2.2 基本不等式同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版，含解析）

2.2 基本不等式
一、选择题：本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知，且，则最大值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（　　）
A．30 B．36 C．40 D．50
3．已知，若不等式恒成立，则的最大值为
A．9 B．12 C．16 D．20
4．若，则的最小值为
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知正实数，满足，则的最小值为
A．4 B．6 C．9 D．10
6．若正数，满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，，且，则的最小值为
A． B． C．5 D．9
8．已知正数、满足，则的最小值为
A． B． C． D．
9．若函数在处取最小值，则等于（ ）
A．3 B． C． D．4
10．已知，，，则的最小值为
A． B． C． D．4
二、填空题：本题共4小题．
11．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ；
12．已知，，则的最小值为_______________；
13．已知，则的最小值为__________ ；
14．已知，且，则的最小值等于_______．
三、解答题：本题共3小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知.
(1)求证： ；
(2)若，且，求证：．
16．已知为正实数．
(1)求证：；
(2)如果一个直角三角形的两条直角边分别为，且它的周长为.
①求证：斜边；
②求直角三角形面积的最大值.
17．（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最大值．
参考答案
1．D
【解析】因为，且
所以 （当且仅当时取等号）
即，
所以
故选D.
2．C
【解析】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，根据基本不等式可知：，（当且仅当时，等号成立，即时，取等号）故本题选C.
3．A
【解析】因为，所以，，
（当且仅当时，取等号），要想不等式恒成立，只需，即的最大值为，故本题选A.
4．C
【解析】∵（当且仅当n＝3时等号成立）
故选C．
5．C
【解析】∵，，，∴，当且仅当
时，即时取“”.
故答案选C
6．A
【解析】由得：，即：
，
当且仅当，即时取等号
本题正确选项：
7．A
【解析】由得，解得.所以，当且仅当，即时等号成立.故本小题选A.
8．B
【解析】，所以，，
则，
所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，
故选．
9．A
【解析】当时，，则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A.
10．C
【解析】由题意，知，可得，
则，
当且仅当时，即时取得等号，
所以，即的最小值为，故选C．
11．20吨
【解析】由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨．
12．
【解析】因为，，
所以，
当即时等号成立，
故答案为：．
13．32
【解析】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
故答案为：32.
14．
【解析】，且，
即有 ，
即 ，
可得 ，
当且仅当 时，上式取得等号，
即有的最小值为.
故答案为
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1），
当且仅当时取等号；
（2），
当且仅当或时取“=”.
16．（1）见解析；（2）①见解析；②
【解析】(1)为正实数，不等式等价于，由
所以当时取“=”；
(2) ① 直角三角形的两条直角边分别为，则斜边
其周长为
由(1)的结论，
所以
∴斜边；
②由①斜边，得，
面积为，当时取“=”
所以直角三角形面积的最大值为.
17．（1）；（2）.
【解析】(1)因为，所以，
所以，
所以当且仅当，即，函数的最大值为.
(2)因为，所以，
所以，
当且仅当，
即时，的最大值为