1.3.2 基本不等式 同步练习 -2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（Word版，含解析）

§3　不等式
3.2　基本不等式
一、选择题
1．若x＋在x＝a时取最小值，则a等于(　　)
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
2．设x、y为正数，则的最小值为(　　)
A．6 B．9
C．12 D．15
3．已知x＋y＝1，x，y∈R＋，则t＝的最小值是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是　
(　　)
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
5．当x＞3时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，5]
C．[0，＋∞) D．[2,5]
6．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
7．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　)
A．ab≤2 B．ab≤
C．≥ D．≤2
8．下列各不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1，其中正确的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
9．(多选)下列四个命题中，是真命题的是(　　)
A． x∈R，且x≠0，x＋≥2
B． x∈R，使得x2＋1≤2x
C．若x>0，y>0，则≥
D．若x≥，则的最小值为1
10 ．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
二、填空题
11．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab.
(1)则ab的最小值为________；
(2)则a＋2b的最小值为________．
12．设a＞b＞c，n∈N＋，试求使不等式＋≥成立的n的最大值为________．
13.(－6≤a≤3)的最大值为________．
14．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
15．设x，y，z均为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
16．已知a>0，b>0，a＋2b＝2，则ab的最大值是________．
17．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
三、解答题
18．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
19．当x>3时，求函数y＝的最小值．
20．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
求(1) xy的最小值；(2) x＋y的最小值．
参考解析
1 C　[当x>2时，x－2＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号，所以x＝3，即a＝3，选C.]
2 B　[＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.当且仅当y＝2x时，等号成立．]
3 D　[∵x＋y＝1，x＞0，y＞0，
∴xy≤，在x＝y＝时取等号．
∴＝＝＋1≥＋1＝9.故选D.]
4 C　[设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4 xy＝4.
T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号)．
故该容器的最低总造价是160元．]
5 B　[∵x＋≥a恒成立，
∴a必须小于或等于x＋的最小值．
∵x＞3，∴x－3＞0.
∴x＋＝(x－3)＋＋3≥5，当且仅当x＝4时取最小值5.
故选择B.]
6 B　[由a2＋1＝2a，得a＝1，即a＝1时，等号成立．]
7 D　[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由 ≥得，ab≤2∴≥2，故选D.]
8 B　[仅②④正确．]
9 BCD　[对于A， x∈R，且x≠0，x＋≥2对x<0时不成立，错误；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2,2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；对于C，若x>0，y>0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为≥，当且仅当x＝y>0时取等号，正确；对于D，y＝＝＝，因为x≥，所以x－2>0.所以≥·2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号，故y的最小值为1，正确．]
10 B　[不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)·≥(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.]
11 (1)8　(2)9　[因为2a＋b＝ab，所以＋＝1；
(1)因为a>0，b>0，
所以1＝＋≥2，
当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时取等号，
所以ab≥8，即ab的最小值为8；
(2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号，
所以a＋2b的最小值为9.]
12 4　[∵a－c＞0，要使原不等式成立，
只需＋≥n成立．即＋≥n成立．
也就是2＋＋≥n成立．又＋≥2，
∴n≤4，∴n有最大值为4.]
13 　[因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．]
14 　[因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，
所以有＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.]
15 3　[由已知，得y＝，
所以＝＝≥＝3.
当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.]
16 　[因为a＋2b≥2.所以2≤2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝1时取等号．]
17 x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]
18 [解]　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－
＝130－
≤130－2 ＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．
19 [解]　 ∵x>3，∴x－3>0.
又y＝＝＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，上式等号成立．
所以，y＝的最小值为24.
20 [解]　 (1)∵x>0，y>0，
∴xy＝2x＋8y≥2，即xy≥8，
∴≥8，即xy≥64.
当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，“＝”成立．
∴xy的最小值为64.
(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
∴2x＋8y＝xy，即＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，即x＝2y＝12时“＝”成立．
∴x＋y的最小值为18.
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