2021-2022学年人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.1 抛物线及其标准方程 课件(共50张PPT)

(共50张PPT)
3.3.1 抛物线及其标准方程
y
x
o
在二次函数中研究的抛物线， 有开口向上或向下两种情形。
抛物线是一种常见的曲线，例如喷泉中喷出的水珠。
你能举出生活中与抛物线有关的例子吗
生活中存在着各种形式的抛物线
射电望远镜天线阵
赵州桥
探照灯
投篮运动
在平面解析几何里，抛物线是怎样形成的？
二次函数的图象是抛物线，且研究过它的顶点坐标及对称轴等问题
定点F叫做抛物线的焦点,
定直线l叫做抛物线的准线
1.抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
l
F
K
M
H
圆锥曲线统一定义：
平面内与一个定点F的距离和一条定直线 的距离的比是常数e的点的轨迹.
·
M
F
l
0＜e ＜1
l
F
·
M
e＞1
(3) 当e＞1时，是双曲线;
(1)当0·
M
l
·
F
N
e=1
(2) 当e=1时，是抛物线
F
K
M
H
(1)
(2)
(3)
F
K
M
H
F
K
M
H
x
x
x
y
y
y
o
o
o
2.抛物线的标准方程：
(1)求曲线方程的基本步骤是什么？
(2)如何建立直角坐标系,使抛物线的方程简单呢？
l
F
K
M
H
回顾求曲线方程的一般步骤是：
1、建立直角坐标系，设动点为(x,y)
2、写出适合条件的x,y的关系式
3、列方程
4、化简
1.如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，垂足为K，线段KF的中垂线为y轴
x
y
o
·
·
F
M
l
N
K
设︱KF︱= p
则F（ ，0）， L： x =-
p
2
p
2
2.设动点M的坐标为（x，y）
由抛物线的定义可知，
4.化简得 y2 = 2px（p＞0）
抛物线标准方程的推导
( p> 0)
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程(焦点位于X轴的正半轴上，其准线交
于X轴的负半轴)
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
抛物线的标准方程
焦 点 到 准 线 的 距 离
x
y
o
·
·
F
M
l
N
K
设︱KF︱= p
则F（ ，0），L：x =-
p
2
p
2
设动点M的坐标为（x，y）
由抛物线的定义可知，
化简得 y2 = 2px（p＞0）
解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴
抛物线标准方程的推导
( p> 0)
p
把方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程
p 的几何意义是:
焦点到准线的距离
其中 焦点 F（ ，0），准线方程l：x = -
p
2
p
2
K
O
l
F
x
y
.
抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离
焦点坐标是
准线方程为:
想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？
﹒
y
x
o
方案(1)
﹒
y
x
o
方案(2)
﹒
y
x
o
方案(3)
﹒
y
x
o
方案(4)
y2=2px (p>0)
想一想
这种坐标系下的抛物线方程形式怎样
四种标准方程
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
(三)抛物线的标准方程
图 形 焦 点 准线方程 标准方程
y2= -2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2= -2py(p>0)
y2=2px(p>0)
图形 标准方程
抛物线的四种标准方程对比
2.如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？
①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.
②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.
1.抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点
左边都是平方项，
右边都是一次项.
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
4.四种抛物线的标准方程对比
例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 20x （2）y=2x2
（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0
焦点坐标 准线方程
（1)
（2)
（3)
（4)
（5，0）
x= -5
（0，—）
1
8
y= - —
1
8
8
x= —
5
（- —，0）
5
8
（0，-2）
y=2
练习：1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
（1）y 2 = 20 x
（2） x 2 = y
1
2
（4）
（3） 2 y 2 +5x=0
焦点F ( 5 , 0 )
准线：x =－5
1
8
焦点F ( 0 , )
准线：y =－
1
8
①求抛物线的焦点时一定要先把抛物线化为标准形式；
本题小结:
②先定位，后定量。
焦点
准线
焦点F（0，1） 准线：y=-1
2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（3）焦点到准线的距离是2.
（1）焦点是 ；
（2）准线方程是 ；
或
小结：已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程.
先定位，后定量
3、设抛物线 上一点P到y轴的距离是4，
则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
B
例2：求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程.
．
A
O
y
x
解：1）设抛物线的标准方程为
x2 =2py(p>0)，把A（-3，2）代入，
得p=
2）设抛物线的标准方程为
y2 = -2px(p>0)，把A（-3，2）代入，
得p=
∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。
例题讲解
解：二次函数 y = ax2 化为：x2= y ，表示抛物线
1
a
其中2p=
1
a
4a
1
焦点坐标是（0 ， ），准线方程是： y=
4a
1
②当a<0时, ,抛物线的开口向下
p
2
=
1
4a
焦点坐标是（0 ， ），准线方程是： y=
4a
1
1
4a
①当a>0时, ,抛物线的开口向上
p
2
=
1
4a
思考：试讨论抛物线y = ax2 的开口方向、焦点坐标和准线方程。
变式练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程 是x = ；
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =12x
y2 =x
y2 =4x、y2 = -4x、
x2 =4y 、x2 = -4y
(4) 过点A（-3，2）
例2.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
x
y
o
F(4,0)
M
x+5=0
解:由已知条件可知,点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离,根据抛物线的定义,点M的轨迹是以点F(4,0)为焦点的抛物线.
∵p/2=4,∴p=8.
又因为焦点在轴的正半轴,所以点M的轨迹方程为 y2=16x.
1.理解抛物线的定义,四种标准方程类型.
2.抛物线四种标准方程形式与图象、焦点坐标、准线方程的相应关系
小结
思考：二次函数 图象的焦点坐标
及准线方程？
解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点 ，由抛物线定义得：
化简得：
M(x,y)
x
y
O
F
L
解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程为
设动点 ，由抛物线定义得
化简得：
M(x,y)
x
y
F(O)
L
准线方程
焦点坐标
标准方程
焦点位置
图
形
三. 四种抛物线及其它们的标准方程
x轴的
正半轴上
x轴的
负半轴上
y轴的
正半轴上
y轴的
负半轴上
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
F(-
-
-
-
例2.求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
．
A
O
y
x
解：当抛物线的焦点在y轴
的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p=
当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
得p=
∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。
题型一：利用抛物线的定义解题
例1：已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出此时P点的坐标
题型一：利用抛物线的定义解题
例1.（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程
题型二：求抛物线方程的方法：-----待定系数法
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求抛物线的标准方程
x
y
o
l
F
（0,－2）
解:(2)因为焦点在y轴的负半轴上，并且
∴所求抛物线的标准方程是 x2 =－8y .
= 2,∴p = 4 ,
F
x
y
o
l
X = 1
解：（3）∵准线方程是 x = 1，
（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程
y 2 =－4 x
题型二：求抛物线方程的方法：-----待定系数法
且焦点在 x 轴的负半轴上，
∴所求抛物线的标准方程是 y2 =－4x .
∴ p =2 ，
x
y
o
(3,2)
解：（4）∵点A(3，2) 在第一象限，
y 2 = x 或 x 2 = y
4
3
9
2
（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程
∴抛物线的开口方向只能是向右或向上，
设抛物线的标准方程是
y2 = 2px（p>0），
或 x2 = 2py（p>0），
将（3，2）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为
题型二：求抛物线方程的方法：-----待定系数法
例3点M到点F(4，0)的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小 1，求点M的轨迹方程。
|MF|+1=|x+5|
l
y
.
.
o
x
M
F
解（直接法）：
设 M(x，y)，则由已知，得
另解(定义法)：
由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
由抛物线定义知：
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线.
题型二：求抛物线方程的方法：-----轨迹法，定义法
练习：若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
(A)y2＝8x (B)y2＝－8x (C)y2＝4x (D)y2＝－4x
解:设动圆圆心为M(x，y),半径为R,
圆C:圆心为C(2,0),半径r＝1.
∵圆M与圆C外切，∴|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
∴圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离
∴|MC|＝d＋1.
由抛物线的定义可知，
点M的轨迹是以C(2,0)为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，
且p/2＝2，∴p＝4，
故其方程为y2＝8x.
A
练习：
点拨：求抛物线的标准方程关键是知道标准方程的类型和ｐ的值
M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，
若点M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离
是——————————.
X0 + —
2
p
O
y
x
．
F
M
．
思考题 :
抛物线 上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.
应用提高
1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上一点M(-3，m)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.
解：抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，过M(-3,m),
抛物线方程可设为：y2=-2px(p>0)
∴抛物线方程为：y2=-8x，
准线方程为：x=2
2、求顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线且截直线2x-y+1=0所得的弦长为 的抛物线的方程.
解：设所求的抛物线方程为y2=mx
把y=2x+1代入y2=mx化简得：
4x2+(4-m)x+1=0
∴所求的抛物线方程为y2=12x或y2=-4x
4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的
开口方向．
1.抛物线的定义;
2.抛物线的标准方程有四种不同的形式,
每一对焦点和准线对应一种形式;
3.p的几何意义是:
焦点到准线的距离;
课堂小结