13.3.1 等腰 三角形的性质-初中数学人教版八年级上册同步试题精编（Word版 含答案）

13.3.1等腰三角形的性质
知识点1 等角对等边
例1．如图，在中，平分，，，则的长为（ ）
A．3 B．11 C．15 D．9
变式2．如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，已知在中，是的角平分线，.求证：.
知识点2 平行线+角平分线=等腰三角形
例4．如图，，，则与______.（填“相等”或“不相等”）
变式5．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BDC的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7cm，BC＝8cm，则AB的长度是___cm．
6．如图，在中，BO，CO分别是和的平分线，过O点的直线分别交AB AC于点D E，且．若，则的周长为________．
知识点3 作等腰三角形
例7．如图，已知线段、，作等腰三角形，使，且，边上的高．张红的作法是：
（1）作线段；
（2）作线段的垂直平分线，与相交于点；
（3）在直线上截取线段；
（4）联结、，为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）．
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
变式8．在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°．在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
9．已知：锐角和线段如图所示．求作：等腰三角形，使它的底角为，腰为．
课堂练习
10．如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2cm2 B．4cm C．6cm D．8cm
12．画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为AD=h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．
13．已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）GF＝GC．
14．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．
(1)求证AD=ED；
(2)若AC=AB，DE=3，求AC的长．
参考答案
1．B
【分析】
在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，先根据SAS证明△ABD≌△AED，然后根据全等三角形的性质和已知条件可得∠BDE＝∠AED，进而可得CD＝EC，再代入数值计算即可．
【详解】
解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，
∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB，
而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
2．C
【分析】
根据折叠的性质得到∠1=∠2，而∠1=∠3，易得ED=EB，然后根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】
解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，
∴∠1=∠2，
而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴ED=EB=5，
∵矩形ABCD中，∠A=90°
∴重叠部分△BDE的面积=DE×AB=×5×4=10．
故选：C.．
【点睛】
本题考查了折叠的性质以及三角形的面积公式．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．
3．详见解析
【分析】
延长至，使，联结，先证得，得出，再根据三角形外角性质和题意得出，然后得出即可证得.
【详解】
证明：延长至，使，联结，
，，
，
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质、三角形外角性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质和定理是关键.
4．相等
【分析】
根据平行线的性质得出、，再利用等量代换得出，最后根据等腰三角形的性质即可求解.
【详解】
∵
∴、
又∵
∴
∴
故填：相等.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质是关键.
5．15
【解析】
由角平分线的性质与平行线的性质，易证得△ADE与△BEC是等腰三角形，即AE=AD，BE=BC，又由AD=7cm，BC=8cm，则A可求得B的长度．
解：∵∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AB∥DC，
∴∠2=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠5，∠4=∠6，
∴AE=AD，BE=BC，
∵AD=7cm，BC=8cm，
∴AB=AE+BE=AD+BC=7+8=15（cm）．
6．
【详解】
，，又是的平分线，，，，同理：，的周长．
7．C
【分析】
在直线MN上截取线段h，说法不准确，应该是：在直线MN上截取线段DA=h．
【详解】
解：在直线MN上截取线段h，说法不准确，应该是：在直线MN上截取线段DA=h．所以C的说法错误，符合题意.
故选C．
【点睛】
本题考查了学生运用准确几何语言表达作图方法与步骤的能力，平时要重视数学语言的训练．
8．A
【分析】
根据等腰三角形的判定，进行划分，即可解答．
【详解】
解：如图：
∴最多画7条，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定以及三角形各角之间的关系，解决此题的关键是熟记等腰三角形的判定．
9．详见解析
【分析】
作射线CM，再作∠MCN=∠α；在射线CN上截取AC=a；以点A为圆心，线段a为半径作弧交CM于点B；连接AB．则△ABC为所求．
【详解】
解：作法：
（1）作射线CM，再作∠MCN=∠α；
（2）在射线CN上截取AC=a；
（3）以点A为圆心，线段a为半径作弧交CM于点B；
（4）连接AB．则△ABC为所求．
如图所示：
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的作法，要能熟练运用基本作图解决综合作图问题．
10．B
【详解】
解：∵A、B是4×5网格中的格点，
∴AB=，
同理可得，AC=BD=AC=，
∴所求三角形有：△ABD，△ABC，△ABE．如图：
故选B．
考点：1.等腰三角形的判定.2.勾股定理.
11．C
【分析】
根据等腰三角形是轴对称图形知，△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．
【详解】
∵S△ABC=12cm2，等腰三角形是轴对称图形知，△CEF和△BEF的面积相等，
∴阴影部分面积=12÷2=6cm2．
故选：C．
【点睛】
考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△CEF和△BEF的面积相等是正确解答本题的关键．
12．见解析
【解析】
【分析】
分别以B、C为圆心，大于 BC为半径画弧，分别相交，作出BC的垂直平分线，再以D为圆心h长为半径画弧，交垂直平分线于点A，连接AB、AC即可．
【详解】
如图所示，
【点睛】
此题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，解题关键在于掌握作图法则.
13．（1）证明见解析，（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据BF＝CE证明BC＝EF，然后利用“边角边”即可证明△ABC和△DEF全等；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠DFE，再根据等角对等边证明即可．
【详解】
证明：（1）∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B＝∠E＝90°，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF
∴∠ACB＝∠DFE
∴GF＝GC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定，比较简单，证明出BC＝EF是解题的关键．
14．(1)证明见解析；(2)6.
【解析】
【分析】
（1）由AE是∠BAC的角平分线可得∠DAE=∠BAE，由DE∥AB，可得∠DEA=∠EAB，则∠DEA=∠DAE，可得结论．
（2）根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，可证∠C=∠CED则CD=DE，即可求AC的长．
【详解】
证明：(1)∵AE是∠BAC的角平分线
∴∠DAE=∠BAE，
∵DE∥AB
∴∠DEA=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE-；
(2)∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线
∴AE⊥BC
∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，
∵∠CAE=∠DEA，
∴∠C=∠CED，
∴DE=CD，
∴AD=DE=CD=3，
∴AC=6.
故答案为(1)证明见解析；(2)6.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，关键是利用这些性质解决问题．