2021-2022学年人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质 课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
3.3.2抛物线的简单几何性质
温故知新
(一) 圆锥曲线的统一定义
平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,
当0(定点F不在定直线l上)
当e=1时，是抛物线 .
(二) 抛物线的标准方程
(1)开口向右
y2 = 2px (p>0)
(2)开口向左
y2 = -2px (p>0)
(3)开口向上
x2 = 2py (p>0)
(4)开口向下
x2 = -2py (p>0)
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
定点F叫做抛物线的焦点,
定直线l 叫做抛物线的准线.
一、抛物线的定义
即
︳
︳
︳
︳
·
·
F
M
l
N
温故知新
标准方程 图形 焦点 准线
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线方程对应关系如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？
第一，一次项的变量如为x,则x轴为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴x轴上.
一次项的变量如为y,则y轴为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴Y轴上.
第二，一次变量的系数正负决定了开口方向
练习1
（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程.
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2，
求它的焦点坐标和准线方程.
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），
求它的标准方程.
练习2 求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程.
．
A
O
y
x
解：当抛物线的焦点在y轴
的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p=
当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
得p=
故抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x .
练习3 M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若
点M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是
————————————
x0 + —
2
p
O
y
x
．
F
M
．
这就是抛物线的焦半径公式!
一、抛物线的范围 y2=2px
y取全体实数
x
y
x 0
抛物线的几何性质
二、抛物线的对称性 y2=2px
关于x轴对称
没有对称中心，因此，抛物线又叫做无心圆锥曲线. 而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线.
x
y
定义 ：抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点, 抛物线只有一个顶点.
x
y
三、抛物线的顶点 y2=2px
所有的抛物线的离心率都是 1.
x
y
四、抛物线的离心率 y2=2px
基本点：顶点、焦点
基本线：准线、对称轴
基本量：p（决定抛物线开口大小）.
x
y
五、抛物线的基本元素 y2=2px
x轴正半轴，向右
x轴负半轴，向左
y轴正半轴，向上
y轴负半轴，向下
六、抛物线开口方向的判断
求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
（2）顶点在原点，准线是x＝4
（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5
（4）顶点在原点，焦点在x轴上，
过点A（－2，4）
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有
对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、
一个焦点、一条准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P(x,y)
P越大开口越大
方程 图形 准线 焦点 对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程 焦点 准线 开口方向
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
（二）归纳：抛物线的几何性质
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
x
y
O
F
A
B
y2=2px
2p
过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
|AB|=2p
通径
5、
2p越大，抛物线张口越大.
P越大,开口越开阔
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
|PF|=x0+p/2
焦半径公式：
焦半径
6、
x
y
O
F
P
x0
p/2
焦半径及焦半径公式
抛物线上一点到焦点的距离
P(x0，y0)在y2=2px上，
P(x0，y0)在y2=-2px上,
P(x0，y0)在x2=2py上,
P(x0，y0)在x2=-2py上,
归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
(4)、抛物线的离心率e是确定的为１,
⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.
例1 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A,B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图．
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
设AB的中点为E，过A, E, B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D, H, C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
故｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜
（5）y1y2＝－P2，x1x2＝p2/4。
1、已知抛物线的顶点在原点，对称
轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
么抛物线通径长是 .
2、一个正三角形的三个顶点，都在抛
物线 上，其中一个顶点为坐标
原点，则这个三角形的面积为 。
课堂练习：
　　　因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），
解:
所以设方程为：
又因为点M在抛物线上：
所以：
因此所求抛物线标准方程为：
　例2：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），求它的标准方程.
坐标轴
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)
(x2=2my (m≠0)),可避免讨论
|AB|＝8
例3 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长.
O
x
y
B
A
F
法1：解出交点坐标；计算弦长(运算量一般较大);
法2：设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法3：焦半径公式。
x
y
O
F
A
B
B’
A’
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
y2 = 4x
解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1
x
y
O
F
A
B
B’
A’
例4.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
y2 = 4x
解法二:由题意可知,
焦点弦公式：
例5 已知抛物线的方程为y =4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线y =4x:只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
X
Y
O
·
P
例5 已知抛物线的方程为y =4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线y =4x:只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
练习:
1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线的标准方程_________.
2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为
的直线,则被抛物线截得的弦长为_________
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.
y2 = 8x
X=3
令y=0,得到焦点坐标
例6：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源
位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深
40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
x
y
O
(40,30)
解:
所在平面内建立直
角坐标系,使反射镜
的顶点与原点重合,
x轴垂直于灯口直径.
在探照灯的轴截面
设抛物线的标准方程为:y2=2px
由条件可得A (40,30),
代入方程得:
302=2p·40
解之: p=
故所求抛物线的标准方程为: y2= x,
焦点为( ,0)
例7.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
例6.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为( )
A. 8p2 B. 4p2 C. 2p2 D. p2
四、归纳总结
抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
抛物线的离心率是确定的，等于１；
抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.
1、范围：
2、对称性：
3、顶点：
4、离心率：
5、通径：