22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（Word版 含答案）

22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式
一．选择题
1．已知二次函数的与的部分对应值如下表：
… 0 2 6 …
… 2 6 2 …
当时，的值是（ ）
A． B． C．2 D．6
2．二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（ ）
A． B． C． D．5
二．填空题
4．若二次函数顶点坐标为，且过点，则二次函数解析式为_______
5．已知抛物线：，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的表达式是__________．
6．若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，则这个二次函数的解析式为________________．
7．如图，某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，如图所示建立平面直角坐标系，则该抛物线对应的函数关系式为：______________．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，-4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为_____．
9．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐级小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”。在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间（单位：min）近似满足的函数关系为：（；，，是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据，可以得到与的解析式为________；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为_______．
三．解答题
10．已知抛物线经过，两点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数关系式并直接写出开口方向及顶点坐标．
11．已知抛物线与x轴相交于，两点．
（1）填空：抛物线的对称轴为 ；
（2）求b，c的值；
（3）设抛物线上一动点关于原点的对称点为点Q，当点Q落在第一象限内，且取得最小值时，求s的值．
12．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为．
（1）求实数b的值；
（2）若点D是抛物线在第一象限内图象上的点，求面积的最大值，及此时点D的坐标．
13．已知直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴．
（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，1），求抛物线的解析式；
（2）若抛物线不过第一象限，求的取值范围；
（3）若抛物线过点（1，1），当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．
14．滑雪是冬季运动爱好者的喜爱项目之一，滑雪者从山坡滑下，其滑行距离（单位：）是滑行时间（单位：）的二次函数．滑雪爱好者小聪从山坡滑下，同学小敏帮他测得一些数据，记录于下表．
滑行时间 0 1 2 3 4
滑行距离 0 4.5 14 38.5 48
（1）在上表t，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点、连线的方法，画出函数的大致图象，并观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）中结果，求出关于的函数表达式；并求出当滑行时间为时，小聪在山坡上滑行的距离是多少？
15．如图，二次函数的图象以为顶点，且过点，与x轴交于A，B两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象沿x轴左右平移，当图象经过原点时，D点随图象移至，求的值．
参考答案
1．A
【分析】
运用待定系数法求出函数解析式，再把代入求出的值即可．
【详解】
解：把（2，-6），（0，2），（2，6）三点坐标代入，得
解得，
∴二次函数解析式为
∴当时，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了运用待定系数法求出函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．．
2．B
【分析】
根据题意，由函数图像的对称轴及与x轴的一个交点，则可以知道函数与x轴的另一个交点，再根据待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】
根据题意，二次函数对称轴为，与x轴的一个交点为，
则函数与x轴的另一个交点为，
故设二次函数的表达式为，
函数另外两点坐标，
可得方程组，
解得方程组得，
所以二次函数表达式为．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法和二次函数的对称轴的问题，同时考查学生解方程组的知识，是比较常见的题目．
3．A
【分析】
先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．
【详解】
解：∵抛物线经过点、，且与y轴交于点，
∴，
解方程组得，
∴抛物线解析式为，
当时，．
故选择A．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．
4．
【分析】
设顶点式，然后把代入求出即可．
【详解】
解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为．
故答案为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
5．．
【分析】
先确定抛物线的顶点坐标，根据抛物线与抛物线关于轴对称，求出抛物线的顶点坐标为（-2，1），抛物线的形状不变，开口方向不变，即可写出抛物线的表达式是．
【详解】
解：∵抛物线：，
∴抛物线的顶点坐标为（2，1），
∵抛物线与抛物线关于轴对称，
抛物线的顶点坐标为（-2，1），抛物线的形状不变，开口方向不变，
抛物线的表达式是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线的顶点式，抛物线的性质，轴对称性质，利用轴对称性质求抛物线的解析式，掌握抛物线的顶点式，抛物线的性质，轴对称性质，利用轴对称性质求抛物线的解析式是解题关键．
6．．
【分析】
设出二次函数的解析式为，将三点坐标代入二次函数解析式求出a，b，c的值，即可确定出解析式．
【详解】
设二次函数的解析式为，
将（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点代入解析式得：
，解得：．
则二次函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
7．
【分析】
先设抛物线的解析式为，再根据抛物线与的交点可得其对称轴为，从而可得顶点坐标为，代入即可得．
【详解】
由题意，设抛物线的解析式为，此抛物线的对称轴为，
则抛物线的顶点坐标为，
将点代入抛物线的解析式得：，解得，
则抛物线的解析式为，即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
8．
【分析】
当CD⊥y轴时，线段CD最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式来求a的值；最后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可以直接得到抛物线的顶点纵坐标．
【详解】
解：根题意知，当CD⊥y轴时，线段CD最短．
∵点C的坐标为（2，﹣4），
∴点D的坐标为（0，﹣4）．
将其代入，得3a=-4，
解得．
∴该抛物线解析式是：，
∵．
∴该抛物线的顶点坐标是（2，）．
∴抛物线顶点纵坐标为．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，求抛物线顶点坐标时，也可以直接利用顶点坐标公式求解．
9． 3.75
【分析】
利用待定系数法求出函数解析式，确定顶点横坐标的值即为加工煎炸臭豆腐的最佳时间．
【详解】
解：将（3,0.8），（4,0.9），（5,0.6）代入中，得
，
解得，
∴，
当时，P有最大值，
∴加工煎炸臭豆腐的最佳时间为3.75，
故答案为：，3.75．
【点睛】
此题考查待定系数法求二次函数解析式，函数的顶点坐标的计算，二次函数的实际应用，正确理解题意正确计算是解题的关键．
10．（1）；（2），开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，1）．
【分析】
（1）直接将，代入得到二元一次方程组，再求得a、b即可；
（2）根据抛物线的平移规律“上加下减”以及二次函数图象的特征解答即可．
【详解】
解：（1）把，代入
得解得，
∴抛物线解析式为．
（2）抛物线向上平移3个单位长度的解析式为，
故平移后得解析式为
∴开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，1）．
【点睛】
本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图象的平移、二次函数图象的性质等知识点，掌握二次函数图象的平移规律和二次函数图象的特征是解答本题的关键．
11．（1）直线；（2）；（3）
【分析】
（1）线段AB的垂直平分线是抛物线的对称轴，求出线段AB的中点坐标即可；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）过点Q作x轴的垂线，垂足为H，则，由勾股定理可求得AQ2关于s、t的关系式，再由点P在抛物线上，得关于s、t的关系式，消去s即可得AQ2关于t的二次函数关系式，求出AQ2最小时t的值，最后可求得s的值．
【详解】
（1）∵AB=3-(-1)=4
∴
∴AB中点的横坐标为为3-2=1
即AB的中点坐标为(1，0)
所以抛物线的对称轴为直线
故答案为：直线
（2）∵抛物线与x轴相交于，两点
∴
解得
即b=-2，c=-3
（3）点关于原点的对称点Q的坐标为
∵点在抛物线上
∴
∴ ①
过点Q作x轴的垂线，垂足为H，则，如图
∵
∴，
∴ ②
把①代入②，得
∵抛物线上一动点关于原点的对称点Q落在第一象限内
∴，
∴当，取得最小值
把代入①，得
解得，，或（舍去）
∴s的值为
【点睛】
本题是二次函数的综合性问题，考查了待定系数法求函数解析式，已知抛物线上的两点求对称轴，线段最值等知识，第三问中消去参数s是难点，用到整体思想消去s，另外要注意s的范围，数形结合．
12．（1）；（2）的面积最大值是1，．
【分析】
（1）直接将点B坐标代入抛物线解析式即可求解；
（2）根据题意求出直线BC解析式，设，，过点D作轴，交直线BC于点E，则，可得DE的长度，利用，得出关于d的关系式，利用配方法求得S△BCD最大值时d的值，继而即可求解．
【详解】
（1）将点代入，
得，
∴；
（2）由，知，直线BC的解析式为，
设，
过点D作轴，交直线BC于点E，则，
∴，
.
，
∴时，的面积最大，
此时，的面积最大值是1．
【点睛】
本题考查二次函数综合题，主要涉及二次函数解析式，利用点的坐标表示相应线段的长，三角形面积公式，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数有关性质，结合数形结合的思想．
13．（1）y＝x2﹣2x+1；（2）≥1；（3）或
【分析】
（1）根据题意得出b＝2a，c＝1，把b＝2a，c＝﹣1代入a+b+c＝0，即可求得a＝1，b＝﹣2；
（2）根据题意抛物线开口向下，交于y轴的负半轴，即可得出a＜0，c＜0，c﹣a≤0，即可求得 ≥1；
（3）抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，即该点坐标为（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴ ，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵抛物线过（0，1），
∴c＝1，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x+1；
（2）∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，
∵抛物线不过第一象限，
∴a＜0，c≤0，c﹣a≤0，
∴ ；
（3）∵对称轴为直线x＝1，抛物线过点（1，1），
∴该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2+1，
∵当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，
∴当x＝﹣1时，对应的点到x轴的距离最大，
∴抛物线过（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），
∴4＝a（﹣1﹣1）2+1或﹣4＝a（﹣1﹣1）2+1，
解得：a＝，或a＝．
故a的值为或．
【点睛】
本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等。．
14．（1）见解析，数据（3，38.5）是错误的；（2）；102米．
【分析】
（1）描点，连线，画出函数图象，
（2）由图象可得出与的关系可近似看成二次函数，根据点的坐标利用待定系数法可以求出二次函数关系式，并将6代入二次函数关系式即可得到滑行的距离．
【详解】
解：（1）描点，连线，如图所示．
根据图像可知，数据（3，38.5）是错误的；
（2）设关于的函数表达式为
显然当时，．
将、两点坐标代入 ，
有解得
关于的函数表达式为
当时，
即小聪在山坡上滑行的距离是102米．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键．
15．（1）；（2）或
【分析】
（1）根据图象的顶点设顶点式，再将点C坐标代入求解即可；
（2）通过二次函数图象沿x轴左右平移，分别求出的坐标计算即可；
【详解】
（1）解：∵二次函数的图象顶点为，
∴设二次函数的解析式为，
把点代入得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：当时，即
解得：，，
∴点，点，
分两种情况：
①如图，抛物线向右平移3个单位经过原点，
此时，则，
可得：，
在中，，
∴，
∴．
②如图，抛物线向左平移1个单位经过原点，
此时，则，
过点C作于点E，由，
得
在中，，
∴，
∴．
综上所述，的值为或．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和函数图像的平移，结合勾股定理计算是解题的关键．