21.3 实际问题与一元二次方程-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（Word版 含答案）

21.3实际问题与一元二次方程
知识点1 传播问题
例1．每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
3．某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．
（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑
（2）若病毒得不到有效控制，______轮感染后机房内所有电脑都被感染．
知识点2 增长率问题
例4．商场出售的某品牌电脑原价为每台5000元，随着暑期来临，开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元．求平均每次下调的百分率．
变式5．某市大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2019年投入亿元，若每年的增长率相同，预计2021年投资亿元，设年平均增长率为，则由题意可列方程________．
6．青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8712kg．
（1）求水稻每公顷产量的年平均增长率；
（2）2010年水稻平均每千克的成本为2元，每千克的售价为3元，2011年水稻平均每千克的成本比2010年的增加了10%，若2011年平均每公顷水稻的利润比2010年至少增加720元，则2011年平均每千克水稻的售价最少应为多少元
知识点3 图形问题
例7．如图是一张长20cm、宽10cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，则x的值为__．
变式8．某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）
A．（15+2x）（8+x）＝110 B．（15﹣2x）（8﹣x）＝110
C．（15+x）（8+2x）＝110 D．（15﹣x）（8﹣2x）＝110
9．如图，用一块长为100cm，宽为60cm的矩形纸片制作一个无盖的盒子，若在纸片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm．
（1）底面的长AB＝　 　cm，宽BC＝　 　cm（用含x的代数式表示）；
（2）当做成盒子的底面积为3200cm2时，求该盒子的底面长和宽．
课堂练习
10．有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源），程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中个白球同时变成红球（为程序设定的常数），若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为64个，则应满足的方程是（ ）
A．4（1＋）＝64 B．4（1＋）＝400 C．4＝64 D．4＝400
11．“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（　　）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
13．据美国约翰斯 霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万，已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了_____人．
14．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元，节日期间，为了尽快减少库存压力，尽可能的让利消费者，商场决定采取适当降价的措施进行促销．经市场调研发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．
（1）降价促销后商场每件商品盈利______元，平均每天日销售量增加______件；
（2）在上述条件不变的情况下，商场要实现日盈利额到2400元，则每件商品降价多少元？
15．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
试卷第4页，总4页
参考答案
1．B
【分析】
设每人每轮平均感染x人，根据“两轮传染后共有81人患了流感”列出方程即可．
【详解】
设每人每轮平均感染人，由题意得，
x（x+1）+x+1=81，
即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，本题的等量关系是两轮传染后共有81人患了流感．
2．B
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得：（舍去），
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
3．（1）3台；（2）四
【分析】
（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．
（2）经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台，
经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台，
，
四轮感染后机房内所有电脑都被感染．
故答案为：四．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．平均每次下调的百分率为10%
【分析】
设平均每次下调的百分率为x，根据原价可得第一次降价后的价格为5000（1-x），进而可得第二次降价后的价格为5000（1-x）2，即可得关于x的一元二次方程，解方程求出x的值即可得答案．
【详解】
设平均每次下调的百分率为x，
∵原价为每台5000元，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元，
∴5000（1-x）2=4050，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，正确找出等量关系列出方程是解题关键．
5．10（1+x）2=14.4
【分析】
首先设每年投资的增长率为x．根据2019年投入10亿元，若每年的增长率相同，预计2021年投资14.4亿元，可列方程．
【详解】
解：设每年投资的增长率为x，
根据题意，得：10（1+x）2=14.4，
故答案为：10（1+x）2=14.4．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n=b其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率，b是第三年数据．
6．（1）水稻每公顷产量的年平均增长率为10%；（2）2011年平均每千克水稻的售价至少为应为3.2元．
【分析】
（1）设水稻每公顷产量的年平均增长率为，2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8712kg，列出一元二次方程，求出两个根，取正值即可得出答案；
（2）设2011年平均每千克水稻的售价为元，利用平均每公顷水稻的利润=每千克的利润×平均每公顷的产量，结合2011年平均每公顷水稻的利润比2010年至少增加720元，即可列出关于a的不等式，解出取其最小值即可得出答案．
【详解】
（1）设水稻每公顷产量的年平均增长率为，
根据题意可列方程：
解得：，（不合题意，舍去），
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%；
（2）设2011年平均每千克水稻的售价为元，
根据题意可列不等式：
，
解得：
答：2011年平均每千克水稻的售价至少为应为3.2元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出不等式．
7．2
【分析】
根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽；根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为144cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
解：∵纸板是长为20cm，宽为13cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，
∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm．
依题意，得：（20﹣2x）（13﹣2x）＝144，
整理，得：2x2﹣33x＋58＝0，
解得：x1＝2，x2＝14.5（不合题意，舍去）．
答：x的值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
8．B
【分析】
设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的矩形，利用种植的面积＝合成大矩形的长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的大矩形，
依题意得：（15﹣2x）（8﹣x）＝110．
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是要根据图形面积公式列一元二次方程.
9．（1）（100-2x），（60-2x）；（2）底面长为80cm，宽为40cm
【分析】
（1）利用矩形的长与宽以及在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，得出AB与BC的长即可；
（2）根据（1）中求得的长与宽以及盒子的底面积为3200cm2得出x的值，即可求出盒子的底面长与宽．
【详解】
解：（1）根据题意得，
底面的长AB=（100-2x）cm，宽BC=（60-2x）cm，
故答案为：（100-2x），（60-2x）；
（2）根据题意得，
（100-2x）（60-2x）=3200，
整理得：x2-80x+700=0，
解得：x1=10，x2=70（不符合题意，舍去），
∴100-2x=80，60-2x=40，
答：该盒子的底面长为80cm，宽为40cm．
【点睛】
本题考查了矩形面积公式的运用以及解一元二次方程，分别找出底面的长和宽是解题的关键．
10．C
【分析】
原有4个红球，1分钟后红球数为个，2分钟新增加的红球数为个，由2分钟后，红球总数变为了64个列方程可得结论．
【详解】
根据题意得：，
即：，
故选：C．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，了解增长率问题是解题的关键．
11．B
【分析】
根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的销售量，然后根据题意可得出方程．
【详解】
解：依题意得五、六月份的销售量为50(1+x)、50(1+x)2，
∴50+50(1+x)+ 50(1+x)2=182．
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
12．B
【分析】
设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC=55且AD=BC可得AD=BC=55-2x 米，再由长方形的面积公式可得答案．
【详解】
解：设榣栏AB的长为x米，则AD=BC=55-2x米，
根据题意可得，x(55-2x)=375，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
13．11
【分析】
设每轮传染中平均每人传染了x人，然后由题意可得，进而求解即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均每人传染了x人，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均每人传染了11人；
故答案为11．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
14．（1）(50﹣x)，2x；（2）商场每件商品要降价20元
【分析】
（1）直接利用盈利-降价=降价后盈利，再结合每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，进而得出答案；
（2）利用销量×每件利润=2400，进而得出等式求出答案．
【详解】
解：（1）降价促销后商场每件商品盈利：（50﹣x）元，
平均每天日销售量增加：2x 元；
故答案为：（50﹣x），2x；
（2）由题意列方程为：（50﹣x）（40+2x）＝2400，
解得：x1＝20，x2＝10（不合题意，舍去），
答：商场每件商品要降价20元，即让利消费者又能实现2400元的日盈利．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出销量与每件利润是解题关键．
15．（1）1秒；（2）不可能，见解析
【分析】
（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
【详解】
解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍去）．
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）由（1）同理可得（5﹣x）2x＝7．
整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，
所以，此方程无解．
所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
答案第8页，总8页