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人教版 九年级上册
24.2.2 直线和圆的位置关系
第三课时
新知导入
学习目标：
1. 掌握切线长的定义及切线长定理；
2. 运用切线长定理进行计算与证明；
3. 掌握三角形的内切圆和内心.
新知导入
复习：切线的性质定理和判定定理？
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的性质定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
切线的判定定理：
问题：过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
P
O
B
A
O.
P
A
B
新知讲解
两条
P
A
O
新知讲解
切线长：
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
P
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
思考：切线长与切线的区别？
新知讲解
探究：已知PA、PB为⊙O的两条切线，切点分别为A、B，沿着直线OP把圆对折，PA与PB，∠OPA与∠OPB有什么关系
PA=PB，∠OPA=∠OPB
O
P
A
B
新知讲解
你能证明此结论吗？
证明：连接OA、OB
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB
∵PA、PB为⊙O两条切线
∴OA⊥PA，OB⊥PB
O
P
A
B
新知讲解
∵OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
探究：已知PA、PB为⊙O两条切线，切点分别为A、B，沿着直线OP把圆对折，还有其他结论成立吗
OP垂直平分AB
O
P
A
B
新知讲解
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言：
为证明线段相等、角相等提供新的方法.
O
P
A
B
新知讲解
思考：如何在三角形内部画一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
新知讲解
分析：(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件？
(2)在△ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢？
与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
B
A
C
I
☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
新知讲解
例2 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.
合作探究
解：设AF=x，则AE=x，
CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF =AB -AF=9-x.
由BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
解得x=4.
∴AF=4，BD=5，CE=9．
合作探究
新知讲解
小结：
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
B
P
O
A
1.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=6.
（1）若AP=8，则OP= ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP= .
10
12
课堂练习
128°
课堂练习
2. 如图，在△ABC中,∠B=43 ,∠C=61 ,点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为 .
A
B
C
I
课堂练习
3. 已知，如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，则△PEF的周长为 .
24cm
E
A
Q
P
F
B
O
4.如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D. 求证：DE∥OC.
课堂练习
证明：连接OD
在Rt△OCD和Rt△OCB中，
∵ AC为⊙O的切线 ，
∴ Rt△ODC≌Rt△OBC
∴OD⊥AC
∴∠ODC=∠B=90°
课堂练习
OD＝OB ，OC＝OC
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠BOC=∠OED，
课堂练习
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴DE∥OC．
∴∠DOC=∠BOC.
课堂练习
5. 如图，某镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象. 已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米. 请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
A
C
B
古镇区
镇商业区
镇工业区
.M
课堂练习
由题意知MD=ME=MF
在Rt△ABC中，根据勾股定理的
证明：过点M作MD⊥AC，ME⊥BC，MF⊥AB
∴MD=ME=MF=10（米）
∵AC⊥CB
∴∠C＝90°
A
C
B
古镇区
镇商业区
镇工业区
.M
E
D
F
直线和圆的位置关系
切线长定理
内切圆
内心
课堂总结
定义
切线长定义
切线长定理
板书设计
24.2.2 直线和圆的位置关系（3）
切线长定理： 内切圆：
例2 练习
作业布置
1.必做题：教材P100 练习
2.选做题：教材P101 第 6 题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.2 直线和圆的位置关系（3） 教学设计
课题 24.2.2 直线和圆的位置关系（第三课时） 单元 第24章 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1. 掌握切线长的定义及切线长定理；
2. 运用切线长定理进行计算与证明；3. 掌握三角形的内切圆和内心.
重点 运用切线长定理进行计算与证明。
难点 掌握三角形的内切圆和内心。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习：切线的性质定理和判定定理？切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 复习回顾，学习新知. 为学习切线长定理奠定基础.
讲授新课 环节一：探究切线长定理问题：过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？两条切线长： 切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．思考：切线长与切线的区别？①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．探究：已知PA、PB为⊙O两条切线，切点分别为A、B，沿着直线OP把圆对折，PA与PB，∠OPA与∠OPB有什么关系 PA=PB，∠OPA=∠OPB你能证明此结论吗？证明：连接OA、OB∵PA、PB为⊙O两条切线∴OA⊥PA，OB⊥PB∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB，∠OPA=∠OPB探究：已知PA、PB为⊙O两条切线，切点分别为A、B，沿着直线OP把圆对折，还有其他结论成立吗 OP垂直平分AB切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.为证明线段相等、角相等提供新的方法.环节三：探究内切圆思考：如何在三角形内部画一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？分析：(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件？(2)在△ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢？与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.环节三：合作探究例2 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF =AB -AF=9-x.由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，解得x=4.∴AF=4，BD=5，CE=9．小结：运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.环节四：课堂练习1.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=6.（1）若AP=8，则OP=10；（2）若∠BPA=60 °,则OP=12. 如图，△ABC中,∠B=43 ,∠C=61 ,点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为128 .已知，如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，则△PEF的周长为24cm.4.如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D. 求证：DE∥OC.证明：连接OD∵ AC为⊙O的切线 ，∴OD⊥AC ∴∠ODC=∠B=90°在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB ，OC＝OC ∴ Rt△ODC≌Rt△OBC∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．5.如图，某镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象. 已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米. 请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？证明：过点M作MD⊥AC，ME⊥BC，MF⊥AB由题意知MD=ME=MF∵AC⊥CB ∴∠C＝90° 在Rt△ABC中，根据勾股定理的∴MD=ME=MF=10（米） 通过探究，发现切线长定理，并进行总结.通过探究，发现三角形的内切圆定义及内心定义.运用切线长定理和内心解决问题学生练习，师生互评订正. 鼓励学生通过自学探究得出结论.理解并掌握内心的定义.熟练掌握知识的运用学以致用，培养学生运用知识解决问题的能力.
课堂小结 师生共同梳理本节课的知识点. 强化本节课的知识点.
板书 24.2.2 直线和圆的位置关系切线长定理： 内切圆： 例2 练习 教师展示本节课的内容. 展示本节课的内容.
O
P
A
B
O
P
A
B
B
A
C
I
B
P
O
A
A
B
C
I
E
A
Q
P
F
B
O
直线和圆的位置关系
切线长定义
切线长定理
切线长定理
定义
内心
内切圆
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