………………………………9分
故 p q r 1. …………………………………………10分
1 1 1
18. 连接 BO，则EF ＝ CB＝ OA＝ a ，…………………3分 2 2 2
1 1 1
BF ＝ BP＝ (BO＋OP )＝ (2 2 2 BA＋ AO＋OP )＝
1 1 1 1
c b a ＝ a b c ； …………………6分
2 2 2 2
1 1
BE＝BC＋CE＝BC＋ CP＝BC＋ (2 2 CO＋OP )＝
1 1
a b c ； ………………9分
2 2
1 1 1 1 1
AE ＝ AP ＋PE＝ AO＋OP＋ (PO＋OC )＝ AO OC OP a b c .…12分 2 2 2 2 2
19.（1）因为四边形 ABCD为正方形，则BC AB，CD AD，
因为PB BC，BC AB，PB AB B ， BC 平面PAB，
PA 平面PAB， PA BC ， …………………………………………2分
因为PD CD，CD AD，PD AD D ， CD 平面PAD ，
PA 平面PAD ， PA CD， …………………………………4分
BC CD C ， PA 平面 ABCD； …………………………………5分
（2）以点 A 为坐标原点，以 AB, AD, AP方向为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系，设
点 F 2, t,0 0 t 2 ， …………………………………6分
设平面PAF 的法向量为n a,b,c ，
AF 2, t,0 ， AP 0,0,2 ，
n AF 2a tb 0
由 ，取 a t，则n t, 2,0 ， …………………………………8分
n AP 2c 0
AE n
所以，点 到平面 的距离为 2 2 5E PAF d ， ………………………10分
n t2 4 5
t 0， t 1. ………………………11分
2 5
因此，当点F 为线段BC的中点时，点E 到平面PAF 的距离为 .…………………12分
5
20. 如图，建立空间直角坐标系，点D 为坐标原点，设DC 1.
（1）证明：连接 AC 交 BD于点G ，连接EG ，依题意得 A(1,0,0), P(0,0,1),
1 1
E(0, , )，因为底面 ABCD是正方形，所以点G 是此正方形的中心，
2 2
1 1
故点G 的坐标为 ( , ,0)， ………………………2分
2 2
1 1
则PA (1,0, 1), EG ( ,0, ) ，所以PA 2EG ， ………………………4分
2 2
即PA / /EG ，而EG 平面EDB ，
且PA 平面EDB ，因此PA / / 平面EDB ． ………………………5分
1 1
（2）B(1,1,0), PB (1,1, 1) ，因为DE (0, , ) ，故PB DE 0，所以PB DE .
2 2
由已知得EF PB，且EF DE E ，所以PB 平面EFD，
所以平面EFD的一个法向量为PB (1,1, 1) . ………………………7分
1 1
DE (0, , ), DB (1,1,0) ，设平面DEB 的法向量为a (x, y, z)，
2 2
1
a DE (y z) 0,
则 2 取 x 1，则 y 1, z 1，即a (1, 1,1)，………………………9分
a DB x y 0,
a PB 1
则 cos a, PB ， ………………………10分
| a || PB | 3
2 2
设二面角F DE B 的平面角为 ，因为 [0,π]，所以sin ．
3
2 2
二面角F DE B 的正弦值大小为 ． ………………………12分
3
21. 因为 ABCD A1B1C1D1 是直四棱柱，所以 AA1 平面 ABCD，且 AB ，AD 平面 ABCD，
所以 AA1 AB， AA1 AD .因为 BAD 90
o，所以 AA1， AB ， AD 两两互相垂直.
如图，分别以 AB ， AD ， AA 所在直线为 x， y1 ， z 轴建立空间直角坐标系.…………1分
则由 AD 2AB 2BC 4， AA1 4，可得 A(0,0,0) ，B(2,0,0)，C(2,2,0) ， A1(0,0,4) .
因为M 为 A1C的中点，所以M (1,1,2) . …………2分
设 AN a，所以N(0,a,0)(0 a 4) . …………3分
（1）当 AN 1时，N(0,1,0) .
此时，所以MN ( 1,0 2) ， A1B (2,0, 4)，………4分
MN A
于是cos MN , A B 1
B 6 3
1 .
| MN | | A B | 5 2 5 51
3
所以异面直线MN 和 A1B所成角的余弦值为 . ………………………6分
5
（2）由题意，则MN ( 1,a 1, 2)， BC (0,2,0) ， A B (2,0, 4).…………………7分 1
设平面 A BC的法向量为 n (x, y, z)1 ，
n BC 0 y 0,
则 ，即
n A
2x 4z 0.
1B 0
令 x 2，解得 y 0 ， z 1，
所以 n (2,0,1) 是平面 A1BC的一个法向量. …………………9分
4 5
因为直线MN 与平面 A1BC所成角的正弦值为 ，
15
| MN n | | 2 2 | 4 5
所以 cos MN ,n ， …………………10分
| MN | | n | 5 (a 1)2 5 15
解得 a 3 或 1（舍去），
所以 AN 3 . …………………12分
22. （1）如图所示：
取 AD,CD的中点分别为O,G，连接PO,FG,MG .……………………………………1分
选择①：
因为BA (PA PD) 0，PA PD=2PO，
所以BA PO 0，即BA PO . …………………………2分
又 BA AD， AD PO O，
所以BA 平面PAD . …………………………3分
因为M ,G分别为CE,CD的中点，
所以MG//PD，且MG 平面PAD ，PD 平面PAD ，
所以MG// 平面PAD . …………………………4分
同理可得：FG//平面PAD .
因为MG FG G，
所以平面FGM // 平面PAD ， ……………………………5分
所以BA 平面FGM .
又 FM 平面FGM ，
所以BA FM . ……………………………6分
选择②：
连接OC ，则OC AB 2，OP 3 ， ……………………………2分
因为PC 7, PC2 OP2 OC2 ，
所以BA PO .
又 BA AD， AD PO O，
所以BA 平面PAD . ……………………………3分
因为M ,G分别为CE,CD的中点，
所以MG//PD，且MG 平面PAD ，PD 平面PAD ，
所以MG// 平面PAD . ……………………………4分
同理可得：FG//平面PAD .
因为MG FG G，
所以平面FGM // 平面PAD ， ……………………………5分
所以BA 平面FGM .
又 FM 平面FGM ，
所以BA FM . ……………………………6分
选择③：
因为点 P 在平面 ABCD的射影在直线 AD 上，
所以平面PAD 平面 ABCD. ……………………………2分
因为平面PAD I 平面 ABCD AD，OP 平面PAD ， AD PO，
所以OP 平面 ABCD，
所以BA PO .
又 BA AD， AD I PO O，
所以BA 平面PAD . ……………………………3分
因为M ,G分别为CE,CD的中点，
所以MG//PD，且MG 平面PAD ，PD 平面PAD ，
所以MG// 平面PAD . ………………………………4分
同理可得：FG//平面PAD .
因为MG FG G，
所以平面FGM // 平面PAD ， ………………………………5分
所以BA 平面FGM .
又 FM 平面FGM ，
所以BA FM . ………………………………6分
（2）连接 AE,EF ，由（1）可知： AB 平面PAD ，
所以 AEF 即为EF 与平面PAD 所成的角. …………………………7分
AF 2
因为 tan AEF= = ，所以当 AE 最小时， AEF 最大，
AE AE
所以当 AE PD，即 E 为PD中点， AE 最小. …………………………8分
以点O为坐标原点，以OC 为 x轴，OD为 y 轴，OP 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，
1 3
则 A 0, 1,0 , E 0, , ,C 2,0,0 .
2 2
3 3
所以 AE 0, , 2 2
，
AC 2,1,0 . …………………………9分
设平面CAE 的一个法向量为m (x1, y1, z1)，
3 3
y1 z1 0, 1则 2 2 ，令 z m ( , 1, 3)1 3 ，得 . …………………………10分
2
2x1 y1 0
由题意可知：平面PAD 的一个法向量为n (1,0,0)， …………………………11分
m n 17
所以cos m,n ，
| m | | n | 17
17
所以平面 ACE与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值为 .…………………………12分
172021-2022学年度第一学期高二期中月考检测
面直线BA与CB所成角的余弦值为
数学
A
B
C
D
4
注意事项
7已知E、F、O分别是正方形ABCD边BC、AD及对角线AC的中点,将三角形ACD
1本试题满分150分,考试时间为120分钟
2答卷前,务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上
沿着AC进行翻折构成三棱锥,则在翻折过程中,直线EF与平面BOD所成角的余弦
3使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰.超出答
题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效
值的取值范围为
单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项符合题目要求。
L.设P:a,b,C是三个非零向量:q:{a,b,c}为空间的一个基底,则P是q的
8在棱长为的正方体ABCD-ABCD中,P是线段BC1上的点,过A的平面c与直
充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
线PD垂直,当P在线段BC1上运动时,平面a截正方体ABCD-ABC1D1所得的截
2已知向量a=(-,0,1),b=(1,1,-1),且a+h与b互相垂直,则k
面面积的最小值是
2
A.1
C.-1
A.1
2
3如图,空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,且
多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多
项符合要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
OM=2MA,BN=MC,则MN
9.给出下列命题,其中不正确的为
A.-2a+b+-c B.a+-b--c C-=a+=b+c D.a-b+ac
A.若AB=CD,则必有A与C重合,B与D重合,AB与CD为同一线段
4.若直线l的方向向量为a,平面c的法向量为n,则能使l∥的是
B.若ab>0,则
是锐角
A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0
B.a=(3,5),n=(1,0,1)
C.若AB+CD=6,则A与CD一定共线
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
D.非零向量a,b,c满足a与b,b与C,c与a都是共面向量,则a,b,C必共面
5.如图,在正方体ABCD-ABCD1中,MN分别是CD,CC1的中点则异面直线AM
10.已知平面Q过点A(1,-1,2),其法向量n=(2,-1,2),则下列点在a内的是
与DN所成角的大小是
B
N
A.(2,3,3)
B.(3,-3,4)C.(-1,-5,2)
D.(-2,0,1)
A
D
4
D
-yc
11.0图所示,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD1中,M,N分别为棱4D,DD的
6已知正三棱柱ABC-A1BC1的高与底面边长之比为1:2,则异
中点,则以下四个结论正确的是
高二数学试题(第1页,共5页)
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