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24.4 弧长和扇形面积
【提升训练】
一、单选题
1．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧和的夹角为120°，长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为（ ）21cnjy.com
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A． B． C． D．
2．如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止，过点作射线的垂线，垂足为，点运动的路径长为（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B．
C． D．
4．如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
5．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm ( http: / / www.21cnjy.com )的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．10cm B．cm C．cm D．cm
6．如图，是的直径，为半圆的中点，为弧上一动点，连接并延长，作于点，若点从点运动到点，则点运动的路径长为（ ）【版权所有：21教育】
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A． B． C． D．4
7．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点按顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
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A． B． C． D．
8．如图，内切于边长为2的正方形，则图中阴影部分的面积是（ ）
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A． B． C． D．
9．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
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A． B． C． D．
10．如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（ ）
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A． B． C． D．
11．如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，以OB为边作平行四边形OBCE，若CE与半圆O相切于点C，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
12．如图，在扇形中，，半径交弦于点，且．若，则阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
13．在中，已知，，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为（ ）
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A． B． C． D．
14．如图，边长为的等边三角形内接于，过点作的切线交的延长线于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
15．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（ ）
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A．60° B．90° C．120° D．135°
16．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
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A． B． C． D．
17．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）
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A． B． C． D．
18．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，则此圆锥高的长度是（ ）
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A．2 B． C． D．
19．如图，中，，，以为直径的交于点，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
20．如图，是古希腊数学家希波克拉底所研究的月牙问题，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为的三条边，若，，则阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
21．如图，在半径1的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（ ）
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A． B． C． D．
22．如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90 的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为 （ ）
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A．π B． C．2π D．
23．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
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A． B． C． D．
24．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
25．如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（ ）
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A． B． C． D．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以点A为圆心、AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心、BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．π一2 B．2π﹣4 C．4π﹣8 D．2π﹣2
27．如图，等边△ABC边长为3，将△ABC绕AC上的三等分点O逆时针旋转60°得到△，其中点B的运动轨迹为，图中阴影部分面积为（ ）
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A． B． C． D．
28．如图，在矩形中，为对角线，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
29．如图，在中，，以的中点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上，设，当由小到大变化时，图中两个阴影部分的周长和（ ）
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A．由小变大 B．由大变小 C．不变 D．先由小变大，后由大变小
30．如图，在正方形纸片中，点M，N在上，将纸片沿折叠，折叠后使点A和点D重合于点I，的外接圆分别交于点P，Q．若，则的长度为（ ）
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A． B． C． D．
二、填空题
31．如图，已知在扇形中，，半径．P为弧上的动点，过点P作于点M，于点N，点M，N分别在半径上，连接．点D是的外心，则点D运动的路径长为________．
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32．如图，已知半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，使点B落在点处，与半圆O交于点C，若弧BC的长为，则图中阴影部分的面积是_________．
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33．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝2：3，若⊙O半径为5，则的长度是______．
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34．如图，在正方形ABCD中，扇形BAD ( http: / / www.21cnjy.com )的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为___．（结果保留π）
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35．如图，从一块边长为，的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与，分别相切于点，，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是__________．
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三、解答题
36．如图，在中，，点在边上，为的半径，是的切线，切点为点，，．
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（1）求证：是的切线；
（2）求阴影部分的面积．
37．如图，已知是底角为30°的等腰三角形，B为AD上一点，以AB为直径的恰好过点C．
（1）判断直线CD与的位置关系，并说明理由；
（2）M为下半圆上的一个动点，若在某一时刻满足，已知半径等于2，求弧AM的长．
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38．如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
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（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
39．如图，在平行四边形中，点A、B、D三个点在⊙上，与⊙交于点F，连结并延长交边于点E，点E恰好是的中点．21·cn·jy·com
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（1）求证：是⊙的切线．
（2）若，
①求的长．
②求阴影部分的面积．
40．如图，在中，，与，分别相切于点E，F，平分，连接．
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（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径是1，求图中阴影部分的面积．
41．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．www.21-cn-jy.com
（1）求这种加工材料的顶角的大小
（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
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42．如图，是的直径，为上一点（不与点，重合）连接，，过点作，垂足为点．将沿翻折，点落在点处得，交于点．
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（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分面积．
43．将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．
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（1）求线段的长度；
（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程．
44．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交于点，连接．www-2-1-cnjy-com
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（1）求证：为的切线；
（2）若，求弧的长．
45．如图，是的直径，是的切线，切点为，点为直径右侧上一点，连接并延长，交直线于点，连接．
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（1）尺规作图：作出的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①求证：．
②若半径为2，当的长为______时，四边形是正方形．
46．如图，在平面直角坐标系中，以线段为直径作，与轴相交于两点，在第一象限内的圆上存在一点，使得为等边三角形．21教育网
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（1）求过点的切线的函数关系式；
（2）求由线段、劣弧围成的图形面积．
47．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为， ，．21*cnjy*com
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（1）将向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度，画出平移后得到的，并直接写出点 的坐标；
（2）将绕着原点逆时针旋转90°后得到．
①画出旋转后的；
②点旋转到点所经过的路径长为______个单位长度．
48．如图，在⊙O中，直径 ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝24，点C、D在⊙O上，AB与CD交于点E，CE＝ED，OH⊥BD，垂足为点H，DF交BA延长线于点F，∠CDF＝2∠B．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若FD＝BD，求图中阴影部分的面积．
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49．如图，是⊙O的直径，是⊙O上一点，平分，过点作交延长线于点．
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（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
50．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是A( 1，4)，B( 3，2)，C( 2，1)．
（1）请画出关于原点的中心对称图形；
（2）请画出将绕点逆时针旋转90°后得到的；
（3）在（2）的条件下，求点旋转到点所经过的路线长（结果保留）．
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51．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2－AF2＝4CE EA；
（3）若＝，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．
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52．已知：点D是△ABC的边AC上一点，tanC＝1，cos∠ADB＝，⊙O经过B，C，D三点．
（1）若BD＝4，求阴影部分图形的面积；
（2）若AD＝2CD＝4，求证：AB为⊙O的切线．
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53．如图AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
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54．如图，为的直径，，点A为的中点，，连结，．
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（1）求证：．
（2）求图中弓形阴影部分的面积之和．
55．如图，是半圆的直径，弦，过点作圆的切线，与延长线相交于点，连接、，．
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（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求围成阴影部分图形的周长．
56．如图，是半圆的直径，是半圆上不同于、两点的任意一点，是半圆上一动点，与相交于点，是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点．21教育名师原创作品
（1）若，求证：；
（2）若，，．求；（答案保留）
（3）若，为的中点，点从移动到时，请直接写出点移动的长度．（答案保留）
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57．如图，已知是的直径，点D，C是圆上的两个点，且，直线于点E．
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（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
58．在中，．将边绕点C顺时针旋转到，记，连结，取的中点F，射线，交于点A．
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（1）填表：如图1，当时，根据下表中的值，分别计算的度数．
（2）猜想与的数量关系，并说明理由．
（3）应用：如图2，当时，请求出从逐渐增加到的过程中，点A所经过的路径长．
59．如图①，小慧同学把一个等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．21·世纪*教育网
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋 ( http: / / www.21cnjy.com )转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．2-1-c-n-j-y
小慧进行类比研究：如图②，她把边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
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60．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；
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（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
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（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．
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24.4 弧长和扇形面积
【提升训练】
一、单选题
1．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧和的夹角为120°，长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为（ ）【版权所有：21教育】
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
贴纸部分的面积实际是扇形OAB和扇形OCD的面积差，可根据扇形的面积公式分别表示出两部分的面积，进而可求出贴纸部分的面积．
【详解】
解：S=S扇形OAB-S扇形OCD==25π（cm2），
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
2．如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止，过点作射线的垂线，垂足为，点运动的路径长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
取中点，连接、，根据直角三角形的性质可得，则可确定点Q的运动轨迹，再利用弧长的计算公式计算即可．
【详解】
解：取中点，连接、，
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∵和中，，
∴在以为圆心，为直径的圆上，运动路径为，，
∴，
∴点运动路径长为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了弧长的计算问题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，并确定点运动的路径．
3．如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用勾股定理可求出AC的长，根据直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形两锐角互余的性质可得∠A+∠B=90°，根据S阴影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD即可得答案．
【详解】
∵，
∴∠A+∠B=90°，
∵，，
∴=1，
∴S阴影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD
=BC·AC-
=×1×2-
=1-，
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理及扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
4．如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．
【详解】
解：过B点作AC垂线，垂直为G，
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根据正六边形性质可知，，
∴，
∴S扇形=，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．
5．如图，王虎使一长为4cm，宽为3c ( http: / / www.21cnjy.com )m的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
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A．10cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【分析】
根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以 ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，由于∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝5cm，CA1＝3cm，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1，A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，
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∵∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝cm，CA1＝3cm，
∴点A翻滚到A2位置时共走过的路径长＝（cm）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了弧长公式以及旋转的性质，准确得到点A的运动轨迹是两段弧，是解题的关键．
6．如图，是的直径，为半圆的中点，为弧上一动点，连接并延长，作于点，若点从点运动到点，则点运动的路径长为（ ）
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A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】
首先根据点的轨迹，来确定点的轨迹，确定轨迹为圆后，再利用弧长公式进行求解．
【详解】
解：由题意知点的轨迹是圆，则点的轨迹是以为直径的圆上，以为直径作圆，如下图：
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要求点运动的路径长，结合临界点法，当点与重合时，点到点处，当点与重合时，点到点处，
运动的路径长为的长，
由已知：点为半圆的中点，
，
点转过的圆心角为，
点转过的圆心角也为，
即对应的圆心角为，
根据弧长公式：
，
点运动的路径长为：，
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点的轨迹问题，解题的关键是：根据点的轨迹，来确定点的轨迹，确定为圆后，利用弧长公式求解时，要去找到所求弧长所对应的圆心角即可．
7．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点按顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，AB=AC=2，再根据旋转的性质得∠BAB′=∠CAC′=45°，则点B′、C、A共线，利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′-S扇形CAC′进行计算即可．
【详解】
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，AB=AC=2，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=45°，
∴点B′、C、A共线，
∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积
=S扇形BAB′+S△AB′C′-S扇形CAC′-S△ABC
=S扇形BAB′-S扇形CAC′
=π．
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
8．如图，内切于边长为2的正方形，则图中阴影部分的面积是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
正方形的面积减去圆的面积除以4即可求得答案．
【详解】
解：∵正方形的边长为2，
∴圆的半径为1，
∴阴影部分的面积：=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算，解题的关键是了解阴影部分的面积的计算方法．
9．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接OO′，BO′，根据旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接OO′，BO′，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′中⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）
=
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BOC=2∠BAC，证明△AOB≌△AOC，得到∠BAO=∠CAO=30°，得到∠BOD，再利用弧长公式计算．21·cn·jy·com
【详解】
解：连接OB，OC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO=30°，
∴∠BOD=60°，
∴劣弧BD的长为=π，
故选B．
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【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角∠BOD的度数．
11．如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，以OB为边作平行四边形OBCE，若CE与半圆O相切于点C，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题目已知条件OB是⊙O的切线，利用切线的性质，连接OC，构造,又因为EC=CO,可得是等腰直角三角形，用等腰面积减去45°扇形面积即可求出答案．
【详解】
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解：设OE与⊙O的交点为F；
如图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴ ，
∵四边形OBCE为平行四边形，
∴,
∴∠COB=∠ECO=90°，∠EOC=∠OCB，
∵CO=OB,
∴∠OCB=45°，
∴∠EOC=45°，
∵ ,
∵S阴影=S△ECO-S扇形COF
= ,
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线的性质，扇形面积计算，等腰直角三角形的性质，利用切线的性质作辅助线，证明△ECO是等腰直角三角形是解题的关键．
12．如图，在扇形中，，半径交弦于点，且．若，则阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过O作OE⊥AB于E，根据等腰三角形三 ( http: / / www.21cnjy.com )线合一的性质求得∠AOE=60°，解直角三角形求得AE和OE，根据勾股定理求出DE，再求出阴影部分的面积即可．21*cnjy*com
【详解】
解：过作于，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
阴影部分的面积
，
故选：B．
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【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，扇形面积的计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n°，半径是r，那么这个扇形的面积=．
13．在中，已知，，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出 ，在根据求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∵ ，
∴AC=2BC=2，
∴ ，
∵ 绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴
∴
∴ ．
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故选：B
【点睛】
本题考查了不规则图形面积的求法，熟记扇形面积公式，根据求解是解题关键．
14．如图，边长为的等边三角形内接于，过点作的切线交的延长线于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设的半径为R，作，根据求解即可．
【详解】
【点睛】
此题主要考查了与圆有关的阴影部分的面积，正确作出辅助线是解答此题的关键．
15．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（ ）
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A．60° B．90° C．120° D．135°
【答案】C
【分析】
根据圆锥的底面半径得到圆锥的 ( http: / / www.21cnjy.com )底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为2，
∴圆锥的底面周长为4π，
∵圆锥的高是8，
∴圆锥的母线长为，
设扇形的圆心角为n°，
∴，
解得n=120．
答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，圆锥 ( http: / / www.21cnjy.com )的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
16．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr，解方程求出r，然后求得直径即可．
【详解】
解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r
根据题意得2 πr，
解得r＝1，
侧面积= ，
底面积=
所以圆锥的表面积=，
故选：B．
【点睛】
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
17．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意得，设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：如图，
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根据旋转的性质，，
∴，
则
，
∵点P在直线上，点Q在直线上，且PQ∥轴，
设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，
∴OP2=，
OQ2=，
，
设，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．21cnjy.com
18．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，则此圆锥高的长度是（ ）
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A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】
设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆的周长，进而求得OA，最后用勾股定理求出CA即可．
【详解】
解：设圆锥底面圆的半径为r
∵AC=6，∠ACB=120°
∴，即：r=OA=2
在R△AOC中，OA=2，AC=6，
由勾股定理得，．
故填：．
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式、勾股定理等知识点，根据弧长公式和圆的周长公式求得OA是解答本题的关键．
19．如图，中，，，以为直径的交于点，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接OE，由平行四边形的性质得出∠D＝∠B ( http: / / www.21cnjy.com )＝70°，AD＝AB＝2，得出OA＝OD＝1，由圆周角与圆心角定理求出∠AOE＝140°，再由弧长公式即可得出答案．
【详解】
连接OE，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形是平行四边形，，
∴∠OED＝∠D＝70°，
∴∠AOE＝2∠D＝140°，
∴的长= .
故选:C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质、弧长计算，根据平行四边形得到需要的边长及角度即可代入公式计算弧长．
20．如图，是古希腊数学家希波克拉底所研究的月牙问题，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为的三条边，若，，则阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=12，∠ACB=30°，
∴AB=BC=6，AC=，
S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为AB的半圆的面积+S△ABC-直径为BC的半圆的面积=π()2+π()2+AC×AB-π()2
=π()2+π×62-π×122+××6
=π+π-π+
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
21．如图，在半径1的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由勾股定理求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求值，即可．
【详解】
解：连接BC，
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∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝，
∴S扇形ABC=
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论、扇形的面积计算方法．关键是利用所学的勾股定理以及扇形面积公式求值．
22．如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90 的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为 （ ）
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A．π B． C．2π D．
【答案】A
【分析】
如图，根据∠BAC=90°，可确定BC是⊙O的直径，故OA=OB=OC=，计算AB=AC=2，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】
如图，∵∠BAC=90°，AB=AC，
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∴BC是⊙O的直径，∠ABC=∠ACB =45°，
∴OA=OB=OC=，AO⊥BC，
∴AB=AC==2，
∴扇形面积为：=π．
故选A．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，90°的圆周角所对的弦 ( http: / / www.21cnjy.com )是直径，等腰直角三角形的判定，灵活运用90°的圆周角所对的弦是直径，计算出扇形的半径是解题的关键．
23．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝1 ( http: / / www.21cnjy.com )20°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据阴影部分的面积等于即可得出结果；
【详解】
连接AD、DO，由折叠可知，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了翻转变换和扇形的面积计算，准确计算是解题的关键．
24．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接，并作于点D．由圆周角定理可求出，从而求出，且．再根据含角的直角三角形的性质，可求出，从而求出．由题意易证是等边三角形，即，最后由弧长公式即可求出的长，最后根据圆锥的性质即可求出此扇形围成的圆锥底面圆的半径的大小．
【详解】
如图，连接，并作于点D．
∵，
∴，
∵OB=OC，
∴，，
∴．
∴．
∵AB=AC，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴设此扇形围成的圆锥底面圆的半径为r，
∴，
∴．
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故选D．
【点睛】
本题考查圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，弧长公式以及圆锥的底面半径．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
25．如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接AC、OB、OD、CD，作于点F，作于点E，由垂径定理可知于点D，由勾股定理可知OD的值，再利用折叠性质判断AC=DC，利用等腰三角形性质得出，再证明四边形ODFE为正方形，得到△CFB为等腰三角形，计算出弧AC所对圆周角度数，进而得弧AC所对圆周角度数，再代入弧长公式可得弧长．
【详解】
解：连接AC、OB、OD、CD，作于点F，作于点E，
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由垂径定理可知于点D，
又
CA、CD所对的圆周角为、，且
，△CAD为等腰三角形
又四边形ODFE为矩形且OD=DF=
四边形ODFE为正方形
故△CFB为等腰三角形，
所对的圆心角为
故选A．
【点睛】
本题考查了弧长的计算、圆的折叠的性质、圆周角定理和垂径定理，熟练掌握性质定理和弧长公式是解题的关键．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以点A为圆心、AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心、BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为（ ）
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A．π一2 B．2π﹣4 C．4π﹣8 D．2π﹣2
【答案】C
【分析】
空白处的面积等于△ABC的面积减去扇形BCD的面积的2倍，阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴S△ABC=×4×4=8，
S扇形BCD，
S空白=2×(8-2π)=16-4π，
S阴影=S△ABC-S空白=8-16+4π=4π-8，
故选：C．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，等腰直角三角形的性质，明确空白处的面积等于△ABC的面积减去扇形BCD的面积的2倍是解题的关键．
27．如图，等边△ABC边长为3，将△ABC绕AC上的三等分点O逆时针旋转60°得到△，其中点B的运动轨迹为，图中阴影部分面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别连接OB、，过O作OD⊥BC于点D，设与BC交于点E，则有关系式：，利用等边三角形的性质可分别求得的面积，及四边形的面积，易得，故有，利用直角三角形的性质及勾股定理可求得OB的长，进而可求得扇形的面积，最后可求得结果．
【详解】
如图，分别连接OB、，过O作OD⊥BC于点D，设与BC交于点E
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由题意得：为等边三角形，且边长为3，易得其面积为；为等边三角形，且边长为1，易得其面积为；为等边三角形，且边长为2，易得其面积为，所以四边形的面积为
由旋转的性质得：为等边三角形，，
∴
∴
∴
∴
在Rt△OCD中，∠COD=90°-∠ACB=30°
∴
∴，
在Rt△ODB中，由勾股定理得
∴
∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的性质，三角形全等的判定与性质，求图形的面积等知识，难点在于将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差来解决，本题的解答有一定的难度．
28．如图，在矩形中，为对角线，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图，连接，过作于点,此时根据直角三角形的性质求得，，再根据等边三角形判定得出为等边三角形，进而将问题转化到新的三角形之中，利用勾股定理求得，最终求阴影部分的面积转化为求解即可．
【详解】
如下图，连接，过作于点,
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在矩形中，
∵，， ，
∴，,
又∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考察了直角三角形的性质、勾股 ( http: / / www.21cnjy.com )定理的应用、等边三角形的判定、割补法求面积、扇形面积计算等知识点，综合性较强，属于选择题中的压轴题，灵活运用相关定理和性质是解题的关键．
29．如图，在中，，以的中点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上，设，当由小到大变化时，图中两个阴影部分的周长和（ ）
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A．由小变大 B．由大变小 C．不变 D．先由小变大，后由大变小
【答案】D
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得出，，，，根据全等三角形的判定推出，再用弧长公式，即可得出结论．
【详解】
解：如图．
，，为的中点，
，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
图中两个阴影部分的周长和的长
，
与均为定值，而，，
当由小到达大变化时，的长度由小变大，当垂直时达到最大，然后长度变小，所以图中两个阴影的周长和是由小变大再变小，21世纪教育网版权所有
故选：D．
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【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，弧长公式等知识点，注意：①一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，②一条弧所对的圆心角是，半径为，那么这条弧的长度是．
30．如图，在正方形纸片中，点M，N在上，将纸片沿折叠，折叠后使点A和点D重合于点I，的外接圆分别交于点P，Q．若，则的长度为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先证明是等边三角形，得到，再根据折叠的性质推出，根据内心的性质得到，，过点作，则OH平分BC，利用勾股定理求出OB，再利用弧长公式计算即可．21·世纪*教育网
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由折叠知：，
，
∴，，
∴，
∵圆是的外接圆，
∴点是的内心，
∴OB平分，OC平分，
∴，，
过点作，则OH平分BC．
则：，
在中：，
由勾股定理得：，即，
解得：，（舍），
∴．
故选B．
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【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，三角形外接圆，内心的有关性质，弧长公式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用相关定理，掌握求弧长所需的条件．
二、填空题
31．如图，已知在扇形中，，半径．P为弧上的动点，过点P作于点M，于点N，点M，N分别在半径上，连接．点D是的外心，则点D运动的路径长为________．
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【答案】
【分析】
依题意,点D运动的路径为绕点旋转的一段弧长，根据弧长公式计算即可．
【详解】
如图：连接
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点D是的外心
四点共圆
为圆的直径
,
设点D运动的路径长为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，弧长公式，三角形的外心的性质，理解题意熟悉公式是解题的关键．
32．如图，已知半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，使点B落在点处，与半圆O交于点C，若弧BC的长为，则图中阴影部分的面积是_________．【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】
【分析】
连接OB，根据BC的弧长可求得∠BOC=90°，进而可得∠BAC=45°，利用求解即可．
【详解】
解：连接OC，设∠BOC=n°，
∵弧BC的长为，半圆O的直径，
∴，解得：n=90，即∠BOC=90°，
∴∠BAC=45°，
∴根据旋转的性质得
= = =，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查弧长公式、圆周角定理、扇形面积公式，熟记公式，掌握圆周角定理是解答的关键．
33．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝2：3，若⊙O半径为5，则的长度是______．
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【答案】4π
【分析】
连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可．
【详解】
解：连接OB、OD，
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∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A：∠C=2：3，
∴∠A+∠A=180°，
∴∠A=72°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=144°，
∴的长：=4π，
故答案为4π．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键．
34．如图，在正方形ABCD中，扇形B ( http: / / www.21cnjy.com )AD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为___．（结果保留π）
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【答案】
【分析】
根据圆周角定理得∠AOB=90°，再根据正方形的性质可证得AO=BO，进而可有求解．
【详解】
解：∵AB为直径，
∴∠AOB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，∠BAD=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴AO=BO，
∴S1=S2，
∴==4π﹣8，
故答案为：4π﹣8．
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【点睛】
本题考查了圆周角定理、正方形的性质、三角形的内角和定理、等角对等边、扇形的面积、三角形的面积，熟练掌握相关知识的性质和运用是解答的关键．
35．如图，从一块边长为，的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与，分别相切于点，，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是__________．
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【答案】
【分析】
先利用菱形的性质得到含30°角的直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形，再利用勾股定理求出AE，最后利用弧长公式求出弧长，弧长即为圆锥底面圆的周长，再利用周长公式即可求半径．
【详解】
解：如图，连接AE，由切线性质可知：AE⊥BC，即∠AEB=90°；
∵菱形铁片上∠BAD=120°，
∴∠B=180°-120°=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE=2，
∴BE=1，
∵，
∴，
∴扇形的弧长为：，
所以圆锥底面圆半径为：，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了菱形的性质、含30°角 ( http: / / www.21cnjy.com )的直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等内容，解决本题的关键是牢记相关性质与公式，本题需要学生理解扇形与圆锥的关系，蕴含了一定的空间想象思维，涉及到了数形结合等思想方法．
三、解答题
36．如图，在中，，点在边上，为的半径，是的切线，切点为点，，．
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（1）求证：是的切线；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）如图，连接OD，根据切线性质可得∠ODB=90°，利用SSS可证明△OBC≌△OBD，可得∠OCB=∠ODB=90°，即可得结论；
（2）由（1）的结论及AC=BC可得△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC是等腰直角三角形，可得∠AOD=45°，根据平角的定义可得∠COD=135°，根据S阴影=2S△OBC-S扇形COD即可得答案．
【详解】
如图，连接OD，
∵是的切线，切点为点，
∴∠ODB=90°，
在△OBC和△OBD中，
∴△OBC≌△OBD，
∴∠OCB=∠ODB=90°，
∵为的半径，
∴是的切线．
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（2）∵∠OCB=90°，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠AOD=45°，
∴∠COD=135°，
∵△OBC≌△OBD，
∴S△OBC=S△OBD，
∵，，
∴，
∴S阴影=2S△OBC-S扇形COD=2×OC·BC-=．
【点睛】
本题考查切线的判定与性质、等腰直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质及扇形面积，圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；熟练掌握相关性质及判定定理并熟记扇形面积公式是解题关键．
37．如图，已知是底角为30°的等腰三角形，B为AD上一点，以AB为直径的恰好过点C．
（1）判断直线CD与的位置关系，并说明理由；
（2）M为下半圆上的一个动点，若在某一时刻满足，已知半径等于2，求弧AM的长．
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【答案】（1）相切，理由见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，结合题意，根据等腰三角形性质，得；再根据三角形外角、三角形内角和性质、切线的性质计算，即可完成证明；
（2）根据圆直径所对圆周角为直角性质，得；通过角度计算，得，根据圆周角和圆心角性质，得；再根据弧长公式计算，即可得到答案．
【详解】
（1）连接OC，
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∵，
∴，
∴，
∴
∵OC为半径，
∴CD与圆O相切；
（2）连接OM
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∵AB为直径，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵
∴弧长．
【点睛】
本题考查了圆、三角形、弧长的知识；解 ( http: / / www.21cnjy.com )题的关键是熟练掌握切线、等腰三角形、三角形外角、三角形内角和、圆周角、圆心角、弧长计算的性质，从而完成求解．【出处：21教育名师】
38．如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
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（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为．
【分析】
（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=，即可证明∠CAD=∠ECB；www-2-1-cnjy-com
（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式计算，即可求得阴影部分的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=，
∵∠EBC+∠ABC=，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD=，
∴∠D+∠CAD=，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC=，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E=，
∴∠OCE+∠E=18，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD=AD=2，AC=2，
过点C作CF⊥AD于点F，
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∴CF=，
∴，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．2-1-c-n-j-y
39．如图，在平行四边形中，点A、B、D三个点在⊙上，与⊙交于点F，连结并延长交边于点E，点E恰好是的中点．
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（1）求证：是⊙的切线．
（2）若，
①求的长．
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①，②
【分析】
（1）根据垂径定理可得，再结合平行四边形的性质推出，即可得证；
（2）①由平行四边形的性质以及垂径定理可推出，，然后在中分别求出，，从而得出结论；②连接，，，然后根据求解即可．21教育名师原创作品
【详解】
（1）由题意，根据垂径定理，
∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是⊙的切线；
（2）如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
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②如图，连接，，，
由题意，，
由①可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴,为等腰直角三角形，
∴，
∴，
由①可知，，，
∴，
，
，
，
∴，
∴阴影部分的面积．
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【点睛】
本题考查证明圆的切线，垂径定理，以及与扇形相关的阴影部分面积计算问题，掌握证明切线的方法，熟记扇形的面积计算是解题关键．
40．如图，在中，，与，分别相切于点E，F，平分，连接．
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（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径是1，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）过点作于点，连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）设分别交于点，连接，先根据圆的切线的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，最后根据图中阴影部分的面积等于即可得．
【详解】
证明：（1）如图，过点作于点，连接，
与相切于点，
，
平分，
，
在和中，，
，
，
是的半径，
又，
是的切线；
（2）如图，设分别交于点，连接，
的半径是1，
，
与相切于点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
则图中阴影部分的面积为．
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【点睛】
本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
41．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角的大小
（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
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【答案】（1）=90°；（2）S阴影=（100-）cm2．
【分析】
（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求 弧长，利用弧长公式求即可；
（2）由，=90°，可得△ABC为等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm， 利用三角形面积公式求S△BAC=，利用扇形面积公式求，利用面积差求S阴影即可．
【详解】
解：（1）设ED=x，则AD=2x，
∴弧长，
∴，
∴=90°；
（2）∵ED=5cm，
∴AD=2ED=10cm，
∵，=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵，
∴BD=CD=AD=10cm，
∴BC=BD+CD=20cm，
∴S△BAC=cm2，
∴，
∴S阴影= S△BAC-=（100-）cm2．
【点睛】
本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式 ( http: / / www.21cnjy.com )，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键．
42．如图，是的直径，为上一点（不与点，重合）连接，，过点作，垂足为点．将沿翻折，点落在点处得，交于点．
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（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，先证明∠CDA=90°，根据折叠的性质和圆的半径相等证明OCAE，从而求出∠ECO=90°，问题得证；
（2）连接，过点作于点，证明四边形OCEG为矩形，求出，，，进而求出，∠COF=30°，分别求出矩形OCEG、△OGF、扇形COF面积，即可求出阴影部分面积．
【详解】
解：（1）如图，连接OC，
∵，
∴∠CDA=90°，
∵翻折得到，
∴∠EAC=∠DAC，∠E=∠CDA=90°，
∴∠EAD=2∠DAC，
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA
∴∠COD=2∠OAC，
∴∠COD=∠EAD，
∴OCAE，
∴∠ECO=180°-∠E=90°，
∴OC⊥EC，
∴是的切线；
（2）如图，连接，过点作于点，
∵∠E=∠ECO=90°，
∴四边形OCEG为矩形．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵于点，OA=OF=2，
∴，∠FAO=∠AFO=30°，
∵OCAE，
∴∠COF=∠AFO=30°，
∴矩形OCEG面积为，
△OGF面积为，
扇形COF面积为
∴阴影部分面积=矩形OCEG面积-△OGF面积-扇形COF面积=．
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【点睛】
本题为圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积等知识，综合性较强，熟练掌握相关定理并根据题意添加辅助线是解题的关键．
43．将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．
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（1）求线段的长度；
（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程．
【答案】（1）米；（2）4米．
【分析】
（1）利用直角三角形FGH即可求解；
（2）连接A1A2，则必过点D1，分别求出A1A2和的长，即可求出点A经过的路程．
【详解】
解：（1）∵MG∥PQ，
∴∠FGM=∠FBP=30°．
∴在中，
（米）．
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（2）连接A1A2，则必过点D1，且四边形A1BGA2是矩形．
∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．
∵四边形ABCD和四边形A1BC1D1都是正方形，
∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．
∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．
∴（米）．
∴在整个运动过程中，点A运动至A2的路程为：
（米）．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、矩形和正方形的性质、平移和旋转的性质等知识点，熟知旋转和平移的性质是解题的关键．
44．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交于点，连接．
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（1）求证：为的切线；
（2）若，求弧的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OB，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得，再证明可得即可；
（2）先求出∠COD，然后再运用弧长公式计算即可．
【详解】
（1）证明：连接
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵点在上
∴是的切线；
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（2）∵
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．
45．如图，是的直径，是的切线，切点为，点为直径右侧上一点，连接并延长，交直线于点，连接．
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（1）尺规作图：作出的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①求证：．
②若半径为2，当的长为______时，四边形是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②π
【分析】
（1）利用尺规作图，作出∠COD的角平分线，交CA于点E；
（2）①证明△OCE≌△ODE（SAS），由全等三角形的性质得出∠ODE=∠OCE=90°，得出∠CAD=∠ADE，则可得出结论；
②由弧长公式可求出∠BOD=90°，由正方形的判定定理可得出结论．
【详解】
解：（1）如图，
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（2）①证明：连接DE，
由（1）可知∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，
∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
∵∠CAD+∠OBD=∠ADE+∠ODB=90°，∠OBD=∠BDO，
∴∠CAD=∠ADE，
∴DE=AE；
②解：当的长为π时，四边形OCED是正方形．
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∵的长为π，
∴＝π，
∴∠BOD=90°，
∵∠OCE=90°，
∴OD∥CE，
∵OE平分∠DOC，
∴∠DOE=∠COE=45°，
∴OC=CE，
又∵OD=OC，
∴OD=CE，
∴四边形OCED是正方形．
故答案为π．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图 ( http: / / www.21cnjy.com )，切线的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，弧长公式，解决本题的关键是掌握切线的的性质．
46．如图，在平面直角坐标系中，以线段为直径作，与轴相交于两点，在第一象限内的圆上存在一点，使得为等边三角形．
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（1）求过点的切线的函数关系式；
（2）求由线段、劣弧围成的图形面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）分别求出点E和点D的坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）用即可求出由线段、劣弧围成的图形面积．
【详解】
解：（1）∵
∵AB是的直径
∴
是等边三角形，
，
∵直线l是的切线，
，
又
∴
∵OA=2，AC=3
∴
∴
作于点，
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是等边三角形，
∴
在中，
∴
又
∴
设直线l的解析式为
把E（-1，0），代入得，
解得，
∴函数关系式：；
（2）∵
∴
∴
又
∴由线段、劣弧围成的图形面积．
【点睛】
此题主要考查了图形与坐标，圆的切线的性质，待定系数法求函数关系式，不规则图形面积的计算等知识，求出DH的长是解答此题的关键．
47．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为， ，．
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（1）将向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度，画出平移后得到的，并直接写出点 的坐标；
（2）将绕着原点逆时针旋转90°后得到．
①画出旋转后的；
②点旋转到点所经过的路径长为______个单位长度．
【答案】（1）作图见解析；点的坐标为；（2）①作图见解析；②．
【分析】
（1）根据平移的性质作出图形，然后根据图像求解即可；
（2）①根据旋转的性质作出图形即可；②连接，，利用网格求出，然后根据旋转角是90°，求出弧长即可．
【详解】
解：（1）如图示，即为所求的三角形，由图像可知，点的坐标为
（2）①如图示，即为所求的三角形．
②如图示，连接，，则点旋转到点所经过的路径长是 ，且旋转角是90°
∴
则，
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【点睛】
本题考查了平移作图和旋转作图，求弧长等知识点，能准确做出旋转后得图形是解题的关键．
48．如图，在⊙O中，直径AB＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )4，点C、D在⊙O上，AB与CD交于点E，CE＝ED，OH⊥BD，垂足为点H，DF交BA延长线于点F，∠CDF＝2∠B．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若FD＝BD，求图中阴影部分的面积．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，易证∠C ( http: / / www.21cnjy.com )DF＝∠FOD，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，即可得∠CDO+∠FOD=90°，所以∠CDF+∠COD=90°，由此即可证得DF是⊙O的切线；
（2）已知FD＝BD，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠F，再由∠FOD＝2∠B，∠FOD+∠F=90°，即可求得∠B=∠F=30°，∠FOD=60°；在Rt△ODH中，∠ODH=30°，OD=12，可得OH=6，DH=，根据即可求得图中阴影部分的面积．
【详解】
（1）连接OD，
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∵∠FOD＝2∠B，∠CDF＝2∠B，
∴∠CDF＝∠FOD，，
∵CE＝ED，AB为直径，
∴AB⊥CD，
∴∠CDO+∠FOD=90°，
∴∠CDF+∠CDO=90°，
即∠ODF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵FD＝BD，
∴∠B＝∠F，
∵AB为直径，AB=24，
∴OD=12，
∵∠FOD＝2∠B，∠FOD+∠F=90°，
∴∠B=∠F=30°，∠FOD=60°，
∵DO=BO，
∴∠B＝∠ODH=30°，
在Rt△ODH中，∠ODH=30°，OD=12，
∴OH=6，DH=，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理，熟练运用相关定理进行证明是解决问题的关键．
49．如图，是⊙O的直径，是⊙O上一点，平分，过点作交延长线于点．
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（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACO，推出ADOC，根据平行线的性质得到∠OCD=90°，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）求出∠OEA=∠EOC=60°，由扇形的面积公式可得出答案．
【详解】
（1）连接，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴ADOC，
∴∠OCD+∠D=180°，
∵
∴∠CDA=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．
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（2）连接CE，OE，
∵，
∴，
∵，，
∴，
和为等边三角形
∴，
∴，
∴．
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【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
50．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是A( 1，4)，B( 3，2)，C( 2，1)．
（1）请画出关于原点的中心对称图形；
（2）请画出将绕点逆时针旋转90°后得到的；
（3）在（2）的条件下，求点旋转到点所经过的路线长（结果保留）．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）利用中心对称的性质，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A2、B2即可得到△A2B2C；
（3）利用（2）的结论，再根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）如图所示，为所求；
（2）如图所示，为所求；
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（3）∵A( 1，4)， C( 2，1)，
∴，
∵，
∴点A旋转到点所经过的路线长为．
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．
51．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2－AF2＝4CE EA；
（3）若＝，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）连接OD、ED为⊙O切线，由 ( http: / / www.21cnjy.com )切线的性质知：OD⊥DE；根据垂直于同一直线的两条直线平行知：OD∥AC；由于O为AB中点，则点D为BC中点．
（2）连接BF，AB为⊙O直径， ( http: / / www.21cnjy.com )根据直径对的圆周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根据垂直于同一直线的两条直线平行知ED∥BF由平行线的性质知，由于点D为BC中点，则点E为CF中点，所以CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE） CF=2AE CF，将CF=2CE代入即可得出所求的结论．
（3）由于＝则弧AD是半圆ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；连接DA，可知等腰三角形△OAD为等边三角形，则有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得EA=r，ED=r，则有S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD，从而可求得阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）证明：连接OD，
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∵ED为⊙O切线，
∴OD⊥DE；
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC；
∵O为AB中点，
∴D为BC中点；
（2）证明：连接BF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB为⊙O直径，
∴∠CFB=∠CED=90°；
∴ED∥BF；
∵D为BC中点，
∴E为CF中点；
∴CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）
=（CE+AE-EF+AE） CF=2AE CF；
∴CA2-AF2=4CE AE；
（3）解：∵＝，
∴∠AOD=60°；
连接DA，可知△OAD为等边三角形，
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∴OD=AD=r，
在Rt△DEA中，∠EDA=30°，
∴EA=r，ED=r，
∴S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD=
．
【点睛】
本题考查了切线的性质、平行线的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )和性质、直角三角形的性质、平方差公式、圆周角定理、等边三角形的判定和性质以及梯形和扇形的面积计算方法等知识．
52．已知：点D是△ABC的边AC上一点，tanC＝1，cos∠ADB＝，⊙O经过B，C，D三点．
（1）若BD＝4，求阴影部分图形的面积；
（2）若AD＝2CD＝4，求证：AB为⊙O的切线．
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【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）连接，，由圆周角定理得出，由扇形的面积公式及三角形面积公式可得出答案；
（2）过点作于点，设，则，求出，得出，证明，得出，证出，则可得出结论．
【详解】
解：（1）连接，，
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，
，
，
，
，
，，
．
（2）证明：过点作于点，设，则，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
即，
，
，
，
又，
，
，
是半径，
为的切线．
【点睛】
本题主要考查圆的切线的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
53．如图AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OE，根据等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质得到∠CAE=∠CEA，∠FAO=∠FEO，根据余角的性质得到∠CEA=90°，由切线的判定定理即可得到结论；
（2）设OF=x，由直角三角形的性质得出OA=2OF=2x，由勾股定理的(2)2+x2＝2x2，解得x=2，得出OA=4，求出S△EAO和S扇形EAO，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：连接OE，
∵AC＝EC，OA＝OE，
∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAE+∠EAO＝90°，
∴∠CEA+∠AEO＝90°，
即∠CEO＝90°，
∴OE⊥CD，
∴CE为⊙O的切线；
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（2）解：设OF＝x，
∵∠OAF＝30°，OF⊥AF，
∴OA＝2OF＝2x，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：，
解得x＝2，
∴OA＝4，
∴，
∵∠AOE＝120°，AO＝4；
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的判定，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积的计算等知识，正确的识别图形是解题的关键．
54．如图，为的直径，，点A为的中点，，连结，．
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（1）求证：．
（2）求图中弓形阴影部分的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠COA，根据弧、弦、圆心角的关系得到，结合OA=OD证明，可得OC∥AD；
（2）连接AC，证明与均为等边三角形，推出，求出△ABC的面积，再根据即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接AC，
∵，，
∴与均为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
．
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【点睛】
本题考查了弧、弦、圆心角的关系，扇形的面积， ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基础知识，将弓形AD的面积和弓形AC的面积进行转化．
55．如图，是半圆的直径，弦，过点作圆的切线，与延长线相交于点，连接、，．
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（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求围成阴影部分图形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接，根据切线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据弧长公式求出的长，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：（1）证明：连接，
是圆的切线，
，
由圆周角定理得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2），
，，
，
的长，
围成阴影部分图形的周长．
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【点睛】
本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
56．如图，是半圆的直径，是半圆上不同于、两点的任意一点，是半圆上一动点，与相交于点，是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点．21教育网
（1）若，求证：；
（2）若，，．求；（答案保留）
（3）若，为的中点，点从移动到时，请直接写出点移动的长度．（答案保留）
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【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）由直径所对的圆周角是直角可得，再根据证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质得，得，由是半圆所在圆的切线得，可求，连接，得，再根据扇形面积计算公式求解即可；
（3）根据“点移动的长度是以为直径的圆的周长一半”求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵是半圆的直径
∴
在和中
∴，
∴；
（2）连接．
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∵，由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵是半圆所在圆的切线，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）连接OH,
∵H是AC中点，则OH⊥AC,
故H在以AO为直径的圆上运动，
当点在点时，点H与点O重合，
当点C在A点时，点H与点A重合，
所以，点移动的长度是以为直径的圆的周长一半，
即L=．
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【点睛】
此题主要考查了与圆有关的计算，熟练掌握扇形面积计算公式和弧长公式是解答此题的关键．
57．如图，已知是的直径，点D，C是圆上的两个点，且，直线于点E．
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（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据圆周角定理可知，根据平行线的判定可知，根据根据垂直的判定和切线的判定定理即可求证结论；
（2）连结，，根据外角定理和等边三角形的判定可得是等边三角形，含30°角的直角三角形的性质可得：，根据切线的性质和角的和差可得，进而可得：，，根据切割法可得：，代入数据即可求解．
【详解】
（1）证明∵，
∴，
∵，
∵，
∴，且是直径，
∴是的切线．
（2）解 连结，，
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∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴
．
【点睛】
本题考查切线的判定及其性质、含30°角的直角三角形判定及其性质、等边三角形的判定及性质、扇形面积的计算公式，解题的关键是熟练掌握所学知识．
58．在中，．将边绕点C顺时针旋转到，记，连结，取的中点F，射线，交于点A．
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（1）填表：如图1，当时，根据下表中的值，分别计算的度数．
（2）猜想与的数量关系，并说明理由．
（3）应用：如图2，当时，请求出从逐渐增加到的过程中，点A所经过的路径长．
【答案】（1）填表见解析；（2）当时，；当时，；答案见解析；（3）．
【分析】
（1）当时，根据等腰三角形的性质，得和是等腰三角形，则可求得，，利用，最后根据三角形内角和求得：；当时， ，，，利用三角形外角性质得；
（2）当时，同（1）可求得：，，得，则；当时， ，，，利用三角形外角性质得 ；
（3）由（2）可得： 则，可知点A所经过的路径是一条弧，以为边画等边三角形，则点O是弧的圆心，根据同弧所对圆心角等于圆周角的2倍，求得：再证是等边三角形，则可以得到，则可得，即可得：．
【详解】
解：（1）如图:
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当，时，
∵边绕点C顺时针旋转到
∴
∴
∵
∴
∵点F是的中点
∴
∴
∴
综上所述，当，时，
同理，当，时，
当，时，
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∵边绕点C顺时针旋转到
∴
∴
∵
∴
∵点F是的中点
∴
∴
∴
故：
（2）当时，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵边绕点C顺时针旋转到
∴
∴
∵
∴
∵点F是的中点
∴
∴
∴
即：当时，，
当时，如图所示：
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∵边绕点C顺时针旋转到
∴
∴
∵
∴
∵点F是的中点
∴
∴
∴
即：当时，
综上所述：当时，；当时，
（3）由（2）可得：∵
∴
∴点A所经过的路径是一条弧
如图，以为边画等边三角形，
则点O是弧的圆心
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当时，，则
∵
∴是等边三角形
∴
∴
∵
∴．
【点睛】
本题考查了旋转、等腰三角形、圆的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、弧长、内角和和外角性质的综合应用，解答此题的关键利用性质找到角与角之间关系，此题综合性较强，属于较难的题型．2·1·c·n·j·y
59．如图①，小慧同学把 ( http: / / www.21cnjy.com )一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在 ( http: / / www.21cnjy.com )上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经 ( http: / / www.21cnjy.com )过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
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【答案】（1）；；；（2）41次
【分析】
（1）根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可；
（2）利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出π=10×π+π，即可得出旋转次数．
【详解】
解：（1）如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
．
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（2）∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10×π+π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转．
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别求出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．
60．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；
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（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
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（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．
【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）；
【分析】
（1）由、是等边三角形，，， ，可证即可；
（2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，，点在A处时，点与重合．可得点运动的路径的长；
（3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长；
（4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长．
【详解】
解:（1）∵、是等边三角形，
∴，，．
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵、是等边三角形，
∴，，．
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又点在处时，，点在A处时，点与重合．
∴点运动的路径的长；
（3）取中点，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
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∴，
∵、是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又点在处时，，点在处时，点与重合，
∴点所经过的路径的长；
（4）连接CG ,AC ，OB，
∵∠CGA=90°，
∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，
∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，
∴∠COB=90°，设OC=x，
由勾股定理即，
∴，
点G所经过的路径长为长=，
点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧上运动，
点H所经过的路径长为的长度，
∵点G运动圆周的四分之一，
∴点H也运动圆周的四分一，
点H所经过的路径长为的长=，
故答案为；．
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【点睛
本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．
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