2021-2022学年人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2 椭圆的简单几何性质 课件（共42张）

(共42张PPT)
3.1.2 椭圆的简单几何性质
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹
标准方程
不 同 点
相 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
温故知新
1.顶点:椭圆和坐标轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆有四个顶点（±a，0）、（0，±b）
线段A1A2叫做椭圆的长轴，且长为2a，
a叫做椭圆的长半轴长
线段B1B2叫做椭圆的短轴，且长为2b，
b叫做椭圆的短半轴长
O
x
F1
F2
A2
B1
B2
y
A1
(-a,0)
(a,0)
(0,b)
(0,-b)
为椭圆的焦距, 为椭圆的半焦距
O
x
F1
A2
B1
B2
y
A1
(-a,0)
(a,0)
(0,b)
(0,-b)
a、b、c的几何意义
a
c
b
F2
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
2、范围：
3、对称性：
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称,
原点是椭圆的中心.
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：
叫做椭圆的离心率。
[1]离心率的取值范围：
0*
因为a>c>0，
所以0 < e <1.
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
O
x
y
a
b
●
c
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，
椭圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，
椭圆就越圆
*
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？
如果a=b，则c=0，两个焦点重合，
椭圆的标准方程就变为圆的方程：
e=0，这时两个焦点重合，图形变为圆．
e=1,为线段。
[3]e与a,b的关系:
*
方程
图形
范围
对称性
顶点
离心率
x
A2
B2
F2
y
O
A1
B1
F1
y
O
A1
B1
x
A2
B2
F1
F2
两种标准方程的椭圆性质的比较
关于x轴、y轴、原点对称
A1(-a,0), A2(a,0)
B1(0,-b), B2(0,b)
A1(0,-a), A2(0,a)
B1(-b,0), B2(b,0)
小试身手：
2.说出椭圆 的范围,长轴
长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
练习：
3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁
根据：离心率e越大，椭圆越扁；
离心率e越小，椭圆越圆
解：
待定系数法
解：
x
y
.
F
H
O
M
求轨迹方程的步骤？
所以，点M 的轨迹是长轴长、短轴长分别为10、6的椭圆.
已知椭圆的几何性质，求其标准方程的方法步骤：
(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程的形式；
(2)确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数
a，b，c；
(3)写出标准方程．
【总结提升】
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
d>r
dd=r
>0
<0
=0
几何法：
代数法：
直线与椭圆有什么样的位置关系，该如何判断呢？
思考：
种类:
相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(两个交点)
能用几何法判断椭圆与直线的位置关系吗？
探究3 直线与椭圆的位置关系
问题3：直线与椭圆的位置关系如何判定？
代数方法，联立方程
转化思想方程思想
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程(当二次项系数不为0时)
(1)△>0 直线与椭圆相交 有两个公共点；
(2)△=0 直线与椭圆相切 有且只有一个
公共点；
(3)△<0 直线与椭圆相离 无公共点．
通法
【总结提升】
直线与椭圆的位置关系：
x
o
y
分析：作出直线l及椭圆（如图），
观察图形,可以发现,利用平行于
直线l且与椭圆只有一个交点的
直线，可以求得相应的最小距离.
解:由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭
圆不相交.设直线m平行于直线l,则直线m的方程可以
写成
①
②
令方程②的根的判别式△=0，得
③
解方程③，得
最大的距离是多少？
*
例4已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
10
8
6
80
分析：椭圆方程转化为标准方程为：
a=5 b=4 c=3
o
x
y
o
x
y
它的长轴长是： 。短轴长是： 。
焦距是 。 离心率等于： 。
焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。
外切矩形的面积等于： 。
<例题5>求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a=6, e= , 焦点在x轴上
(2) 离心率 e=0.8, 焦距为8
求椭圆的标准方程时, 应:
先定位(焦点), 再定量（a、b）
当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！
练习2：过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点 、 ；
（2）长轴长等于 ,离心率等于 ．
解:（1）由题意， ,又∵长轴在
轴上，所以，椭圆的标准方程为 ．
（2）由已知， ，
∴ ， ，∴ ，
所以椭圆的标准方程为 或 ．
课前练习1
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解：
例题6
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并画出它的图形.
解:
把方程化为标准方程
所以a=5 ,b=4
C=
所以,焦点坐标为(-3,0),(3,0)
顶点坐标为(-5,0)(5,0)(0,4)(0,-4)
2a=10,2b=8
注意:强调长轴=2a
短轴=2b
X
Y
O
例6 求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点(-3,0)、(0,-2);
(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6
解: (1)由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以P、Q是椭圆的顶点,
∴a=3,b=2
又因为长轴在x轴上,所以椭圆的标准方程为
(2)由以知,
2a=20,e=0.6
∴a=10,c=6
∴b=8
因为椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以所求椭圆的标准方程为:
或
你做对了吗
例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点 、 ；
（2）长轴长等于 ,离心率等于 ．
解:（1）由题意， ,又∵长轴在
轴上，所以，椭圆的标准方程为 ．
（2）由已知， ，
∴ ， ，∴ ，
所以椭圆的标准方程为 或 ．
例3 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
椭圆的标准方程为： ；
椭圆的标准方程为： ；
解：（1）当 为长轴端点时， ， ，
（2）当 为短轴端点时， , ，
综上所述，椭圆的标准方程是 或
已知椭圆 的离心率 ，求 的值
由 ，得：
解：当椭圆的焦点在 轴上时，
， ，得 ．
当椭圆的焦点在 轴上时，
， ，得 ．
由 ，得 ，即 ．
∴满足条件的 或 ．
思考：
【变式与拓展】
3．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 120°，则
此椭圆的离心率 e 为(
)
D
例5 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.
解：建立如图所示的直角坐标系，
设所求椭圆方程为
y
F2
F1
x
o
B
C
A
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
F
l
x
o
y
M
H
d
相离
相切
相交
方程组无解
方程组有一组解
方程组有两组解
8.交点问题
设椭圆的方程为：
直线的方程为：
如何求椭圆与直线的交点呢？
联立椭圆与直线的方程得：
<0
=0
>0
9.点与椭圆的位置关系
10.弦长问题
若直线 与椭圆 的
交点为 则|AB|叫做弦长。
弦长公式：