2021-2022学年人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
3.2.1双曲线及其标准方程
*
台灯
生活中的双曲线
双曲线型自然通风冷却塔
生活中的双曲线
生活感知
一、用心观察，小组合作
[1]取一条拉链，拉开，在两支上各选一不对称两点；
[2]如图把它固定在
板上的两点F1，F2；
[3] 笔尖套住拉链头拉动；
思考：笔尖运动的
轨迹是什么？
生活感知
观察AB两图探究双曲线的定义
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
一、用心观察，小组合作
右支
左支
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。
定点F1,F2叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
双曲线的定义
归纳：上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一支叫做双曲线的一支，其中右支满足│MF1│>│MF2│,左支满足│MF1│<│MF2│
通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c>0)； 常数记为2a(a>0).
问题5:定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即0<2a<2c）？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
问题4:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？
若去掉绝对值，则为双曲线的一支
①若2a=2c,则轨迹是什么？
②若2a>2c,则轨迹是什么？
③若2a=0,则轨迹是什么？
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
此时轨迹不存在
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
F1
F2
F1
F2
分3种情况来看：
二、双曲线标准方程的推导
① 建系
使 轴经过两焦点 ， 轴为线段 的垂直平分线.
O
② 设点
设 是双曲线上任一点，
焦距为 ，那么 焦点
③ 列式
将上述方程化为：
移项两边平方后整理得：
两边再平方后整理得：
由双曲线定义知：
即：
设
代入上式整理得：
两边同时除以 得：
④化简
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0).
其中c2=a2+b2.
类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
其中c2=a2+b2.
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).
三.双曲线两种标准方程
如果 的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 的系数是正的，则焦点在 轴上。
O
M
F2
F1
x
y
F
2
F
1
M
x
O
y
焦点在y轴上的双曲线的标准方程
想一想
焦点在y轴上的双曲线的图象是什么？标准方程怎样求？
找出图形中a,b,c所表示的几何意义
观察图形
F1
F2
x
O
y
c
a
F2
F1
定义
图形
方程
焦点
a.b.c的关系
焦点位置的判定
||MF1|—|MF2||=2a（2a＜|F1F2|）
F1(-c,0), F2(c,0)
F1(0,-c), F2(0,c)
c2=a2+b2
看x2,y2项系数的正负,哪项系数为正,焦点就在哪一条轴上
注:任何一条双曲线,只需选择适当的坐标系,其方程均可写成标准形式,当且仅当双曲线的焦点在坐标轴上,且两焦点的中点是原点时,其方程才具有标准形式
焦点位置确定：
椭圆看分母大小
双曲线看x2、y2
的系数正负
F2
F1
F2
F1
M
M
定 义
焦 点
a、b、c的关系
F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
椭圆
双曲线
F（0，±c）
F（0，±c）
口答：判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标.
(1)
(2)
(3)
(4)
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
因此，双曲线的标准方程为
求标准方程时,先定向,后定量.
例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
所以2c=10，2a=8。即a=3，c=5
那么b2=c2-a2=25-9=16
根据已知条件，|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=6，
图
变式训练
两条射线
轨迹不存在
1.若|PF1|-|PF2|=8呢？
2.若||PF1|-|PF2||=10呢？
3.若||PF1|-|PF2||=12呢？
例2、已知双曲线两个焦点的坐标为F1( - 5 , 0)、 F2(5 , 0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的
∵ 2a =6 2c=10
∴ a =3 c =5
∴ b2= 52- 32= 16
∴ 所求双曲线的标准方程为
标准方程为
例3．求与椭圆 共焦点且过点 的双曲线的方程.
解：椭圆 的焦点为
可以设双曲线的方程为
又∵过点
则
∴
综上得
所以
思考题：已知双曲线上有两点P1、P2 ,坐标分别为（3，-4 ）,
( ,5 ) ，求双曲线的标准方程。
1.分类法： 或 (a >0,b >0)
2.设 （m,n异号）
3.设 mx2+ny2=1 （m,n异号）
总结:和椭圆一样,求双曲线方程的基本方法是待定系数法,其基本步骤是:定类型,设方程,求系数.参数a、b是双曲线的定形条件,也是确定双曲线标准方程的两个独立条件.焦点F1、F2的位置是双曲线的定位条件,它决定着双曲线与坐标系的相对位置关系
方程Ax2+By2=c(c≠0)满足什么条件时表示双曲线 表示椭圆 还可以表示什么曲线
解：原方程化为：
A、焦点在x轴上的椭圆
C、焦点在y轴上的椭圆
B、焦点在y轴上的双曲线
D、焦点在x轴上的双曲线
∵ k>1
∴ k2-1> 0 1+k> 0
∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。
故 选（B）
例4：k > 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2=k2- 1所表示的曲线是( )
使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
例5已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
如图所示,建立直角坐标系
x
y
o
P
B
A
图
即 2a=680，a=340
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
例6.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A
和B，根据两圆外切的条件，
|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根
据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2
的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M
的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：
课堂练习
1、a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是
3、设双曲线 上的点P到(5,0)的距离是15,则P到
(-5,0)的距离是 .
7或23
4、如果方程 表示双曲线，则m的取值范围
是 __________
2、焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标 准方程是
m | m>－1或m< －2
5、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3)，动点P满足|PF1| - |PF2|= 10，则P点的轨迹是( )
A、双曲线 B、双曲线一支
C、直线 D、一条射线
6、若椭圆 与双曲线 的焦点相同,则 a
=___________________
3
D
7、说明下列方程各表示什么曲线。
方程表示的曲线是双曲线
方程表示的曲线是双曲线的右支
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点，指向x轴的负半轴和
正半轴的两条射线。
8.已知定点A、B且 =4,动点P满足 , 则 的最小值是( )
9.若线段AB是过双曲线 左焦点F1的一条弦,且
F2为右焦点,则⊿ABF2的周长是_______________
4
(3)应用
(1)定义:
| |MF1|-|MF2| | =2a（0<2a<|F1F2|）
由方程定焦点：椭 圆看大小
双曲线看符号