专题3.3.1 抛物线及其标准方程
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
抛物线的准线方程是，则a的值为
A. B. C. 8 D.
【答案】B
【解析】：抛物线的标准方程是，其准线方程为，得
的焦点坐标是
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】：方程变形为
当时，标准形式为，，开口向上，焦点坐标为，即
当时，标准形式为，，开口向下，焦点坐标为，即
总之焦点为
已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上一点，若，则点P的横坐标是
A. B. 1 C. 4 D. 或4
【答案】D
【解析】：设P点的纵坐标为，抛物线C：，F为其焦点，准线l为
，即P到准线的距离为5，即，解得，舍
将代入到抛物线中得
以抛物线的焦半径为直径的圆与y轴的位置关系是
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】B
【解析】：抛物线的焦点F的坐标为
则以MF为直径的圆的半径为r圆心是
根据抛物线的定义与M到直线的距离相等
(
X
=
M(x
1
,y
1
)
F
y
x
) (
N
)由梯形中位线性质得N到直线的距离为
所以圆心N到y轴的距离为
因此以MF为直径的圆与y轴的位置关系是相切．
动圆M经过双曲线的左焦点且与直线相切，则圆心M的轨迹方程是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】：双曲线的左焦点为，动圆M经过F且与直线相切，
则圆心M到点F的距离和到直线的距离相等，
由抛物线的定义知轨迹是焦点为F，准线为的抛物线，其方程为．
故选B．
我们知道：用平行于圆锥母线的平面不过顶点截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于 ．
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】：设AB，CD的交点为O，连接PO，由题意可得面AB，所以，由题意，因为E是母线PB的中点，所以，由题意建立适当的坐标系，以BP为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，如图所示：
可得：
设抛物线的方程为
将C点坐标代入可得，所以
所以抛物线的方程为：
所以焦点坐标为，准线方程为，所以焦点到其准线的距离为
（多选）以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】：直线，令，得，抛物线焦点为
，∴抛物线方程为
同理令，得，抛物线焦点为，抛物线方程为
（多选）已知F是抛物线C：的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点若M为FN的中点，则
A. C的准线方程为
B. F点的坐标为
C.
D. 三角形ONF的面积为为坐标原点
【答案】ACD
(
O
) (
A
) (
B
) (
F
) (
M
) (
N
) (
y
) (
x
)【解析】：如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点
作于点B，于点A
由抛物线的解析式可得准线方程为，F点的坐标为
则，
在直角梯形中的中位线
∴
∴
∴，
∴
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
若点P到直线的距离比它到点的距离小2，则点P的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】：点P到直线的距离比它到点的距离小2
点P到直线的距离与它到点的距离相等
点P的轨迹是以为焦点、直线l：为准线的抛物线
即 ，得，
动点P的轨迹方程为
有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道共有四个车道，每个车道宽为，此隧道的截面由一个长方形和一个抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部设为平顶与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为________精确到
【答案】
【解析】：如图，以抛物线的对称轴为y轴，路面为x轴，建立直角坐标系
由已知可得，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点
设抛物线解析式为
把代入解析式，得
所以，抛物线解析式为
当时，，慢车道的限制高度为米
设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，为半径的圆交l于两点，若，且的面积为，则此抛物线的方程为_________．
【答案】
(
B
) (
A
) (
x
) (
y
) (
O
)【解析】：因为以F为圆心，为半径的圆交l于B，D两点，
由抛物线的定义可得
是等边三角形
(
D
) (
F
)
的面积为
，点F到准线的距离为
则该抛物线的方程为
点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则的周长的最小值是_____
【答案】
(
D
) (
P
) (
.A(3,2)
) (
y
) (
O
) (
x
) (
F
)【解析】：设点P在准线上的射影为D
则根据抛物线的定义，可知
因此，的最小值，即的最小值
可得当D，P，A三点共线时最小
因此的最小值为
周长的最小值为
三、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且过点
求抛物线的焦点坐标和标准方程
若P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹
【解析】： 由抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且过点
可设抛物线的标准方程为，则，
抛物线的标准方程为，焦点坐标为
设，
，M是PF的中点
，，，
是抛物线上一动点，，即
即M的轨迹方程为
已知抛物线的焦点为F，准线方程是．
求此抛物线的方程
设点M在此抛物线上，且，若O为坐标原点，求的面积．
【解析】： 因为抛物线的准线方程为，所以，得
所以抛物线的方程为
设，因为点在抛物线上，且
由抛物线的定义，知，得
将代入方程，得
所以的面积为
如图，某汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，灯口直径AB为，反光曲面的顶点O到灯口的距离是由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．问：为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？
【解析】：建立如图所示的坐标系，
由题意可知，，，设抛物线方程为
将点A坐标代入抛物线方程
可知，所以
所以灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射的光束是平行光束
如图，已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点，求的最小值，并求此时P点坐标．
【解析】：将代入抛物线方程y2，得
，点A在抛物线内部
设抛物线上点P到准线l：的距离为d
由定义知
由图可知，当时，最小，最小值为
即的最小值为
此时P点纵坐标为2，代入y2，得
点P坐标为
第2页，共7页专题3.3.1 抛物线及其标准方程
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
抛物线的准线方程是，则a的值为
A. B. C. 8 D.
的焦点坐标是
A. B.
C. 或 D. 或
已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上一点，若，则点P的横坐标是
A. B. 1 C. 4 D. 或4
以抛物线的焦半径为直径的圆与y轴的位置关系是
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
动圆M经过双曲线的左焦点且与直线相切，则圆心M的轨迹方程是
A. B. C. D.
我们知道：用平行于圆锥母线的平面不过顶点截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于 ．
A. B. C. D. 1
（多选）以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为
A. B. C. D.
（多选）已知F是抛物线C：的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点若M为FN的中点，则
A. C的准线方程为
B. F点的坐标为
C.
D. 三角形ONF的面积为为坐标原点
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
若点P到直线的距离比它到点的距离小2，则点P的轨迹方程是 ．
有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道共有四个车道，每个车道宽为，此隧道的截面由一个长方形和一个抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部设为平顶与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为________精确到
设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，为半径的圆交l于两点，若，且的面积为，则此抛物线的方程为_________．
点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则的周长的最小值是_____
三、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且过点．
求抛物线的焦点坐标和标准方程
若P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．
已知抛物线的焦点为F，准线方程是．
求此抛物线的方程
设点M在此抛物线上，且，若O为坐标原点，求的面积．
如图，某汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，灯口直径AB为，反光曲面的顶点O到灯口的距离是由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．问：为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？
如图，已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点，求的最小值，并求此时P点坐标．
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