3.1.1 椭圆及其标准方程 同步训练 2021-2022学年高二上学期 人教A版（2019）数学选择性必修第一册（Word版，含解析）

同步训练--
椭圆的简单几何性质
考试时间120分钟，满分150分
说明：
1.本试卷分第I卷选择题和第II卷非选择题两部分.
2. 请在答题卷上答题在本试卷上答题无效
第I卷 选择题 共60分
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)
1．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为　　
A． B． C．或 D．以上答案都不对
2．若，则方程与所表示的曲线可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
3．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星至地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为李明根据所学的椭圆知识，得到下列结论：
①卫星向径的最小值为，最大值为；
②卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁；
③卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大，其中正确结论的个数是（ ）
B． C． D．
4．．已知双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的左顶点与右焦点分别为A,F2.若点P为Γ的右支上(不包括Γ的右顶点)的动点,且满足3∠PAF2+∠APF2=π恒成立,则Γ的离心率为
A.2 B. C. D.
5．已知点P（x0，y0）（x0≠）在椭圆C：（a＞b＞0）上，若点M为椭圆C的右顶点，且PO⊥PM （O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（0，1） C．（，1） D．（0，）
6．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为　　
A． B． C． D．
9．分别为椭圆的左右焦点，点P在椭圆上，的面积为的正三角形，则的值为　　
A． B． C． D．
10．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
A． B．
C．轴，且 D．四边形的内切圆不同时过焦点
11．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）
A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3988公里
C．两焦点坐标约为 D．离心率远大于
12．椭圆的左右焦点分别为 ，为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为9.
B．椭圆上存在点，使得. C．椭圆的离心率为
D．为椭圆一点，为圆上一点，则点，的最大距离为4.
第II卷 非选择题 共90分
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知椭圆（a>b>0）的离心率为e，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠是钝角，则满足条件的一个e的值为____________
14．已知椭圆和椭圆的焦点相同且，给出如下四个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③；④.其中，所有正确的结论是____________.（填序号）
15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于，则椭圆的离心率的取值范围是_________．
16．已知动点在椭圆上，若，点满足，且，则的最小值是 ．
三、解答题：(共70分)
17（本小题10分）．已知椭圆C与椭圆的焦点相同且椭圆C过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P在椭圆C上，且，求的面积.
18（本小题12分）．设椭圆过点(0,4)，离心率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率的直线被椭圆C所截线段的中点坐标.
19（本小题12分）．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，斜率为k的直线l过点且与椭圆交于C，D两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为直线，的斜率，当k变动时，是否为定值？说明理由.
20（本小题12分）．已知直线与椭圆相交于两点.
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段的长；
（2）若（共中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值.
21（本小题12分）．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.
22（本小题12分）． 已知焦点在x轴的椭圆C：离心率e=， A 是左顶点，
E（2，0）
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值.
专题训练--
椭圆的简单几何性质
【参考答案】
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C C A C D A A B B A ABD
二、填空题
13. （答案不唯一，【详细答案解析】
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)
1．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为　　
A． B． C．或 D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆的简单性质求解，题中没有明确焦点在轴还是在轴上，所以分情况讨论．
【详解】
解：设焦点在轴上，椭圆的标准方程为
焦点坐标为，，顶点坐标为，；
椭圆的，，关系：；
直线恒过定点和
直线必经过椭圆的焦点，和顶点
带入直线方程：
解得：，，
焦点在轴上，椭圆的标准方程为；
当设焦点在轴，椭圆的标准方程为
焦点坐标为，，顶点坐标为，；
椭圆的，，关系：
直线恒过定点和
直线必经过椭圆的焦点，和顶点
带入直线方程
解得：，，
焦点在轴上，椭圆的标准方程为．
故选：．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在轴还是在轴上，要分情况讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于基础题．
2．若，则方程与所表示的曲线可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
即为直线，即为曲线，，再逐项判断即可．
【详解】
即为直线，即为曲线，.
对于A选项，由直线方程可知，，，则曲线，表示圆或椭圆，A选项错误；
对于B选项，由直线方程可知，，，则曲线，不存在，B选项错误；
对于C选项，由直线方程可知，，，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确；
对于D选项，由直线方程可知，，，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线，D选项错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线方程与曲线方程的判断，考查识图能力，属于基础题．
3．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星至地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为李明根据所学的椭圆知识，得到下列结论：
①卫星向径的最小值为，最大值为；
②卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁；
③卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大，其中正确结论的个数是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆的焦半径的最值来判断命题①，根据椭圆的离心率大小与椭圆的扁平程度来判断命题②，根据题中“速度的变化服从面积守恒规律”来判断命题③．
【详解】
对于命题①，由椭圆的几何性质得知，椭圆上一点到焦点距离的最小值为，最大值为，所以，卫星向径的最小值为，最大值为，结论①正确；
对于命题②，由椭圆的几何性质知，当椭圆的离心率越大，椭圆越扁，卫星向径的最小值与最大值的比值，当这个比值越小，则越大，此时，椭圆轨道越扁，结论②正确；
对于命题③，由于速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星越靠近远地点时，向径越大，当卫星越靠近近地点时，向径越小，由于在相同时间扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，结论③错误．故选C．
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆几何量对椭圆形状的影响，在判断时要充分理解这些几何量对椭圆形状之间的关系，考查分析问题的能力，属于中等题．
4．A
【解析】本题考查双曲线的标准方程、几何性质,考查考生的化归与转化能力、数形结合能力和运算求解能力.
设点P的坐标为(x,y),把3∠PAF2+∠APF2=π转化为∠PF2A=2∠PAF2,再转化为两直线的斜率之间的关系(注意分类讨论,其中一种情况为直线PF2的斜率不存在),即可得到点P的轨迹方程,将其与双曲线Γ的标准方程比较可得a,c的关系式,从而求得离心率的值.
通解　设P(x,y)(x>a),双曲线Γ的半焦距为c,依题意得,A(-a,0),F2(c,0).
因为3∠PAF2+∠APF2=π,所以∠PF2A=2∠PAF2,
①当∠PF2A≠时,tan∠PF2A=tan 2∠PAF2=,
设直线PA的斜率为kPA,直线PF2的斜率为,则-,所以-,
整理得3x2+2(2a-c)x-y2=2ac-a2(x>a),这是点P所满足的轨迹方程,
又点P为Γ的右支上(不包括Γ的右顶点)的动点,所以=1(x>a),所以2a-c=0,所以离心率e==2;
②当∠PF2A=时,易得e=2.
综上所述,Γ的离心率为2,故选A.
优解　因为3∠PAF2+∠APF2=π,所以∠PF2A=2∠PAF2,依题意可知,∠PF2A=2∠PAF2恒成立,可取∠PF2A=,则∠PAF2=,所以|AF2|=|PF2|,又|AF2|=a+c,|PF2|=,所以a+c=,所以a+c=,得c=2a,所以Γ的离心率e==2,故选A.
5．已知点P（x0，y0）（x0≠）在椭圆C：（a＞b＞0）上，若点M为椭圆C的右顶点，且PO⊥PM （O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（0，1） C．（，1） D．（0，）
【答案】C
【解析】
【分析】
因为，所以点P在以OM为直径的圆上，所以由参数写出圆的方程，与椭圆方程联立，得到二次方程，使得方程在区间上有解，即可得到关于参数的不等关系，由离心率公式便可求得离心率取值范围.
【详解】
由题意，所以点P在以OM为直径的圆上，圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，
与椭圆方程联立得：，此方程在区间上有解，
由于a为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于与a之间，
所以：，结合，解得：，
根据离心率公式可得：.
故选C.
【点睛】
本题考查离心率的求法，垂直一般可联系向量乘积为0或直径所对圆周角为直角两个知识点，求离心率有两种方式，一种是求出a、c，解出离心率，另一种是求出参数之间的关系，求出离心率.
6．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由椭圆的方程可得，解不等式组即可得出结果.
【详解】
由题意得即
∴或
故选：D.
【点睛】
本题考查了椭圆的方程，考查了运算求解能力，属于基础题目.
7．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．
考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
8．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，设椭圆C的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q，，P共线，可得取最大值．
【详解】
由题意，点F为椭圆的左焦点，，
点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为，
设椭圆C的右焦点为，
，
，
，即最大值为5，此时Q，，P共线，故选A．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力．
9．如图所示，分别为椭圆的左右焦点，点P在椭圆上，的面积为的正三角形，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由的面积为的正三角形，可得，解得把代入椭圆方程可得：，与联立解得即可得出．
【详解】
解：的面积为的正三角形，
，
解得．
代入椭圆方程可得：，与联立解得：．
故选B．
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
A． B．
C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点
【答案】BD
【解析】
【分析】
先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B；根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的内切圆过焦点得出内切圆的半径为c，进一步得出，结合离心率公式判断D.
【详解】
∵椭圆
∴
对于A，若，则，∴，∴，不满足条件，故A不符合条件；
对于B，，∴
∴，∴
∴，解得或（舍去），故B符合条件；
对于C，轴，且，∴
∵
∴，解得
∵，∴
∴，不满足题意，故C不符合条件；
对于D，四边形的内切圆过焦点
即四边形的内切圆的半径为c，∴
∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D符合条件．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了求椭圆离心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的应用，属于中档题.
11．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）
A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3988公里
C．两焦点坐标约为 D．离心率远大于
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率，因为没有建立坐标系，所以不能得到焦点坐标，即C不正确.
【详解】
设该椭圆的半长轴长为，半焦距长为.
依题意可得月球半径约为，
，
，
，，，
椭圆的离心率约为，
可得结论A项正确，B项错误；
因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误.
综上可知，正确的为A，
故选：A.
【点睛】
本题考查了椭圆几何性质的实际应用，属于基础题.
12．椭圆的左右焦点分别为 ，为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为9.
B．椭圆上存在点，使得. C．椭圆的离心率为
D．为椭圆一点，为圆上一点，则点，的最大距离为4.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，可判断A；根据数量积运算，以及椭圆的性质，可判断B；根据离心率的定义，可判断出C；根据点与圆位置关系，以及椭圆的性质，可判断D.
【详解】
对于选项A，因为分别为椭圆的左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，由椭圆定义可得：，
因此的周长为，故A不正确；
对于选项B，设点为椭圆上任意一点，
则点坐标满足，且
又，，所以，，
因此，
由，可得：，故B正确；
对于选项C，因为，，所以，即，
所以离心率为，故C错；
对于选项D，设点为椭圆上任意一点，
由题意可得：点到圆的圆心的距离为：，
因为，所以.故D不正确；
故选：B
【点睛】
本题主要考查椭圆相关命题真假的判定，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知椭圆（a>b>0）的离心率为e，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠是钝角，则满足条件的一个e的值为____________
【答案】（答案不唯一，【解析】
【分析】
当为短轴端点时，最大，因此满足题意时，此角必为钝角．
【详解】
由题意当为短轴端点时，为钝角，∴，∴，，，∴．
答案可为．
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质．解题中注意性质：是椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点，当为短轴端点时，最大．
14．已知椭圆和椭圆的焦点相同且，给出如下四个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③；④.其中，所有正确的结论是____________.（填序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】
利用两椭圆有相同焦点，判断出大小，即可判断.
【详解】
由已知条件可得，∴，而，可知两椭圆无公共点，则①②正确；
∵，∴，即，即，即，则③不正确；
∵，∴，而又由，可得，则④正确.
综上，正确的结论序号为①②④.
故答案为：①②④.
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质，等价转化是关键.
15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于，则椭圆的离心率的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
求得的最小值为，进而可求得的最小值为，结合题意可得出，由此可求得该椭圆离心率的取值范围.
【详解】
，，所以当且仅当取得最小值时，取得最小值．
而的最小值为，所以的最小值为．
依题意可得，所以，
所以，则，，，
，则，可得，
因此，该椭圆的离心率的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的取值范围，同时也考查了圆的切线长的计算，解题的关键就是要结合题得出关于、、的齐次不等式，考查计算能力，属于中等题.
16．已知动点在椭圆上，若，点满足，且，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】
【分析】
由题，结合向量的性质，得到||2＝||2﹣||2＝||2﹣1，||越小，||越小，由数形结合可知，当P点为椭圆的右顶点时，可取得最小值．
【详解】
解：∵0，∴，
∴||2＝||2﹣||2＝||2﹣1，
∴点M的轨迹为以为以点A为圆心，1为半径的圆，
∵||2＝||2﹣1，||越小，||越小，
结合图形知，当P点为椭圆的右顶点时，
||取最小值a﹣c＝5﹣3＝2，
∴||最小值是．
故选B．
【点睛】
本题主要考查椭圆上的线段长的最小值的求法，考查平面向量的数量积的性质和运用，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的性质，是中档题．
三、解答题
17（本小题10分）．已知椭圆C与椭圆的焦点相同且椭圆C过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P在椭圆C上，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的焦点坐标设出椭圆C的标准方程，再将点代入方程，即可得出椭圆C的标准方程；
（2）由定义得出，由余弦定理得出，求出，再由三角形面积公式得出面积.
【详解】
（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以设椭圆C的标准方程为①
将点代入①，整理得
解得或（舍去）
所以椭圆C的标准方程为.
（2）因为点P在椭圆C上，
所以.
由（1）知，在中，
所以由余弦定理得，
即.
因为
所以
即.
所以.
.
所以的面积为.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的标准方程以及椭圆中三角形的面积问题，属于中档题.
18（本小题12分）．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，斜率为k的直线l过点且与椭圆交于C，D两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为直线，的斜率，当k变动时，是否为定值？说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值；答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）设椭圆的半焦距为c. 根据离心率为，点在椭圆上由求解.
（2）设直线l的方程为，由，得，设，，根据，得到，，然后相乘，并将韦达定理代入求解.
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为c.
∵椭圆的离心率为，点在椭圆上，
∴.
解得，，.
∴椭圆的方程为.
（2）当k变动时，为定值－2.
证明如下：设直线l的方程为.
由，得.
设，，
则，.
因为，
所以，，
所以，
，
.
【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系，定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19（本小题12分）．设椭圆过点(0,4)，离心率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率的直线被椭圆C所截线段的中点坐标．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．
【详解】
（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，
由e==，得1﹣=，∴a=5，
∴椭圆C的方程为+=1．
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
20（本小题12分）．已知直线与椭圆相交于两点.
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段的长；
（2）若（共中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆中基本量的关系计算椭圆的方程,再联立直线与椭圆的方程,利用弦长公式求解线段的长即可.
(2) 设,,根据可得,再联立方程利用韦达定理表达出关于椭圆的基本量的关系,再根据椭圆的离心率可列出不等式求解关于的不等式,从而得到长轴长的最大值.
【详解】
解：（1）,,,,则,
椭圆的方为,
联立消去得：,设,,
则
,
（2）设,,
,,即,
由,消去得,
由,整理得,
又,,
,
由,得：,
,
整理得：,,代入上式得
长轴长的最大值为.
【点睛】
本题主要考查了椭圆中基本量的计算以及联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理求解基本量参数的关系,进而求得基本量的最值问题.属于难题.
21（本小题12分）．
已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.
解：
(1)椭圆过点，得，由，求得.故椭圆的标准方程为:
(2) 因为直线:与圆相切,
所以，,
把代入,
整理得, ,
设，则有,
,
因为,,所以,,
又因为点在椭圆上,所以,,
解得，
因为，所以.
所以，所以的取值范围为 .
22（本小题12分）．已知焦点在x轴的椭圆C：离心率e=，A是左顶点，E（2，0）
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆离心率的公式进行求解即可；
（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，消得到一个一元二次方程，根据根与系数的关系，结合三角形面积公式求出三角形APQ面积的表达式，再利用换元法、对钩函数的单调性进行求解即可.
【详解】
（1）∵∴，a=4，
椭圆的标准方程为；
（2）设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程得，
设P，Q，则
∴三角形APQ面积为：，
令
∵函数y=x+在上单调递增
∴当u=，即m=0时，三角形APQ的面积取最大值.
【点睛】
本题考查了已知椭圆的离心率求椭圆的标准方程，考查了利用椭圆与直线的关系求三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力.
试卷第10页，总32页